Лабораторная работа 5 / Lab5

Кафедра МО ЭВМ

ОТЧЕТ

по лабораторной работе № 5 по дисциплине

"Методы оптимизации"

“ Транспортная задача ”

Выполнили: Воробьёв А.В.

Ламеров Д.Ю.

Швецов М.Н.

Шефер Е.В.

Факультет КТИ

Группа № 4352

Проверил Балтрашевич В.Э.

«Выполнено» «____» _______ ____

Подпись преподавателя __ _

Санкт-Петербург

2006

Цель работы:

ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ

Краткие общие сведения:

В таблице должно быть т + n — 1 занятых клеток (> 0). Занятые клетки соответствуют базисным неизвестным. Опорность (допустимость) плана при записи условий транспортной задачи в виде таблицы заключается в его ацикличности, т. е. в таблице нельзя построить замкнутый цикл, все вершины которого лежат в занятых клетках.

Определение. Циклом называется набор клеток вида (i₁, j₁), (i₁, j₂), (i₂, j₂), ..., (i_m, j₁), в котором каждые последующие 2 клетки располагаются в одном столбце или строке, причем последняя клетка находится в той же строке или столбце, что и первая.

Построение циклов начинают с какой-либо занятой клетки и переходят по столбцу (строке) к другой занятой клетке. В ней делают поворот под прямым углом и движутся по строке (столбцу) к следующей занятой клетке и т. д., пытаясь вернуться к первоначальной клетке.

Если такой возврат возможен, то получен цикл и план не является опорным. Клетки, в которых происходит поворот под прямым углом, определяют вершины цикла.

В противном случае план является опорным (если цикл не найден).

Всякий план ТЗ, содержащий более т + n - 1 занятых клеток, не является опорным, так как ему соответствует линейно зависимая система векторов. При таком плане в таблице всегда можно построить замкнутый цикл, с помощью которого уменьшают число замкнутых клеток до т + n - 1.

Существует несколько простых схем построения первоначального опорного плана транспортной задачи (метод северо-западного угла, минимальной стоимости и др.).

Метод минимальной стоимости. Из всей таблицы стоимостей выбираем наименьшую и в клетку, которая ей соответствует, помещаем меньшее из чисел а_i, или b_j. Затем из рассмотрения исключаем либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены (либо и строку, и столбец).

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбираем наименьшую стоимость, и процесс распределения запаса продолжается, пока все запасы не будут распределены, а все потребности удовлетворены.

Алгоритм метода потенциалов

1. Построение системы потенциалов. Используем условие u_i+v_j = с_ij для занятых клеток. Уравнений т+п-1, неизвестных т + п. Одну компоненту обнулим (любое u_i или v_j).

2. Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток. Вычисляем характеристические разности: ∆_ij= u_i + v_j - с_ij (см. таблицу стоимостей примера). Если в любой незанятой клетке ∆_ij < 0, то конец.

3. Выбор клетки, в которую необходимо послать перевозку. Среди ∆_ij > 0 надо выбрать максимальную

4. Построение цикла и определение величины перераспределения груза. Отмечаем плюсом найденную клетку. Стало т + п занятых клеток, т. е. существует цикл. Идем по циклу и расставляем плюсы и минусы, чередуя их (см. пример).

Затем находим Θ₀ =(no минусам, расставленным ранее). Значение Θ₀ записываем в незанятую клетку. Идем по циклу, где плюс — добавляем Θ₀, где минус — вычитаем значение Θ₀ из х_ij.

Исследование:

Исследуем метод на примере.

Суммы потребностей и запасов равны, значит модель задачи закрытая. Решение существует.

1)Выбор первоначального опорного плана:

1.нашли минимальную стоимость: с₁₂=1 и записали в эту клетку min(a₁,b₂)=min(5,8)=5

У А1 осталось 0, к В2 надо поставить еще 8-5=3.

2.Дальше берем с₂₁=2 и пишем в эту клетку min(7,3)=3.

У А2 осталось 0, к В1 надо поставить еще 4.

3.Берем с₃₂=2. Пишем min(4,3)=3(ибо В2 сейчас уже 3).

У А3 осталось 1.К В2 осталось 0.

4.Берем с₃₄=2. min(1,3)=1.

А3=0, В4=3-1=2.

5.Берем с₂₄=3. min(4,2)=2.

А2=2, В4=0.

6. Из неравных нулю остались только А2=2 и В3=2. Любая другая ячейка даст min=0.

Надо выбирать с₂₃=2.

Получим первоначальный опорный план(см рис.), т.к. нет циклов (занято m+n-1=6 клеток)

2) Построение системы потенциалов:

Решим составленную для всех занятых клеток систему уравнения.

Получили таблицу в каждой клетке которой находится характеристическая разность

∆_ij= u_i + v_j - с_ij

(см рисунок внизу)

Для заполненных клеток разность = 0 (следует из Леммы, ибо система потенциалов так построена).

Есть положительные разности, значит (по Лемме) план не оптимальный и надо его модифицировать.

3) Поиск оптимального плана:

Среди ∆_ij>0 найдем max(). Это клетка (3,3). ∆₃₃=6.

Отметим ее знаком «+». Перешлем туда часть груза.

Теперь стало m+n=7 занятых клеток, а значит есть цикл.

Идем по циклу, начиная с клетки (3,3) и чередуем знаки «+» и «-».

Среди клеток со знаком минус (откуда можно убрать груз) находим min().

В нашем случае min=1. Запишем во все клетки с «+» значение на 1 больше, а во все клетки с «-» - значения на 1 меньше.

Произошло перераспределение:

Клетка (3,4) стала пустой, т.к. там теперь 0.

4) Возврат к построению системы потенциалов и нахождение окончательного решения:

Построим новую систему потенциалов на основе вновь полученного опорного плана. В нем опять нет циклов, ибо m+n-1 заполненная клетка.

Решим систему и получим таблицу потенциалов.

Есть только одна положительная разность ∆₂₂=3.

min(1,3)=1

Получим:

Найдем характеристические разности:

Откуда:

Положительных нет, значит (по Лемме) этот вариант и есть оптимальный.

Минимальная стоимость перевозки = 36.

Выводы:

В этой работе бы изучили метод решения транспортной задачи, рассмотрем на репрезентативном примере все возможные случаи алгоритма. Результат получается достаточно быстро (за 1-2 шага), но требуется пересчет матрицы. Достоинство метода – его глубокая формализация и возможность визуализации.