Шпаргалка по линейной алгебре / 2008-04-16-23-25-Александра-

1. Метод Гаусса-Жордана

С помощью допустимых преобразований привести м-цу сис-мы к виду А или В, или убедиться, что она не совместна. Если появл. cтрока вида [0 0 0 … 0| b] то сис-ма не совместна.

Алгоритм метода:

1. Переставляем строки, чтоб эл-т [1;1] был отличен от нуля.

2. Делим все эл-ты первой строки на этот эл-т.

3. Домножая строку на подх. множители и прибавляя её к остальным, обращаем в нуль все эл-ты первого столбца кроме 1-го.

4. Если появилась нулевая строка – вычеркиваем.

5. Если появ. [0 0 0 … 0| b], то сис-ма не совместна. И.Т.Д.

Алгоритм заканчивается – 1) сис-ма несовместна, 2) вид А, 3) вид В.

2. Определители.

Определитель вводится только для квадратной м-цы. Определителем кв. м-цы А, называется её разложение по какому-либо столбцу или строке.

Сумма произведений эл-тов i-той строки (k-того столбца) м-цы А, на соотв. им алгебраические дополнения называется разложением м-цы А по i-той строке (k-тому столбцу). Разложения кв. м-цы по любым строкам и столбцам совпадают.

Алгебраическим дополнением называется число определяемое рав-вом:

Минором i-той строки j-того столбца м-цы n-го порядка, называется определитель м-цы (n-1)-го порядка, которая получается из м-цы А путем вычеркивания i-той строки и j-того столбца.

Свойства определителей:

1. Если кв. м-ца имеет нулевую строку или столбец, то ее определитель равен нулю.

Лемма: Если поменять местами две соседние строки (столбца) то знак определителя изменится.

Д-во:

Написать два опред. Во втором поменять местами i и i+1 строки. Разложить 1-ый по i строке, а 2-ой по i, которая стала i+1.

Замеч.: при четном числе перестановок сосед. строк, знак опред. не меняется, при неч. меняется.

2. Если поменять местами каке-нибудь две строки (столбца), то определитель изменит знак.

Д-во:

Переставим i строку на j место, посл. переставляя соседние строки... Всего потр. 2(j-i)–1 перестановок, неч. кол-во-опр. меняет знак

3. Если м-ца имеет 2 одинак. строки (столбца), то опред. равен нулю.

Д-во:

Поменяем местами две одинак. строки. Знак опред. изменится, но ничего не изменится. D=-D => D=0.

4. Сумма произведений эл-тов какой-либо строки (столбца) на соотв. алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.

Д-во:

D отл. от D1 тем, что в D1 2 одинак. строки, все ост. такие же как у D. Раскл. D1 по j строке.

Алгебр. дополнения не зависят от эл-тов, для которых они строятся.

Опр. D и D1 отл. только j строкой => и.т.д.

5. Определитель умножается на число , если какую-нибудь строку (столбец) умножить на число

Д-во:

Разложить м-цу по строке умнож. на .

6. Если эл-ты некоторой строки кв. м-цы равны сумме двух слагаемых, то определитель этой м-цы равен сумме определителей двух м-ц, у одной их которых соответствующая строка состоит из первых слагаемых, а у второй из вторых. При этом остальные строки этих м-ц такие же как у исходной.

Д-во:

Алг. доп. не зависят от эл-тов для кот. они строятся!

7. Если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец) умнож. на , то определитель не изменится.

Д-во:

Из D делаем D1 прибаляя к i-той строке j-ю умнож. на . D1=D+ =D

8. Определитель произведения равен произведению определителей.

3. Теорема Крамера. ОСЛАУ.

Т| Если определитель системы отличен от 0, то данная система имеет единственное решение.

Д-во:

По Г-Ж.

Т обр.| Если система имеет единственное решение, то ее определитель отличен от 0.

Д-во

Раз сис-ма имеет единств. решение, то алг. Г.-Ж. заканч. получением еденич. м-цы, опред. которой отличен от 0. Докажем от противн., что detА не равен 0. detА=0, но по Г-Ж. все преобразов. таковы, что опред. исх. м-цы равен опред. преобр => =0, что невозм. т.к. см. выше.

ОСЛАУ

ОСЛАУ всегда совместны, ибо есть хотя бы одно решнение – нулевое.

Т| Если кол-во ур-ий в ОСЛАУ меньше кол-ва неизвестных, то она имеет бесконечно много решений.

Д-во:

По Г.-Ж.

Ф-ла Крамера

Следствие пр. и обр. теорем Крамера.

Пусть кол-во ур-ий равно кол-ву неизв. Тогда ОСЛАУ имеет единств. нулевое решение <=> det отличен от 0.

4. Обратная матрица.

Кв. м-ца Х n-го порядка называется обратной к А, если одновременно выполняются два матричных рав-ва

Т| Если определитель кв. м-цы А равен нулю, то м-ца А необратима.

Д-во:

От противного. AX=E, det(AX)=det(E), detA detX=detE, 0 detX=1, 0=1, что невозможно.

Т| Если определитель кв. м-цы отличен от 0, то для этой м-цы сущ-ет ей обратная, причем единственная.

Д-во:

1) A X=E и 2) Y A=E имеют единств. решение и они равны между собой. 1 ур-ие СЛАУ имеющ. единств. решение => м-ца X опред. единств. образом. 2 ур-ие. (Y A)= E, A Y= E. Аналогично с 1. (A X)=E, Y (A X)=Y E, Y A X = Y, E X=Y, X=Y.

Способ вычисл. эл-тов обр. м-цы.

1) det=0 => обр. м-ца существует.

2) Заменяем эл-ты м-цы А соотв. им алг. доп.

3) Траснпонируем получ. м-цу.

4) Делим каждый эл-т на detA.

5. Линейная зависимость.

В-ры линейно зависимы, если сущ-ет ненулевой набор коэфф. такой что выполняется рав-во: * !!!

В-ры наз. линейно независимыми, если рав-во * выполн. только при нулевом наборе коэфф.

Лемма1

Для любого в-ра выполняется:

1)

Для любого ч-ла

2)

Для любого в-ра

3)

Лемма2

В-ры ЛЗ <=> сущ-ет вектор из этой сис-мы, который лин. выражается через все остальные векторы.

Д-во:

1) Пусть U1…Un ЛЗ => сущ-ет ненулевой набор коэфф. при кот. вып. рав-во *. Допустим, что . Далее пишем рав-во *, делим его на , получаем, что Ui лин. выр., через ост. векторы. 2)В-р Ui лин. выр. Через ост. в-ры, тогда сущ-ет набор коэфф , при кот. получается рав-во *.

Лемма3

ЛНЗ и вектор V такой, что U1,..Un, V ЛЗ. Тогда V – лин. выр. Через U1..Un.

Д-во:

U1…Un, V ЛЗ => рав-во * вып. При ненулевом наборе коэфф. , иначе получаем рав-во * для U1…Un, что невозможно. Поделим все на . Получаем, что V – лин. выр. Через U1…Un.

Теорема о 4х дост усл. лин. зависимости.

1) Если среди векторов U1…Un есть 0-вектор, то сис-ма U1…Un лин. зависима.

Д-во:

Запишем рав-во * снабдив 0-вектор ненулевым коэфф, а все остальные нулевыми коэффициентами и получаем, что U1…Un ЛЗ.

2) Если подсистема системы в-ров U1…Un ЛЗ, то и вся система ЛЗ.

Д-во:

Запишем рав-во * для подсистемы, снабдив ее эл-ты ненулевыми коэфф. Затем допишем оставшиеся эл-ты системы снабдив их нулями. Получаем рав-во * для всей сис-мы, выполн. при ненулевом наборе коэфф,

3) Пусть каждый эл-т системы векторов U1…Un лин. выр. через систему векторов V1…Vm, где m<n, тогда U1…Un ЛЗ (‘длинная система выр. через короткую’)

4) Пусть V1…Vn ЛЗ и каждый эл-т системы векторов U1…Un лин. выр. через V1…Vn, тогда U1…Un ЛЗ.

Д-во:

1)V1…Vn – ЛЗ => по лемме2 Vn лин. выр. через V1…Vn-1.

2) U1…Un лин. выр. через V1…Vn. В каждое лин. выражение вместо Vn подставляем лин. выр. через V1…Vn-1. Группируем слагаемые с одинкаовым Vi и выносим Vi за скобки. В рез-те получим сис-му линейных выражений векторов U1…Un через V1…Vn, т.е. по 3 усл. U1…Un ЛЗ.

6.Базис

Система векторов образует базис в множ-ве M, если

1)V1,V2,…Vn – ЛНЗ система

2)любой вектор V M лин. выр. через V1…Vn

Теорема о базисах:

1) Если V1…Vn – базис M, то любой вектор V единтсвенным образом линейно выражается через в-ры V1…Vn.

Д-во:

Допустим, что может быть два лин. выр. Приравняем их, вынесем одинак. Vi. Получим рав-во * для ЛНЗ сис-мы => коэфф. равны 0, т.е коэфф. первого выр-я равны коэфф. второго выр-я.

2) Если V1…Vn базис M и f1…fm базис М, то m=n

Д-во:

Допустим, что, к примеру, m>n. Тогда по 2 усл. опред. базиса f1…fm лин. выраж. По базису V1…Vn => по 3му усл лин. зависимости f1…fm ЛЗ, что невозможно.

3) Базис - максимальная по длине ЛНЗ система

Д-во:

Аналогично со 2м.

4) Если e1, e2 … en ЛНЗ система в М. V1…Vn – базис М => e1…en – базис множества М.

Д-во:

Берем вектор W M

e1…en,W – ЛЗ, т.к. в противном случае более длинная ЛНЗ систему, чем базис. По лемме3 W лин. выраж. Через e1…en => по определению e1…en базис в М.

7. Скалярное, смешанное и векторное произведения векторов.

Скалярным произведением векторов a и b называется число, определяемое равенством:

Свойства:

Два вектора называются ортогональными, если выполняется хотя бы 1 из 2х условий:

1) Хотя бы один вектор нулевой.

2) Оба вектора ненулевые и угол между ними -90’ (скалярное произведение равно нулю)

Проекцией вектора a на в-р и называется число, определяемое рав-ом:

Векторным произведением 2х векторов a и b называется вектор c, кот. обладает след. 3мя св-вами:

3) если в-ры a и b неколлин. То они обр. правую тройку, т.е. кратчайший поворот от вектора a к b виден из конца вектора с против ч.с. Если колл. то их скалярн. произвед. равно нулю.

Модуль векторного произведения двух неколлин. векторов, есть S параллелограмма построенного на этих векторах.

Свойства ВП:

4)

ixi=0, ixj=k, ixk=-j, jxi=-k, jxj=0, jxk=i, kxi=j, kxj=-i, kxk=0

Смешанное произведение векторов это число определяемое условием .

Свойства СП:

1) если в-ры a,b,c компланарны то их СП=0

2) СП 3х векторов неизменно при циклических перестановка эл-тов.

3) вычисл. формула СП:

8. Плоскость и прямая

Ур-ием (нер-вом) фигуры называется ур-ие (нер-воудовл. следующим двум условиям:

1) если точка принадлежит фигуре, то её координаты удовл. данному ур-ию (нер-ву).

2) если координата некоторой точки удовл. ур-ию (нер-ву), то точка принадлежит фигуре.

Плоскость.

1) Общее ур-ие плоскости

Ax+By+Cz+D=0

2) Ур-ие плоскости проходящей через точку x , y, z , перпендикулярно вектору n с коорд. (A,B,C,)

A (x-x )+B(y-y )+C(z-z )=0

3) Ур-ие плоскости, прох. через 3 точки

Даны М1 М2 М3. M (x,y,z) произвольная точка в пл-ти. M1М, М1M2, М1M3 – компланарны.

4) Ур-ие плоскости в отрезках.

ОА=a

OB=b

OC=c

A=(a;0;0)

B=(0;b;0)

C=(0;0;c)

5) Нормальное ур-ие плоскости

Косинус угла между пл-тями: модуль косинуса угла между нормалями

Расст. от точки до плоскости:

Прямая.

1) Векторное ур-ие прямой:

OM=r; OMo=r; MoM

r=r +MoM

MoM ||

MoM=t ,t-число

2

3) Каноническое ур-ие прямой:

Выразим из пар-р t

4

Mo (x0, y0, z0)

M1 (x1, y1, z1)

M l: M(x, y, z)

MoM, MoM1 – коллин.

MoM (x-x0; y-y0; z-z0)

MoM1 (x1-x0; y1-y0;z1-z0)

5) Общее ур-ие прямой:

Прямую можно задать, как пересечение двух плоскостей

Косинус угла между прямыми: модуль косинуса угла между направл. векторами.

9. Скалярное произведение в линейном пр-ве.

Рав-во в нерав-ве Коши-Буняковского достигается тольком когда в-ры x и y линейно зависимы. Да, блядь, не поверишь, блядь, но это так!!!

д-во

Линейное пр-во над R

Линейное пр-во над C

Скалярным умнож. назыв. отображение f

f: LxL→R

f: LxL→R

Будем обозначать значение отображения на паре векторов.

(x,y) – скалярное произведение, причем выполнены след. аксиомы:

А1| (x,x)=0 <=>x=0

A2| (x,y)=(y,x)

(x,x)>0

(x,y)=(y,x)

A3| (x+y,z)=(x,z)+(y,z)

A4| ( \x,y)= \(x,y)

Линейное пространство L над R со скалярн. произведением называется Евклидовым.

Линейное пространство L над С со скалярн. произведением называется Унитарным.

Свойства скалярного произведения

Евклидово

Унитарное

1) (x-y,z)=(x,z)-(y,z)

2) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

3) (x, \y)= \(x,y)

(x, \y)= \(x,y)

4) (x,y)=0

В Евклидовом и Унитарном пространстве справедливо нер-во Коши-Буняковского:

Д-во:

1) x=0

нер-во тривиальное.

2) x≠0

введем в рассм. z

10. ОБ, ОНБ, коэфф. Фурье, алг Грама-Шмидта

В унитарном (евклидовом) пространстве сис-ма ненулевых попарно ортогональных векторов (e1…em) - ЛНЗ.

Д-во:

Запишем рав-во * для сис-мы векторов e1…em

Обе части этого рав-ва умножим скалярно справа последовательно на векторы e1…em

Пусть L n-мерное евклидов(унитарное) пространство. Тогда сис-ма ненулевых попарно ортогональных векторов сост. из n-элементов явл. базисом.

Д-во: из п.4 Т. о базисах и см. выше.

e1…en- ОБ

если при этом норма вектора равна 1, то он ОНБ.

Пусть e1…en – ОБ.

Возьмем x из L

x=x1e1+x2e2+…xnen

Скалярно умножим на e1…en обе части

Xi - коэфф. в-ра x в ОБ

если e1…en – ОНБ, то Xi=(x,ei)

Алгоритм Грама-Шмидта

Дано: {a1…an} - базис

11. Собств. числа и собств. векторы

f:L1→L1

f- оператор умн. вектора на число.

f(x)= \x

f(x)e=Ax e= \x e

Пусть А – кв. мтарица.

Если Ax= \x, где x≠0!!!, то число \ наз. собств. числом м-цы А, а x≠0 наз. собственным вектором м-цы А, соотв. собств. числу \.

матричная запись ОСЛАУ в, кот. кол-во ур-ий = кол-ву неизв.

Данная система имеет ненул, решение, тогда, когда det=0 (€). Ур-ие наз. характеристическим. Алгоритм нах. собств. чисел и собств. векторов.

1) Решить ХУ, найти СЧ

2)найдя СЧ подстав. в рав-во (€) решить эту сис-му методом Г.-Ж. и найти тем самым СВ.

Т| СВ x1…xk кв. м-цы А, соответсвующ. разл собств. числам \1… \k, KYP

Д-во: По индукции и приплести рав-во *, и еще умножить там надо будет наслева.

12. СЧ и CD самосопр. м-цы

А* назыв сопряж. к А, если выполняется

A*=A (транспон. и комплексно сопряж.)

L-унит.(евкл.) пр-во А - м-ца ЛО в L, тогда

(Ax,y)=(x,A*y)

М-ца наз. самосопряженной, если А=А*

Св-ва самосопряженной м-цы:

1) (Ax,y)=(x,Ay)

2) СЧ самосопр. матрицы действительные

д-во:

из Ax,x вычесть x,Ax.

3) СВ самосопр. м-цы соотв различным собств. числам ортогональны.

д-во

x-СВ \

у-СВ \

_Ax,y=( \ x,y)= \ (x,y)

x,Ay=(x, \ y)= \ (x,y)

0 = (x,y)( \ , \ )

(x,y)=0 – x,y ортогональны.

4) Сущ-ет ровно n попарно ортогональных в-ров самосопр. м-цы и эти векторы образуют ортогон. базис в C ,R и этот базис наз. собств. базисом самосопр. м-цы

13. Унитарные м-цы.

Кв. м-ца называется унитарной, если её столбцы образуют ортонормированный базис в С , R .

T| М-ца унитарна тогда и только nulf когда м-ца обратная к А совп. с А*.

Св-ва унитарной м-цы:

|detA|=1

д-во:

A* A=Е, det(A* A)=detE, detA* detA=1

detA detA=1

detA detA=1

(detA) =1

|detA|=1

2) (Ax,Ay)=(x,y)

(Ax,Ay)=x,A*(Ay))=x,(A*Ay)

3)Унитарная матрица сохр. норму вектора

||Ax||=||x||

4) CЧ унит. м-цы по модулю равны 1.

\ - СЧ м-цы А

x – СВ м-цы А, соотв \

(Ax,Ay)=( \x, \,x)= \ \ (x,x)

\ \(x,x)=(x,x)

\ \=1

| \|=1.

Приведение матрицы к диагональному виду.

Пусть x1,x2,…,xn это попарно ортогон. ненулевые векторы.

Расcм. м-цу А сост из столбцов А [x1…xn], тогда

д-во:

М-ца А неявл. унитарной. нормируем x1…xn