Типовые примеры и методы их решения

Пример 1.2.1. Вы поместили в банк вклад 10 тыс. руб. под простую процентную ставку 26% годовых. Какая сумма будет на вашем счете через 3 года? Какова будет величина начисленных процентов? Если банк осуществляет регулярные выплаты начисленных процентов, то какую сумму Вы будете получать: а) каждый год; б) каждый квартал?

Решение. Полагая в формуле (9) Р = 10 тыс. руб., n = 3 года, r= 0,26, получим наращенную сумму через 3 года, если не происходят выплаты простых процентов:

F = 10 ^. (1+3 ^. 0,26) = 17,8 тыс. руб.

Следовательно, величина начисленных процентов / составит:

I = F – P =17,8 – 10 = 7,8 тыс. руб.

Величину начисленных простых процентов, выплачиваемых ежегодно, определяем из формулы (12) при l = 1:

I₁ = 10 ^. 1^. 0,26 =2,6 тыс. руб.

При ежеквартальных выплатах l = 0,25 года, и поэтому величина каждой выплаты составит:

I₂ =10 ^. 0,25 ^. 0,26 = 0,65 тыс. руб.

Заметим, что проценты на уже начисленные проценты не начисляются независимо от срока хранения вклада. Поэтому имеет смысл начисленные простые проценты регулярно получать и использовать, например, для иных инвестиций. Поскольку приращение вклада при наращении простыми процентами растет линейно вместе со сроком его хранения, то величины I₁ и I₂ можно найти, поделив I соответственно на 3 и на 12.

Пример 1.2.2. На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 28% годовых, чтобы она увеличилась в 1,5 раза?

Решение. Искомый срок определяем из равенства множителя наращения величине 1,5:

1 + n ^. 0,28=1,5.

Решая это уравнение относительно n, получим n = = 1,786 года. Таким образом, если в году 365 дней, то необходимый срок составит 1 год и 287 дней.

Пример 1.2.3. Предпринимателю 14 февраля была предоставлена ссуда в размере 20 тыс. руб. с погашением 14 июля того же года под процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте различными способами сумму к погашению, если начисляются простые проценты и год невисокосный.

Решение. Величина уплачиваемых процентов за пользование ссудой зависит от числа дней, которое берется в расчет. Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна - для обычного года, вторая -для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня. Поэтому точное число дней находим по таблице 1 в приложении 2: 195 - 45 ^ 150 дней. Естественно, это число можно найти и непосредственно, исходя из количества дней в соответствующих месяцах. Приближенное число дней ссуды состоит из 16 дней февраля (30 - 14); 120 дней (по 30 дней четырех месяцев: март, апрель, май, июнь) и 14 дней июля. Т.е. приближенное число дней составляет: 16 + 120 + 14 = 150. Теперь с помощью формулы (10) можно рассчитать возможные значения суммы к погашению. Во всех случаях Р = 20 тыс. руб., г = 03 .

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды (т.е. T=365, t =150):

F = 20 (1 + ^. 0,3) = 22,466 тыс. руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней ссуды (т.е. T = 360, t = 150):

F = 20 (1 + ^. 0,3) - 22,5 тыс. руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды (т.е. Т = 360, t = 150):

F = 20 (1 + ^. 0,3) = 22,5 тыс. руб.

Очевидно, что обыкновенные проценты и точное число дней ссуды доставляют большее значение суммы к погашению, чем точные проценты и точное число дней ссуды. В условиях этого примера второй и третий варианты расчета обеспечивают одинаковые суммы при возврате долга. Вообще, как правило, число точных и число приближенных дней краткосрочной (до одного года) ссуды либо очень близки, либо совпадают, что позволяет в банковских расчетах обычно пользоваться приближенным числом дней ссуды. Так, если бы ссуда была выдана с 15 января по 14 июля, то точное число дней ссуды - 180, а приближенное -179. Следовательно, по второму и третьему вариантам расчета соответственно получим:

F = 20 (1 + ^. 0,3) = 23 тыс. руб.;

F = 20 (1 + ^. 0,3) = 22,983 тыс. руб.

Вообще видно, что во всех случаях суммы к погашению различаются незначительно, но при больших величинах ссуд даже небольшие расхождения могут иметь значение.

Отметим, что число точных и число приближенных дней ссуды могут достаточно сильно отличаться друг от друга, если срок ссуды более 360 дней. Если, например, ссуда предоставлена с 14 февраля одного года до 13 февраля следующего, то точное число дней равно 364, а приближенное - 359. Отсюда следуют и более существенные различия в суммах к погашению.

Пример 1.2.4. Предприниматель 18 апреля обратился в банк за ссудой до 19 ноября того же года под простую процентную ставку 25% годовых. Банк, удержав в момент предоставления ссуды проценты за весь ее срок, выдал предпринимателю 12 тыс. руб. Какую сумму необходимо будет вернуть банку, если при расчете начисленных процентов использовались обыкновенные проценты с точным числом дней?

Решение. Обозначим через F сумму, которую необходимо будет вернуть банку, и вначале для определения процентов I, удержанных банком, воспользуемся формулой (14), где P=F . Число дней находим либо прямым подсчетом, либо по таблице:

T = 215 дней (323 - 108). Так как T=360, r=0,25, дивизор D'= =1440,

P – I = F – I = 12 тыс. руб., то

I= =2,106 тыс. руб.

Следовательно, предприниматель обязан возвратить долг в размере:

F = 12 + I = 12 + 2,106 = 14, 106 тыс. руб.

Для проверки найдем простые проценты, начисленные за 215 дней на сумму 14,106 тыс. руб.:

14,106 0,25 =2,106 тыс. руб.,

что подтверждает правильность вычислений.

Заметим, что проценты I представляют собой проценты "во 100" с 12 тыс. руб. Действительно, поскольку процентная ставка за 215 дней (215/360 года) составляет 0,25 = 0,1493, то

I= = 2,106 тыс. руб.

При решении примера можно было рассуждать и таким образом. Поскольку проценты, удержанные банком, составили величину 0,25, то предпринимателю выдана сумма F – F 0,25=12 тыс. руб. Отсюда:

F = = 14,106 тыс. руб.

Забегая немного вперед, можно сказать, что на 12 тыс. руб. в течение 215 дней происходит наращение по простой учетной ставке 25% годовых.

Пример 1.2.5. Сберегательный счет был открыт 10 марта и на него была положена сумма 8 тыс. руб. В следующем месяце (14 апреля) на счет поступило 4 тыс. руб. Затем 25 июня со счета было снято 3 тыс. руб. и 4 сентября - 2 тыс. руб. Счет был закрыт 20 декабря. Все операции осуществлялись в течение високосного года. Определите сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка равнялась 30% годовых и при расчете использовались обыкновенные проценты с точным числом дней.

Решение. Этот пример можно решить обычным способом, определяя величину начисленных процентов последовательно за промежутки времени, когда сумма на счете не менялась. Мы же воспользуемся (как это и делают в банках при обслуживании текущего счета) величинами , которые, так же как и Pt называются процентными числами (через Р обозначена величина вклада, через t - время его хранения). В этом случае в формуле для вычисления дивизора D = ставка r выражена не десятичной дробью, а в процентах.

Для того чтобы найти общую величину начисленных процентов за весь срок, определим процентные числа за каждый промежуток времени, когда сумма на счете не менялась. Затем сложим все процентные числа и полученное значение поделим на дивизор.

Вначале определяем суммы, которые последовательно фиксировались на счете: 8 тыс. руб., 12 (8 + 4) тыс. руб., 9 (12 - 3) тыс. руб., 7 (9 - 2) тыс. руб. Затем находим сроки хранения этих сумм. Они соответственно равны 35 (105 - 70) дням, 72 (177 -105) дням, 71 (248 - 177) дню, 107 (355 - 248) дням. Сумма процентных чисел составит:

=25,32

Дивизор в данном случае равен: D = = 12. Следовательно, общая величина начисленных процентов составит: = 2,11 тыс.руб., а владелец счета получит: 7 + 2,11 = 9,11 тыс. руб.

Отметим, что процентные числа можно было вычислять и с несколько иным образом найденными сроками, а именно: для каждого поступления срок хранения определяется исходя из даты поступления и даты закрытия счета. Если происходило изъятие денег, то соответствующее процентное число берется со знаком минус. Тогда: для 8 тыс. руб. - 285 (355 - 70) дней, для 4 тыс. руб. - 250 (355 - 105) дней, для 3 тыс. руб. - 178 (355 - 177) дней и для 2 тыс. руб. - 107 (355 - 248) дней. Находим (учитывая знаки) сумму процентных чисел:

=25,32

т.е. получили такую же величину, как и способом, изложенным ранее.

Поскольку февраль не входит в период работы со сберегательным счетом, то при осуществлении операций и в течение невисокосного года получим окончательно также 9,11 тыс. руб.

Пример 1.2.6. Господин N поместил в банк 16 тыс. руб. на следующих условиях: в первые полгода процентная ставка равна 24% годовых, каждый последующий квартал ставка повышается на 3%. Найдите наращенную сумму за полтора года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. При какой постоянной процентной ставке можно получить такую же наращенную сумму? Найдите наращенную сумму за полтора года, если с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода.

Решение. Пусть вначале проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. Рассмотрим отдельно периоды, в течение которых ставка была постоянной. Поскольку на первый период длительностью n₁= 0,5 года установлена процентная ставка i₁= 0,24, то приращение капитала (в тыс. руб.) за этот период равно величине 16 ^. 0,5 ^. 0,24. На второй период длительностью n₂ = 0,25 года (квартал) установлена процентная ставка i₂=0,24+0,03=0,27, и, следовательно, приращение капитала за этот период равно величине 16 ^. 0,25 ^. 0,27. Аналогичным образом на периоды n₃, n₄, n₅, каждый из которых равен 0,25 года, установлены соответственно ставки i₃=03, i₄=0,33, i₅=0,36, доставляющие приращения капитала 16^.0,25^.0,3; 16^.0,25^. 0,33; 16^.0,25^. 0,36. Суммируя первоначальный капитал и все его приращения, получим наращенную сумму за полтора года (общий множитель всех слагаемых 16 вынесем за скобки):

F =16^. (1+0,5^.0,24 +0,25^.0,27+0,25^.0,3+0,25^.0,33 + 0,25^.0,36) = 22,96 тыс. руб.

Такую же наращенную сумму можно получить, если простые проценты начисляются за полтора года по ставке

Действительно, F=16^.(1+1,5^.0,29)=22,96 тыс. руб.

Отметим, что в указанных обозначениях величины F и , конечно, можно найти по формулам (15) и (16). Записывая (16) в виде

,

замечаем, что ставка равна взвешенной сумме процентных ставок, где весом для каждой ставки i_k служит доля длительности периода п_k, которую он составляет от общей суммы длительностей периодов , причем очевидно, что сумма всех весов равна единице. Таким образом, для ставки 24% весом является дробь 1/3 (так как полгода составляют третью часть от полутора лет), для каждой исследующей ставки весом будет дробь 1/6 (так как квартал составляет шестую часть от полутора лет).

Если же с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода (т.е наращенная сумма вкладывается вновь под измененную простую процентную ставку), то за полтора года наращенная сумма составит:

F= 16^. (1+0,5^. 0,24)(1+0,25^. 0,27)(l+0,25^.0,3)(1 + 0.25 ^. 0,33)(1 + 0,25 ^. 0,36) = 24,264 тыс. руб.

Естественно, получили сумму, превышающую 22,96 тыс. руб., поскольку в этом случае за каждый период проценты начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на проценты, начисленные за предыдущий период.

Пример 1.2.7. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 8,9 тыс. руб. через 120 дней при взятом кредите в размере 8 тыс. руб. Определите доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начислении банк использует простые обыкновенные проценты.

Решение. Подставляя в формулу (23) значения F = 8,9 тыс. руб., Р = 8 тыс. руб., t = 120 дней, Т= 360 дней, получим:

r= .

Таким образом, инвестируя 8 тыс. руб. под простую процентную ставку 33,75% годовых, через 120 дней при использовании обыкновенных процентов можно получить 8,9 тыс. руб. Действительно,

8 ^. (1 + 0,3375) = 8,9 тыс. руб.

Пример 1.2.8. Банк в начале года выдал кредит на сумму 30 тыс. руб. сроком на два месяца по ставке 28% годовых и через два месяца - кредит на сумму 45 тыс. руб. сроком на четыре месяца по ставке 34% годовых. Определите общую доходность этих кредитных операций за полгода в виде годовой процентной ставки в двух случаях: когда при выдаче второго кредита не используются и когда используются деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита. За предоставление кредита банк начислял простые обыкновенные проценты.

Решение. Найдем начисленные проценты за первый кредит по формуле С 12) при Р=30 тыс. руб., l =60/360 года., r=0,28:

тыс.

Аналогичным образом при Р=45 тыс. руб., l =120/360 года, r = 0,34 находим для второго кредита:

Следовательно, общий доход, полученный банком, равен:

I = I₁ + I₂ = 1,4 + 5,1 = 6,5 тыс. руб.

Если при выдаче второго кредита не использовались деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита, то общая величина вложенных средств равна 75 (30 + 45) тыс. руб Поэтому общая доходность этих кредитных операций за полгода в виде простой годовой процентной ставки по формуле (23) составляет:

r = , или 17,33%

Если же второй кредит в размере 45 тыс. руб. включает 30 тыс. руб. (первый кредит), то

r = или 28,89%

Очевидно, повторное использование финансовых ресурсов повышает доходность.

Пример 1.2.9. Предприниматель получил в банке кредит на 90 дней по процентной ставке 36% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2,5% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде годовой простой процентной ставки, если банк начисляет простые проценты на исходную сумму кредита, полагая что в году 360 дней. Как изменится доходность при выдаче кредита на 60 дней и на 120 дней?

Решение. Обозначим через Р величину кредита (в каких либо денежных единицах), тогда величина удержанных комиссионных составит 0.025Р и, следовательно, предприниматели будет выдана сумма Р - 0,025Р = 0.975Р. Через 90 дней предприниматель должен будет вернуть сумму

Таким образом, общий доход банка составит: 1,09.Р – 0,975Р = 0,115Р. Теперь, используя формулу (23), можно определить доходность финансовой операции для банка в виде годовой процентной ставки:

,

т.е. r = 47,18%, что больше объявленных банком 36% годовых. Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доходность финансовой операции для кредитора (банка).

При выдаче кредита на 60 дней его величина вместе с начисленными процентами составит: = 1,06 Р, и, следовательно, доходность для банка будет равна:

, или 52,31%

т.е. больше, чем при выдаче кредита на 90 дней.

Если же срок кредита составляет 120 дней, то предприниматель должен будет вернуть 1,12P и доходность для банка в виде простой годовой процентной ставки составит:

, или 44,62%

т.е. меньше, чем при сроке кредита 90 дней.

Рассмотренный пример показывает, что при удержании комиссионных увеличение срока кредита уменьшает доходность финансовой сделки для кредитора. Конечно, если комиссионные не взимаются, то при любом сроке кредита доходность такой финансовой сделки в виде простой годовой процентной ставки будет постоянна и равна 36%.

Пример 1.2.10. Банк за использование в течение двух месяцев 800 тыс. руб. должен выплатить 60 тыс. руб. Определите стоимость привлеченных средств в виде простой годовой процентной ставки в условиях начисления обыкновенных процентов.

Решение. Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F – P - проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени n. Полагая P=800 тыс. руб., F – P=60 тыс. руб., n=2/12=1/6 года, получим:

, или, что эквивалентно, 45% годовых.

Пример 1.2.11. Из какого капитала можно получить 24 тыс. руб. через два года наращением по простым процентам по процентной ставке 25%? Чему равен дисконт?

Решение. Пользуясь формулой (18), где F = 24 тыс. руб., n = 2 года, r = 0,25, получим:

P= тыс. руб.

Отсюда можно найти дисконт: D_r =F – P=24 – 16 = 8 тыс. руб. Этот дисконт представляет собой 50% (процентная ставка за два года) "на 100" с 24 тыс. руб. Действительно, по формуле (7):

тыс. руб.

С целью проверки можно по формуле (9) определить наращенную сумму с капитала Р = 16 тыс. руб. за 2 года по просто процентной ставке 25% годовых:

тыс. руб.

Дисконтный множитель представляет величину, обратную множителю наращения 1 + 2 • 0,25, и показывает долю капитала Р=16 тыс. руб. в капитале F = 24 тыс. руб.

Пример 1.2.12. Вам 27 декабря будет нужна сумма 15 тыс. руб. Какую сумму 10 июня этого же года Вы должны положит в банк под простую процентную ставку 36% годовых, если в расчете применяется обыкновенный процент с точным числом дней?

Решение. Полагая в формуле (18) F =15 тыс. руб., n = 200/360 года (200 дней), r = 0,36, получим:

тыс. руб.

Если бы в расчете применялся точный процент с точным числом дней, то величина вклада должна быть несколько большей. Так, для невисокосного года:

тыс. руб.

что превышает полученную ранее сумму на 29 руб.

Пример 1.2.13. На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 20 тыс. руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возврата долга не превышала 22 тыс. руб., если процентная ставка равна 34%, в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и год високосный?

Решение. Полагая в формуле (21) для расчета срока в днях F=22 тыс. руб., Р = 20 тыс. руб., T = 366 дней, r =0,34, получим:

дня.

Так что клиент банка может взять кредит не более чем на 107 дней. Для проверки по формуле (9) найдем наращенную сумму за 107 дней:

тыс. руб.

Кстати, если взять 108 дней, то получим 22,007 тыс. руб., т.е. превышение всего на 7 руб., что, конечно, не является существенным.

Пример 1.2.14. Депозитный сертификат номиналом 20 тыс. руб. с начислением процентов по простой процентной ставке 40% годовых выпущен на один год. По какой цене его можно приобрести за 60 дней до срока погашения, чтобы обеспечить доходность такой финансовой сделки в виде простой процентной ставки 45% годовых? Расчетное количество дней в году равно 365.

Решение. Депозитный сертификат - документ, подтверждающий, что его владелец является держателем срочного депозита в банке. Для определения допустимой цены покупки сертификата необходимо его номинал вместе с начисленными за год процентами дисконтировать по простой процентной ставке 45% годовых, исходя из периода в 60 дней:

тыс. руб.

Если бы в расчете применялся точный процент с точным числом дней, то величина вклада должна быть несколько бол шей. Так, для невисокосного года:

Если цена покупки депозитного сертификата будет больше полученной величины 26,071 тыс. руб., то при его приобретении доставляется доходность, меньшая 45%.