Индивидуальное задание / PeriodicSystZad

Цель работы – изучение поведения решений системы линейных равнений с периодическими коэффициентами.

Дана система двух уравнений

(1)

Пусть Т – общий период для коэффициентов.

1. Находим фундаментальную матрицу X(t) системы (1) на отрезке [0; T]. Для этого решаем два раза задачу Коши с начальными условиями (2) И (3) соответственно. Пусть и - решения задач (1),(2) и (1),(3). Тогда матрица - фундаментальная матрица системы.

2. Известно, что , где основная матрица для данной фундаментальной системы. Но по условию . Значит, . Отсюда получаем

3. Любое решение системы (1) имеет вид , где - построенная выше фундаментальная матрица. Следовательно, (4)

4. Из (4) видно, что поведение при определяется поведением , а оно зависит от собственных чисел матрицы . Если все , то . Если среди хотя бы одно по модулю > 1, то часть элементов матрицы стремится к . Если все и нет присоединенных векторов, то остается ограниченной при .

5. В общем случае матрицуи можно найти только приближенно, решая численно задачу Коши. При этом вычисляется на конечном множестве точек , и

6. Реализация этой схемы в Mathcad'e описана в файле PeriodicSystZad.mcd .