Лабораторная работа №23 / mo2

Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет

(ЛЭТИ)

кафедра МО ЭВМ

Отчет по лабораторной работе №2

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

Санкт-Петербург 2004

Содержание

1. Постановка задачи

Рассматривается следующая задача линейного программирования: найти минимум линейной функции f(x1, x2, ..., xn):

f = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn,

где ci — постоянные коэффициенты, на множестве, заданном набором линейных ограничений:

a1,1x1 + . . . + a1,nxn ≥ b1

am,1x1 + . . . + am,nxn ≥ bm

xi ≥ 0, i,

где ai,j , bi — постоянные коэффициенты. В матричной форме ограничения записываются следующим образом:

AX ≥ B, X ≥ 0.

Целевая функция может быть представлена в виде скалярного произведения: f = (C, X).

Алгоритм симплекс-метода

Поиск крайней точки допустимого множества Крайняя точка не существует , если в таблице симплекс-метода существует строка, все элементы которой неположительны, а последний элемент — отрицательный .

Крайняя точка найдена, если все элементы вектора-столбца B больше нуля.

1.Выбрать строку i, в которой bi < 0.

2.Выбрать столбец s, в котором ais ≥ 0;

3.В столбце s задать номер строки r разрешающего элемента так, что-

бы отрицательное отношение br было максимальным;

ars

4.Поменять местами имена координат в таблице из строки r и столбца s;

5.Рассматривая элемент ars как разрешающий, необходимо преобразовать таблицу по формулам:

1

trs ← ars

trj ← −zrj , j 6= s

ars

tis ← zis , i 6= r

ars

tij ← zij ars − ziszrj , i 6= r, j 6= s

ars

z ← t

где под z и t понимается соответственно первоначальное и преобразованное значение таблицы (кроме левого столбца и верхней строки).

6.Пункты 1-5 повторять до тех пор, пока не будет дано заключение о точке.

Поиск оптимальной точки Оптимальная точка найдена, если все элементы векторстроки Ñ ≥ 0 (при этом все элементы вектор-столбца B ≥ 0).

Оптимальная точка не существует , если в таблице есть столбец j , в котором cj < 0, а все aij > 0 при любом i.

1.Выбрать столбец s, в которой cs < 0.

2.В столбце s задать номер строки r разрешающего элемента так, что-

бы отрицательное отношение br было максимальным;

ars

3.Поменять местами имена координат в таблице из строки r и столбца s;

4.Рассматривая элемент ars как разрешающий, необходимо преобразовать таблицу по формулам (см. выше):

5.Пункты 1-4 повторять до тех пор, пока не будет дано заключение о точке.

Координаты оптимальной точки 1. Если xj находится на i-м месте левого столбца, то его значение равно bi.

2.Если xi находится на j-м месте верхней строки, то его значение равно 0.

2.Выполнение работы

Вариант 5: построим допустимое множество, исходя из следующих ограничений:

2x1 − x2 ≥ −2

−x ≥ −4

2

−x1 − 2x2 ≥ −12

−x1 + x2 ≥ −3

x1 + x2 ≥ 2

2.1. Графический метод

Рис. 1. Графическое решение.

На рис. 1 допустимое множество не заштриховано. Целевая функция f = −x1. Оптимальная точка: (6, 3).

2.2. Симплекс-метод

Проведем поиск крайней точки.

----------------------------

y1 | 2.00 -1.00| 2.00

Все ñj > 0 — оптимальная точка обнаружена. Ее координаты: (6, 3) (т. к. x1 содержится во 2й строке, а x2 — в первой).

Координаты оптимальной точки : x1= 6.00

x2= 3.00

3.Вывод

Врезультате выполнения был рассмотрен графический и симплексный методы для поиска оптимальных точек допустимого множества.