При выборе полинома Баттерворта в качестве аппроксимиующего функция фильтрации определяется выражением:

|φ(jΩ)|²=ε²В²_n(Ω) где:

ε – коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе пропускания:

при ΔА = 0.48037 дБ

В_n(Ω) =Ωⁿ – полином Баттерворта,

n – порядок полинома Баттерворта, определяемый техническими требованиями к фильтру и являющийся порядком фильтра:

n ≥ 4.80965

n =5.

П ерейдем к формированию нормированной рабочей передаточной функции Т(р) по Баттерворту:

|T(jΩ)|² = 1/(1+0.48037²Ω¹⁰)

или

где V(p)=(p–p₁)(p–p₂)…(p–p_n) – полином Гурвица, определяемый корнями уравненя 1+ ε² (p/j)²ⁿ = 0, лежащими в левой полуплоскости.

Эти корни определяются соотношением:

Рабочее ослабление получим через рабочую передаточную функцию Т(jΩ)=Т(р)_р=jΩ.

Окончательно получим:

Проверим полученное выражение А(Ω) на частотах Ω₀₁ = 0, Ω₀₂ = 1 и

Ω₀₃. Рабочее ослабление А на первой частоте должно быть равно 0, на второй – ΔА,и на последней А_min.

Расчет подтверждает это:

5.Реализация схемы фильтра фнч - прототипа На данном этапе по найденной ранее функции т(р) необходимо получить схему фнч .

Существует несколько способов реализации электрических фильтров: по Дарлингтону, ускоренный метод реализации симметричных и антиметричных фильтров Попова П.А., реализация по каталогу нормированных схем и т.д. Реализация по Дарлингтону основана на формировании функции Z_вх(р) по Т(р). Тогда получение схемы нагруженного фильтра можно свести к реализации двухполюсника путем разложения функции Z_вх(р) в цепную дробь (по Кауэру).

Z_вх(р) определяется из выражения: ρ(р)= , откуда Z_вх(р)= .

ρ(р) при аппроксимации по Баттерворту определяется:

Окончательно получим:

Сформируем коэффициент отражения ρ(р):

где

B₅(p) - полином Баттерворта пятого порядка (n=5).

Составим Z_вх(р), выбирая знак “ – “ у функции ρ(р):

Разложим функцию Zвх(р) в цепную дробь (по Кауэру) и построим нормированную схему фильтра:

l₁= 0.5337366 c₂=1.3973407 r₁=r₂=1

l₃= 1.727208 c₄=1.3973407

l₅= 0.5337366

Полученной функции Zвх(р) соответствует следующая нормированная схема (рис.1):

Рис.1 Нормированная схема фильтра

Если выбрать знак “ + “ у функции ρ(р), то получим дуальную схему фильтра:

c₁= 0.5337366 l₂=1.3973407 r₁=r₂=1

c₃= 1.727208 l₄=1.3973407

c₅= 0.5337366

Ей соответствует дуальная схема (рис.2):

Рис.2 Дуальная схема фильтра

6. Переход от схемы фнч – прототипа к схеме заданного фильтра

Осуществим переход от нормированной схемы ФНЧ – прототипа к схеме ФВЧ. Согласно [1] каждая индуктивность l_k переходит в емкость с_k1= a / l_k, а каждая емкость c_q – в индуктивность l_q1= a / c_q (рис.6).

Рис.6 Заданная схема фильтра

Для перехода к денормированным нагрузочному сопротивлению R₂ и граничной частоте f₂ (т. к. ФВЧ) осуществляется изменение уровня сопротивления и масштаба частоты с помощью следующих множителей:

а) преобразующий множитель сопротивления:

где R₂ - нагрузочное сопротивление,

r₂ - нормированное нагрузочное сопротивление;

б) преобразующий множитель частоты:

Коэффицикнты денормирования индуктивности k₁ и емкости k₂ определяются по формулам:

Рассчитаем эти коэффициенты:

Денормированные значения заданного фильтра определяются по следующим формулам: