Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Курсач по мат методам.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
27.08.2019
Размер:
389.94 Кб
Скачать

1 Анализ результатов эксперимента

Эксперимент – это совокупность действий, направленных на установление взаимосвязи между входными и выходными параметрами системы. Входные параметры (воздействия, оказываемые на систему) иначе называют факторами, а выходные параметры (воздействия, оказываемые системой на окружающую среду) – откликами.

Приняты следующие обозначения: Х – входной параметр; Y – выходной параметр.

Основными этапами эксперимента являются:

  • выбор объекта исследования;

  • установление параметров (входных и выходных), значения которых должны быть определены в ходе эксперимента;

  • выбор и оценка надежности аналитических методик для определения значений параметров;

  • проведение дисперсионного анализа с целью установления существенности влияния выбранных факторов;

  • проведение основного эксперимента;

  • аппроксимация результатов эксперимента с целью получения уравнения связи, которое наилучшим образом будет их описывать;

  • установление значений входных параметров, при которых получается оптимальные значения выходных параметров;

  • графическая интерпретация полученных результатов с целью более наглядного их представления.

Эксперимент состоит из ряда опытов, в которых могут производиться параллельные определения. В опытах значения хотя бы одного фактора меняется, а параллельные определения осуществляются в строго идентичных условиях.

1.1 Оценка надежности аналитической методики

Аналитическая методика – это строгая последовательность действий, направленных на определение значений какого – либо параметра.

Аналитическая методикам считается надежной, если ее относительная максимальная погрешность не превышает некоторого установленного значения (обычно не более 5 %). При наличии нескольких методик для определения одного и того же параметра желательно выбрать ту, у которой погрешность наименьшая. Погрешность методики оценивается по результатам параллельных определений одного опыта.

Исходные данные для оценки аналитической методики:

X

X = const

Y

19,5

19,0

19,9

17,6

18,1

20,4

18,5

  1. Определение среднего значения выходного параметра:

,

где m – число параллельных определений;

.

2) Определение выборочной дисперсии, которая характеризует меру отклонения (рассеивания) результатов параллельных определений от их среднего значения:

,

где fu = m – 1 – число степеней свободы выборочной дисперсии; fu = 7 – 1 = 6;

.

3) Определение средней квадратичной погрешности отдельного или единичного результата:

.

4) Проверка результатов на анормальность (на наличие промахов).

Анормальный результат (иначе промах, грубая ошибка) – это резко отклоняющийся результат из серии параллельных определений, полученный в результате грубой ошибки со стороны исследователя.

Обнаружение анормальных результатов проводится 2 способами:

а) с помощью критерия промаха К (грубый способ):

К = 3Su; YсрКYYср + К;

К = 3 1,0033 = 3,0099;

19,00 – 3,0099 ≤ Y19 + 3,0099;

15,9901 ≤ Y ≤ 22,0099

Вывод: анормальных результатов не обнаружено, так как все результаты параллельных определений попадают в данный интервал.

б) с помощью критерия анормальности Н (самый точный способ):

; ;

Hmin < Hтабл,

Hmax < Hтабл;

Нтабл = f(α;m);

; ;

.

Вывод: так как оба расчетных значения критерия анормальности (для минимального и максимального результатов) не превышают табличного, то анормальных результатов среди параллельных определений нет.

5) Определение средней квадратичной погрешности среднего арифметического результата:

;

.

6) Определение табличного значения критерия Стьюдента, который представляет собой нормированную погрешность:

,

где α – уровень значимости, показывающий допустимую долю (или процент) ошибок; в расчетах чаще всего принимают значение α=0,05;

.

7) Определение абсолютной максимальной погрешности опыта:

;

.

8) Определение относительной максимальной погрешности опыта, %:

;

.

Главный вывод: так как относительная максимальная погрешность опыта не превышает 5%, то аналитическую методику можно считать надежной и она  может быть использована для определения параметра Y в последующем эксперименте.

9) Установление доверительного интервала, т.е. интервала в котором находится истинное значение параметра Y с вероятностью Р = 1 – α:

;

P=1 – 0,05= 0,95 (95%);

;

10) Установление стабильности параметра Y по коэффициенту вариации, %:

;

.

Если 5%, то параметр Y стабилен, т.е. во времени не изменяется. Процесс, у которого все параметры стабильны, называется стационарным.

Вывод: так как коэффициент вариации превышает 5%, то параметр Y является нестабильным, т.е. изменяется во времени.

11) Установление необходимого числа параллельных определений для получения результатов с погрешностью, не превышающей 5%:

; ;

Вывод: в каждом опыте требуется производить не менее семи параллельных определений.

1.2 Дисперсионный анализ результатов опытов

Проведение дисперсионного анализа позволяет выделить факторы, существенно влияющие на систему. Факторы, влияние которых на процесс несущественно, в дальнейшем из рассмотрения исключают.

Для дисперсионного анализа требуется провести несколько опытов (с параллельными определениями), изменяя значения исследуемого фактора.

Исходные данные для дисперсионного анализа результатов опытов:

Опыт

Параллельные определения

Y1

Y2

Y3

Y4

1

8,2

8,5

8,3

8,4

2

12,5

12,4

12,0

12,3

3

15,6

15,5

15,4

15,9

  1. Определение среднего значения параметра в каждом опыте:

,

где m – число параллельных определений в i – том опыте;

;

  1. Определение выборочной (построчной) дисперсии для каждого опыта – меры отклонения результатов параллельных определений в каждом из опытов от соответствующей им средней величины:

,

где – число степеней свободы дисперсии;

;

;

;

;

  1. Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости опытов по критерию Кохрена:

; ;

;

.

Вывод: Gmax < Gтабл, следовательно, дисперсии однородны, а опыты воспроизводимы, т.е. выполнены с заданной степенью точности.

  1. Определение внутригрупповой дисперсии – средней меры отклонения всей совокупности результатов параллельных определений от соответствующих им средних значений в каждом из опытов:

,

где n – число опытов;

;

Число степеней свободы внутригрупповой дисперсии:

;

.

  1. Определение среднего значения параметра во всем эксперименте:

;

.

  1. Определение межгрупповой дисперсии – меры отклонения средних значений параметра в опытах от среднего значения этого параметра во всем эксперименте:

,

где – число степеней свободы межгрупповой дисперсии,

;

.

  1. Определение критерия Фишера:

; ,

где α – уровень значимости;

; .

Если , то фактор X существенно влияет на систему и, следовательно, должен учитываться при нахождении уравнения связи.

Вывод: так как F > Fтабл, то фактор Х существенно влияет на систему.

1.3 Аппроксимация результатов эксперимента

Аппроксимация проводится с целью установления уравнения связи между входными и выходными параметрами.

Аппроксимацию условно можно разделить на три части:

I часть – построение графика по опытным данным и установление по виду графика возможных видов уравнений связи для их описания;

II часть – определение коэффициентов предполагаемого уравнения связи (или нескольких уравнений);

III часть – оценка надежности полученного уравнения; при наличии нескольких уравнений оценивается надежность каждого уравнения и выбирается более точное.

Для определения коэффициентов уравнений связи можно использовать следующие методы:

Графический – используется в случае линейного уравнения или уравнения, приведенного к линейному виду (линеаризованного) – является самым грубым. Свободный коэффициент определяется как отрезок, отсекаемый прямой от оси ординат, а коэффициент при Х – как тангенс угла наклона прямой к положительной оси абсцисс.

Метод избранных точек – предполагает выбор двух (по числу коэффициентов уравнения) опытных точек, через которые проходит прямая, и решение системы из двух уравнений. Система уравнений составляется путем подстановки выбранных опытных значений X и Y в исходное уравнение.

Метод средних (метод уравновешенной погрешности) – предполагает использование всех опытных данных. Полученная при постановке опытных значений система из n уравнений делится на столько примерно равных частей, сколько коэффициентов. В каждой части уравнения почленно складываются.

Метод наименьших квадратов – основан на условии минимальности суммы квадратов разности опытных значений и соответствующих им расчетных значений.

Исходные данные для аппроксимации результатов эксперимента:

Х

1

2

3

4

5

6

7

Y

8,4

8,7

9,3

10,0

15,7

28,3

62,8

I часть. Построение графика по опытным данным (рисунок 1).

Рисунок 1 – Зависимость Y=f(X)

Уравнение связи имеет вид .

II часть. Определение коэффициентов уравнения .

Так как уравнение нелинейное, проведем его линеаризацию путем замены переменной X: .

;

В результате получаем данные для определения коэффициентов уравнения:

Х*

2,718

7,389

20,086

54,598

148,413

403,429

1096,633

Y

8,4

8,7

9,3

10,0

15,7

28,3

62,8

Метод средних. Используем все пары значений Y и Х*, полученную систему уравнений делим на 2 части, в каждом уравнении почленно складываем:

vvv

Полученное уравнение: .

Графический метод. Строим график зависимости Y = f(X*) (рисунок 2).

Рисунок 2 – Зависимость Y*=f(X)

По графику определяем: 8,3 (отрезок отсекаемый прямой от оси ординат):

;

.

Получаем уравнение: .

Метод избранных точек. Выберем первую и четвертую опытные точки и соответствующие пары значений X* и Y подставим в уравнение :

;

;

;

Получаем уравнение: .

М етод наименьших квадратов. Расчетная система уравнений имеет вид:

Найдём каждую сумму:

Полученные значения подставим в расчетную систему и решим ее:

;

;

Таким образом уравнение имеет вид: .

III часть. Оценка надежности уравнения (используем уравнение полученное самым точным методом).

Способ 1. Данный способ не используем, так как в опытах параллельные определения не проводились.

Способ 2.

  1. Определение среднего значения параметра в эксперименте:

;

.

  1. Определение дисперсии относительно среднего:

;

.

Число степеней свободы .

  1. Определение расчетных значений параметра Y:

;

;

;

;

;

;

;

  1. Определение остаточной дисперсии:

;

.

Число степеней свободы .

  1. Определение критерия Фишера:

; .

Вывод: так как F >> Fтабл , то уравнение надежно описывает опытные данные и имеет смысл по сравнению со средней величиной выходного параметра.

Способ 3.

  1. Определение среднего значения параметра в эксперименте:

;

.

  1. Определение Q (числитель дисперсии относительно среднего):

;

.

  1. Определение расчетных значений параметра Y:

;

;

;

;

;

;

;

  1. Определение Qост (числитель остаточной дисперсии):

;

.

  1. Определение Q1:

;

.

  1. Определение критерия Фишера:

; .

Вывод: так как F>>Fтабл, то уравнение надежно описывает опытные данные.

Способ 4.

;

;

Х*

2,718

7,389

20,086

54,598

148,413

403,429

1096,633

Y

8,4

8,7

9,3

10,0

15,7

28,3

62,8

  1. Определение средних значений параметров (с учетом замены переменной X):

.

  1. Определение среднего квадратичного отклонения параметров:

; ;

  1. Определение выборочного коэффициента корреляции:

Так как , то между величинами Х* и Y существует строгая функциональная зависимость, причем с увеличением одной переменной другая также увеличивается и наоборот.

Вывод: результаты эксперимента надежно описываются уравнением .

2 ОПИСАНИЕ МНОГОФАКТОРНОЙ СИСТЕМЫ

Многофакторная система – это система, на которую действуют несколько факторов. Для математического описания таких систем часто используются алгебраические полиномы. В случае двухфакторной системы полином первой I степени (линейное уравнение связи) имеет вид неполный полином II степени (неполное квадратное уравнение) – полный полином II степени –

2.1 Расчет линейного уравнения связи (полинома I степени)

Исходные данные для расчёта линейного уравнения:

X1

X2

Y

45,0

13

1,3

14,2

12

2,5

6,6

11

3,8

Подставляем опытные данные в уравнение: получаем следующую систему:

Решаем систему линейных уравнений по методу Крамера. Определители третьего порядка решаем разными способами (метод треугольников, разложение по элементам строки или столбца без зануления элементов и с занулением):

;

;

;

.

Рассчитаем значения коэффициентов:

Линейное уравнение связи имеет вид

Данное уравнение справедливо для области исследования факторов .

Построим линии равного отклика Y = 1,3 и Y = 2,5 (рисунок 3)

Так как уравнение линейное, то линии равного отклика представляют собой прямые, для построения которых достаточно двух точек. Координаты точек определяем, задав значение одного из факторов в пределах области его исследования (лучше брать минимальное или максимальное) и определив соответствующее ему значение другого фактора. Желательно, чтобы значение другого фактора тоже находилось в пределах соответствующей ему области исследования.

Расчет точек для построения линий равного отклика:

Л

Y=1,3

иния

1-я точка

2-я точка

(45 ; 13,03)

(6,6 ; 12,9)

Y=2,5

(45 ; 12,12)

(6,6 ; 12)

Рисунок 3 – Линии равного отклика

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.