Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

у ниверситет ˝ЛЭТИ˝

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине ˝ИНФОРМАТИКА˝

Вариант № 9

Выполнил: студент гр. 7404 Князев Д. В.

Преподаватель: Белов М. П.

Санкт-Петербург

2007

Задание на курсовую работу

Цель курсовой работы: уметь применять персональный компьютер и математические пакеты прикладных программ в инженерной деятельности.

Тема курсовой работы: решение математических задач с использованием математического пакета "MathCAD".

Содержание курсовой работы:

1. Д аны функции f(x) = √3sin(x) + cos(x) и g(x) = cos(2∙x + π/3) – 1

1. Решить уравнение f(x) = g(x).

2. Исследовать функцию h(x) = f(x) – g(x) на промежутке [0;(5∙π)/6].

2) Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy.

Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.

Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).

3) Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов.

На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабри­катов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

Задача №1

Задание: Решить уравнение f(x) = g(x) и исследовать функцию h(x) = f(x) – g(x) на промежутке [0; (5∙π)/6].

1. Решение уравнения f(x) = g(x)

(корни уравнения f(x) = g(x))

Вывод: Уравнение f(x) = g(x) имеет решение при х = .

2. Исследование функции h(x) = f(x) – g(x) на промежутке [0; (5∙π)/6]

Из графика следует, что функция монотонно возрастает на промежутке (0;1), а затем монотонно убывает на интервале (1; ).

(значения х, при которых график первой производной функции h(x) пересекается с осью ох)

(первая производная функции h(x))

Нахождение экстремумов функции:

Минимум функции в точке ((5*π)/6; 0)

Максимум функции в точке (1,047; 4)

Исследование функции на монотонность:

Функция возрастает на отрезке [0; 1,047)

Функция убывает на отрезке (1,047; (5*π)/6)

Исследование функции на чётность:

f(x)≠f(-x), следовательно, функция нечётная.

Нахождение второй производной:

(вторая производная функции h(x))

Получено четыре значения х, при которых график второй производной h(x) пересекается с осью ох. Но лишь два значения х (0,111 и 1,983) удовлетворяют интервалу [0; (5∙π)/6]. Эти корни являются точками начала и конца перегиба.

График функции выпуклый вниз на интервале (0,111;1,983).

Задача №2

Задание: Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy (смотри приложение 1).

Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.

Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).

Х	9
0	5,0
0,5	4,7
1,4	5,7
2,25	5,333
3,5	4,667

Оценить погрешность интерполяции в точке x = 2,6. Вычислить значение функции в точке x = 1,6

Найдем коэффициенты кубического сплайна с помощью функций «cspline», «pspline», «lspline»:

(точка, в которой необходимо оценить значение интерполяции)

(точка, в которой необходимо вычислить значение функции)

(значение функции в точке 1,6)

(значение функции в точке, в которой необходимо вычислить погрешность интерполяции)

(погрешность «cspline»)

(погрешность «pspline»)

(погрешность «lspline»)

Вывод: Наименьшую погрешность интерполяции данных дает функция «lspline».

Задача №3

Задание: Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов [5].

На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабри­катов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

Постановка задачи А: Для изготовления n видов изделий И₁, И₂ ,... , И_n необхо­димы ресурсы m видов: трудовые, материальные, финансовые и др. Известно тре­буемое количество отдельного i-гo ресурса для изготовления каждого j-го изделия. Назовем эту величину нормой расхода с_ij. Пусть определено количество каждого вида ресурса, которым предприятие располагает в данный момент, - а_i. Известна прибыль П_j, получаемая предприятием от изготовления каждого j-го изделия. Тре­буется определить, какие изделия и в каком количестве должны производиться предприятием, чтобы прибыль была максимальной.

Используемые ресурсы, аi	Изготавливаемые изделия				Наличие ресурсов, аi
	И1	И2	И3	И4
Трудовые	1	7	6	5	17
Материальные	2	1	9	15	8
Финансовые	6	8	5	8	32
Прибыль, Пj	35	52	36	24

Начальные приближения

(кол-во изд. I типа)

(кол-во изд. II типа)

(кол-во изд. III типа)

(кол-во изд. IV типа)

Зададим критерий оптимизации (функция прибыли)

Ограничения на количество производимых изделий

Система ограничений на использование ресурсов

(налич. ресурсы) – ограничение на трудовые

(налич. ресурсы) – ограничение на материальные

(налич. ресурсы) – ограничение на финансовые

Функция «Maximize» с искомыми параметрами, вычисление наибольшей прибыли с учетом ограничений

Результат вычислений

Оптимальное распределение ресурсов обеспечит получение максимальной прибыли Y

Функция округления «round»

Окончательный результат

(полученная максимальная прибыль)

Вывод: Для получения максимальной прибыли предприятию необходимо изготавливать изделия первого вида (И₁) в количестве 3 единиц и изделия второго вида (И₂) в количестве 1 единиц. Тогда максимальная прибыль составит 178 условных единиц.

Вывод по курсовой работе

Студент группы 7404 Князев Дмитрий научился применять персональный компьютер и математические пакеты прикладных программ в инженерной деятельности на примере вышеизложенных задач, а также сделал следующий вывод: «MathCAD» - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета – естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями. Набор функций позволяет решать задачи практически из любой области. Практическое применение пакета «MathCAD» существенно повышает эффективность интеллектуального труда.