2.5. Приведение корреляционной матрицы к диагональной форме

Преобразование корреляционной матрицы к диагональной форме основано на следующем свойстве вещественной (действительной) симметричной матрицы.

Пусть R - невырожденная корреляционная матрица и имеет п различных собственных чисел _i, i=1,...n. Пусть a_i, i=l,...n -соответствующие собственные векторы, выбранные из пар собственных векторов, соответствующих каждому собственному числу, составляющие ортонормированный базис в n-мерном пространстве. Пусть A=(a₁,...a_n) - матрица, столбцами которой являются собственные векторы а_i. Рассмотрим матрицу

где E - единичная матрица. Следовательно, матрица А является ортогональной.

Напомним, что некоторая матрица А ортогональна, если

А^-1А= А^ТА=Е. По уравнению Ra = а получим RA = (_а₁... _nа_n), где столбцами матрицы в правой части являются векторы _iа_i.

Учитывая, что векторы а_i ортогональны, получим

Матрица А^ТRA ортогональна, а ее диагональные элементы являются собственными числами. Из условия А^ТRA = следует

A А^ТRA А^Т = A А^Т и R = A А^Т, так как A А^Т = А^Т А = Е.

Следовательно, невырожденная корреляционная матрица R может быть приведена к диагональной форме путем ортогонального преобразования А^ТRA.

Пусть х=(x₁,...х_n)^Т - некоторый вектор, заданный своими проекциями на осях координат X_i ,

i=1,…n. Рассмотрим вектор у=(у₁,...у_n) ^Т , где у=А^Тх, а строками матрицы А^Т являются собственные векторы а_i^Т линейного преобразования R. Тогда

Следовательно, компонента y_i вектора у - это скалярное произведение собственного вектора а_i

37

и вектора x. С другой стороны, скалярное произведение - это произведение модулей векторов а_i и x на косинус угла между ними. Так как ||a_i|| = 1, то это есть произведение ||x|| на косинус угла между a_i и x - проекция вектора x на а_i. Поэтому вектор у представлен своими проекциями на ортонормированный базис собственных векторов корреляционной матрицы R. Можно считать, что новый базис a_i, i=l,...n образует новое n-мерное пространство признаков Y_i=(у₁,…y_N)^T ,i=1...n, принимающих свои значения на N объектах. Значения п признаков Y_i, как бы измеренных на N объектах, образуют новую матрицу данных

Y = ХА, полученную из матрицы Х ортогональным преобразованием А:

Корреляционная матрица R, вычисленная по матрице X, представляет собой матрицу

Вычислим среднее признака Y_j

так как матрица X стандартизована. Вычислим величину

Тогда матрица является ковариационной матрицей, вычисленной по матрице Y. Диагональная структура матрицы  показывает, как и следовало ожидать, независимость признаков Y_i, i = 1,. ..п. Собственные числа _ являются дисперсиями этих признаков, то есть _ = ^_ . Если разделить значения компонент каждого признака Y_i на величину _ = , то матрица Y будет приведена к стандартизованному виду. Тогда преобразование Y = ХА^ даст стандартизованную матрицу данных Y с единичной корреляционной матрицей:

38