19. Ранг матрицы. теорема об элементарных преобразованиях матрицы.
1. Рангом матрицы А называется такое целое число R, что среди миноров порядка R этой матрицы найдётся хотябы один не равный нулю, а все миноры порядка R+1, если такие существуют - равны нулю. Лемма: Если в матрице А все миноры каждого порядка равны нулю, то все миноры большего порядка тоже равны нулю. 2. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: прибавление к одной строчке(столбцу) другой строчки(столбца) переставление строк(столбцов). Лемма: При транспорировании матрицы ранг не меняется. Теорема 1: Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Теорема 2: Элементарным преобразованиям строк матрицы А соответствуют равносильные преобразования системы уравнений матрицы. Теорема 3: При помощи элементарного преобразования строк - любую мматрицу m на n можно привести к следующему виду: Некоторые R столбцов совпадают с первыми R столбцами единичной матрицы порядка m. Если R<m то последние (m-R) строк состоят из нулей.
Пример:
Решить системы
уравнений.
1.
Найдем матрицу обратную матрице A.
Таким
образом, x = 3, y = – 1.