Аффинная симметрия

Геометрические преобразования аффинных групп симметрии отноаггся к группе гомо­логии. Гомологически равными считаются формы криволинейно симметричные, преобра­зуемые друг в друга однородными деформациями. Оси гомологии в отличие от осей сим­метрии представляют собой оси косых поворотов вокруг прямой, сложных пространствен­ных изгибов и кручений. Все эти преобразования рассматриваются как отдельные группы симметрии, имеющие свои законы движений. В аффинной симметрии происходят преобра­зования, заключающиеся в изменении пространственного расположения исходной формы с одновременными однородными деформациями формы. Аффинная симметрия проявляется в трех видах: растяжение, сжатие и сдвиг. Формы считаются неизменными относительно пре­образований аффинной симметрии. Растяжение - это такое изменение в геометрии формы, при котором сохраняется неизменным положение одной плоскости, называемой плоскостью растяжения, а все другие параллельные ей плоскости перемещаются в направлении растя­жения. Сжатие - операция, противоположная растяжению. Величина сжатия пропорцио­нальна расстоянию от плоскости сжатия. При сжатии форма уменьшается в заданном на­правлении. Под сдвигом понимается такое изменение формы, при котором остается непод­вижной так называемая плоскость сдвига, она становится плоскостью основания для сдви­гаемой формы, остальные параллельные ей плоскости перемещаются в самих себе по на­правлению сдвига. При этом вертикальная ось формы принимает наклонное положение, в результате чего происходит изменение пластики формы с сохранением ее объема. Величина сдвига пропорциональна расстоянию от плоскости сдвига. Для задания оси сдвига необхо­димо указать направление и величину сдвига, то есть угол между направлением оси и нор­малью к плоскости перемещения.

Преобразования симметрии подобия являются частным видом аффинной группы. По­добно равными считаются все фигуры одной и той же формы. Симметрия подобия проявля­ется в двух видах: параллельном и спиральном движениях. Симметрия параллельного дви­жения заключается в переносе всех подобных частей формы в параллельное положение с одновременным увеличением или уменьшением масштаба частей и расстояний между ними в п раз. Такой вид симметрии подобия называется «операция К». Прямые, проходящие через соответствующие точки, сходятся в определенной точке, которая называется «особенной». Уменьшающиеся формы исчезают в особенной точке, увеличивающиеся уходят в бесконеч­ность. По этому принципу сделаны матрешки, собирающиеся одна в другую. Принцип сим­метрии параллельного движения наблюдается в природе: образование конической формы деревьев, пирамидальной формы кристаллов и т.д.

Симметрия подобия спирального движения заключается в последовательном повороте форм относительно оси поворота на определенный угол с одновременным увеличением или уменьшением масштаба. Этот вид симметрии подобия называется «операция L», которая слагается из последовательно произведенных поворотов вокруг оси подобия, обозначаемой символом L, на некоторый угол и операции К. Соответственные части развивающихся та­ким образом форм должны лежать на логарифмической спирали. При этом угол поворота может иметь любую долю полного оборота. Симметрия подобия спирального движения, или винтовая симметрия, наблюдается во многих формах живой и неживой природы, на­пример моллюски со спиральными раковинами. Винтовая симметрия присуща растущим формам как живой, так и неживой природы, она наблюдается в расположении листьев у растений. Винтовая симметрия обеспечивает динамику объема или пространства вдоль сво­ей оси.

45