1 Анализ результатов эксперимента
Эксперимент – это совокупность действий, направленных на установление взаимосвязи между входными и выходными параметрами системы. Входные параметры (воздействия, оказываемые на систему) иначе называют факторами, а выходные параметры (воздействия, оказываемые системой на окружающую среду) – откликами.
Приняты следующие обозначения: Х – входной параметр; Y – выходной параметр.
Основными этапами эксперимента являются:
выбор объекта исследования;
установление параметров (входных и выходных), значения которых должны быть определены в ходе эксперимента;
выбор и оценка надежности аналитических методик для определения значений параметров;
проведение дисперсионного анализа с целью установления существенности влияния выбранных факторов;
проведение основного эксперимента;
аппроксимация результатов эксперимента с целью получения уравнения связи, которое наилучшим образом будет их описывать;
установление значений входных параметров, при которых получается оптимальные значения выходных параметров;
графическая интерпретация полученных результатов с целью более наглядного их представления.
Эксперимент состоит из ряда опытов, в которых могут производиться параллельные определения. В опытах значения хотя бы одного фактора меняется, а параллельные определения осуществляются в строго идентичных условиях.
1.1 Оценка надежности аналитической методики
Аналитическая методика – это строгая последовательность действий, направленных на определение значений какого – либо параметра.
Аналитическая методикам считается надежной, если ее относительная максимальная погрешность не превышает некоторого установленного значения (обычно не более 5 %). При наличии нескольких методик для определения одного и того же параметра желательно выбрать ту, у которой погрешность наименьшая. Погрешность методики оценивается по результатам параллельных определений одного опыта.
Исходные данные для оценки аналитической методики:
X |
X = const |
||||||
Y |
19,5 |
19,0 |
19,9 |
17,6 |
18,1 |
20,4 |
18,5 |
Определение среднего значения выходного параметра:
,
где m – число параллельных определений;
.
2) Определение выборочной дисперсии, которая характеризует меру отклонения (рассеивания) результатов параллельных определений от их среднего значения:
,
где fu = m – 1 – число степеней свободы выборочной дисперсии; fu = 7 – 1 = 6;
.
3) Определение средней квадратичной погрешности отдельного или единичного результата:
.
4) Проверка результатов на анормальность (на наличие промахов).
Анормальный результат (иначе промах, грубая ошибка) – это резко отклоняющийся результат из серии параллельных определений, полученный в результате грубой ошибки со стороны исследователя.
Обнаружение анормальных результатов проводится 2 способами:
а) с помощью критерия промаха К (грубый способ):
К = 3Su; Yср – К ≤ Y ≤ Yср + К;
К = 3
1,0033
= 3,0099;
19,00 – 3,0099 ≤ Y ≤ 19 + 3,0099;
15,9901 ≤ Y ≤ 22,0099
Вывод: анормальных результатов не обнаружено, так как все результаты параллельных определений попадают в данный интервал.
б) с помощью критерия анормальности Н (самый точный способ):
;
;
Hmin < Hтабл,
Hmax < Hтабл;
Нтабл = f(α;m);
;
;
.
Вывод: так как оба расчетных значения критерия анормальности (для минимального и максимального результатов) не превышают табличного, то анормальных результатов среди параллельных определений нет.
5) Определение средней квадратичной погрешности среднего арифметического результата:
;
.
6) Определение табличного значения критерия Стьюдента, который представляет собой нормированную погрешность:
,
где α – уровень значимости, показывающий допустимую долю (или процент) ошибок; в расчетах чаще всего принимают значение α=0,05;
.
7) Определение абсолютной максимальной погрешности опыта:
;
.
8) Определение относительной максимальной погрешности опыта, %:
;
.
Главный вывод: так как относительная максимальная погрешность опыта не превышает 5%, то аналитическую методику можно считать надежной и она может быть использована для определения параметра Y в последующем эксперименте.
9) Установление доверительного интервала, т.е. интервала в котором находится истинное значение параметра Y с вероятностью Р = 1 – α:
;
P=1 – 0,05= 0,95 (95%);
;
10) Установление стабильности параметра Y по коэффициенту вариации, %:
;
.
Если
5%,
то параметр Y стабилен,
т.е. во времени не изменяется. Процесс,
у которого все параметры стабильны,
называется стационарным.
Вывод: так как коэффициент вариации превышает 5%, то параметр Y является нестабильным, т.е. изменяется во времени.
11) Установление необходимого числа параллельных определений для получения результатов с погрешностью, не превышающей 5%:
;
;
Вывод: в каждом опыте требуется производить не менее семи параллельных определений.
1.2 Дисперсионный анализ результатов опытов
Проведение дисперсионного анализа позволяет выделить факторы, существенно влияющие на систему. Факторы, влияние которых на процесс несущественно, в дальнейшем из рассмотрения исключают.
Для дисперсионного анализа требуется провести несколько опытов (с параллельными определениями), изменяя значения исследуемого фактора.
Исходные данные для дисперсионного анализа результатов опытов:
Опыт |
Параллельные определения |
|||
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
|
1 |
8,2 |
8,5 |
8,3 |
8,4 |
2 |
12,5 |
12,4 |
12,0 |
12,3 |
3 |
15,6 |
15,5 |
15,4 |
15,9 |
Определение среднего значения параметра в каждом опыте:
,
где m – число параллельных определений в i – том опыте;
;
Определение выборочной (построчной) дисперсии для каждого опыта – меры отклонения результатов параллельных определений в каждом из опытов от соответствующей им средней величины:
,
где
– число степеней свободы дисперсии;
;
;
;
;
Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости опытов по критерию Кохрена:
;
;
;
.
Вывод: Gmax < Gтабл, следовательно, дисперсии однородны, а опыты воспроизводимы, т.е. выполнены с заданной степенью точности.
Определение внутригрупповой дисперсии – средней меры отклонения всей совокупности результатов параллельных определений от соответствующих им средних значений
в
каждом из опытов:
,
где n – число опытов;
;
Число степеней свободы внутригрупповой дисперсии:
;
.
Определение среднего значения параметра во всем эксперименте:
;
.
Определение межгрупповой дисперсии – меры отклонения средних значений параметра в опытах от среднего значения этого параметра во всем эксперименте:
,
где
– число степеней свободы межгрупповой
дисперсии,
;
.
Определение критерия Фишера:
;
,
где α – уровень значимости;
;
.
Если
,
то фактор X существенно
влияет на систему и, следовательно,
должен учитываться при нахождении
уравнения связи.
Вывод: так как F > Fтабл, то фактор Х существенно влияет на систему.
1.3 Аппроксимация результатов эксперимента
Аппроксимация проводится с целью установления уравнения связи между входными и выходными параметрами.
Аппроксимацию условно можно разделить на три части:
I часть – построение графика по опытным данным и установление по виду графика возможных видов уравнений связи для их описания;
II часть – определение коэффициентов предполагаемого уравнения связи (или нескольких уравнений);
III часть – оценка надежности полученного уравнения; при наличии нескольких уравнений оценивается надежность каждого уравнения и выбирается более точное.
Для определения коэффициентов уравнений связи можно использовать следующие методы:
Графический – используется в случае линейного уравнения или уравнения, приведенного к линейному виду (линеаризованного) – является самым грубым. Свободный коэффициент определяется как отрезок, отсекаемый прямой от оси ординат, а коэффициент при Х – как тангенс угла наклона прямой к положительной оси абсцисс.
Метод избранных точек – предполагает выбор двух (по числу коэффициентов уравнения) опытных точек, через которые проходит прямая, и решение системы из двух уравнений. Система уравнений составляется путем подстановки выбранных опытных значений X и Y в исходное уравнение.
Метод средних (метод уравновешенной погрешности) – предполагает использование всех опытных данных. Полученная при постановке опытных значений система из n уравнений делится на столько примерно равных частей, сколько коэффициентов. В каждой части уравнения почленно складываются.
Метод наименьших квадратов – основан на условии минимальности суммы квадратов разности опытных значений и соответствующих им расчетных значений.
Исходные данные для аппроксимации результатов эксперимента:
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Y |
8,4 |
8,7 |
9,3 |
10,0 |
15,7 |
28,3 |
62,8 |
I часть. Построение графика по опытным данным (рисунок 1).
Рисунок 1 – Зависимость Y=f(X)
Уравнение связи имеет вид .
II часть. Определение коэффициентов уравнения .
Так как уравнение
нелинейное, проведем его линеаризацию
путем замены переменной X:
.
;
В результате получаем данные для определения коэффициентов уравнения:
Х* |
2,718 |
7,389 |
20,086 |
54,598 |
148,413 |
403,429 |
1096,633 |
Y |
8,4 |
8,7 |
9,3 |
10,0 |
15,7 |
28,3 |
62,8 |
Метод средних. Используем все пары значений Y и Х*, полученную систему уравнений делим на 2 части, в каждом уравнении почленно складываем:
vvv
Полученное
уравнение:
.
Графический метод. Строим график зависимости Y = f(X*) (рисунок 2).
Рисунок 2 – Зависимость Y*=f(X)
По графику
определяем:
8,3
(отрезок отсекаемый прямой от оси
ординат):
;
.
Получаем уравнение:
.
Метод избранных
точек. Выберем первую и четвертую
опытные точки и соответствующие пары
значений X*
и Y подставим в уравнение
:
;
;
;
Получаем уравнение:
.
М
етод
наименьших квадратов. Расчетная
система уравнений имеет вид:
Найдём каждую сумму:
Полученные значения подставим в расчетную систему и решим ее:
;
;
Таким образом
уравнение имеет вид:
.
III часть. Оценка надежности уравнения (используем уравнение полученное самым точным методом).
Способ 1. Данный способ не используем, так как в опытах параллельные определения не проводились.
Способ 2.
Определение среднего значения параметра в эксперименте:
;
.
Определение дисперсии относительно среднего:
;
.
Число степеней
свободы
.
Определение расчетных значений параметра Y:
;
;
;
;
;
;
;
Определение остаточной дисперсии:
;
.
Число степеней
свободы
.
Определение критерия Фишера:
;
.
Вывод: так как F >> Fтабл , то уравнение надежно описывает опытные данные и имеет смысл по сравнению со средней величиной выходного параметра.
Способ 3.
Определение среднего значения параметра в эксперименте:
;
.
Определение Q (числитель дисперсии относительно среднего):
;
.
Определение расчетных значений параметра Y:
;
;
;
;
;
;
;
Определение Qост (числитель остаточной дисперсии):
;
.
Определение Q1:
;
.
Определение критерия Фишера:
;
.
Вывод: так как F>>Fтабл, то уравнение надежно описывает опытные данные.
Способ 4.
;
;
Х* |
2,718 |
7,389 |
20,086 |
54,598 |
148,413 |
403,429 |
1096,633 |
Y |
8,4 |
8,7 |
9,3 |
10,0 |
15,7 |
28,3 |
62,8 |
Определение средних значений параметров (с учетом замены переменной X):
.
Определение среднего квадратичного отклонения параметров:
;
;
Определение выборочного коэффициента корреляции:
Так как
,
то между величинами Х*
и Y
существует строгая функциональная
зависимость, причем с увеличением одной
переменной другая также увеличивается
и наоборот.
Вывод: результаты эксперимента надежно описываются уравнением .
2 ОПИСАНИЕ МНОГОФАКТОРНОЙ СИСТЕМЫ
Многофакторная
система – это система, на которую
действуют несколько факторов. Для
математического описания таких систем
часто используются алгебраические
полиномы. В случае двухфакторной системы
полином первой I
степени (линейное уравнение связи) имеет
вид
неполный полином II
степени (неполное квадратное уравнение)
–
полный полином II
степени –
2.1 Расчет линейного уравнения связи (полинома I степени)
Исходные данные для расчёта линейного уравнения:
X1 |
X2 |
Y |
45,0 |
13 |
1,3 |
14,2 |
12 |
2,5 |
6,6 |
11 |
3,8 |
Подставляем опытные
данные в уравнение:
получаем следующую систему:
Решаем систему линейных уравнений по методу Крамера. Определители третьего порядка решаем разными способами (метод треугольников, разложение по элементам строки или столбца без зануления элементов и с занулением):
;
;
;
.
Рассчитаем значения коэффициентов:
Линейное уравнение
связи имеет вид
Данное уравнение
справедливо для области исследования
факторов
.
Построим линии равного отклика Y = 1,3 и Y = 2,5 (рисунок 3)
Так как уравнение линейное, то линии равного отклика представляют собой прямые, для построения которых достаточно двух точек. Координаты точек определяем, задав значение одного из факторов в пределах области его исследования (лучше брать минимальное или максимальное) и определив соответствующее ему значение другого фактора. Желательно, чтобы значение другого фактора тоже находилось в пределах соответствующей ему области исследования.
Расчет точек для построения линий равного отклика:
Л Y=1,3 иния |
1-я точка
|
2-я точка |
|
(45 ; 13,03) |
(6,6 ; 12,9) |
Y=2,5 |
(45 ; 12,12) |
(6,6 ; 12) |
Рисунок 3 – Линии равного отклика