3.3. Оценка аннуитета с периодом больше года Основные положения
На практике широко распространены аннуитеты, периоды которых не превосходят базовые периоды начисления процентов. В частности, если базовый период равен году, то период аннуитета не превышает одного года. Однако встречаются ситуации, связанные с аннуитетом, когда его период больше года.
Формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета, период которого больше базового периода начисления процентов, аналогичны формулам для оценки будущей и приведенной стоимости обычного аннуитета. Формулы для оценок аннуитета пренумерандо получаются из соответствующих формул для оценок аннуитета постнумерандо с использованием, как правило, того факта, что денежные поступления пренумерандо начинаются на период (аннуитета) раньше, чем постнумерандо.
Типовые примеры и методы их решения
Пример 3.3.1. Работник заключает с фирмой пенсионный контракт на 12 лет, согласно которому на счет работника в банке в конце каждого двухлетнего периода будет поступать по 3 тыс. руб. Требуется определить наращенную сумму к концу действия контракта, если на поступающие суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; б) ежеквартально сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; в) непрерывны, проценты с силой роста 24% за год.
Решение. Денежные поступления образуют постоянный аннуитет постнумерандо с А = 3 тыс. руб., сроком п = 12 лет и периодом и = 2 года. Следовательно, период аннуитета больше базового периода начисления процентов, равного году. Схематично это выглядит таким образом:
3 3 3 3 3 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t лет
а) В этом случае r = 24%, m = 1 и по формуле (146) получим:
тыс. руб.
б) Поскольку в этом случае начисление процентов ежеквартальное, то m = 4 и по формуле (146) получим:
тыс. руб.
в) Полагая
,
по формуле (149) находим:
тыс. руб.
Пример 3.3.2. Определите сумму, которую необходимо поместить на счет в банке, чтобы в течение 15 лет в конце каждого трехлетнего периода иметь возможность снимать со счета 8 тыс. руб., причем к концу срока полностью выбрать все деньги со счета, если на находящиеся на счете денежные суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по ставке 20%; б) каждые полгода сложные проценты по ставке 20%; в) непрерывные проценты с силой роста 20%.
Решение. Во всех случаях надо определить приведенную стоимость постоянного аннуитета с А = 8 тыс. руб., периодом u = 3 года и сроком n = 15 лет.
а) Так как r =20%, то, применяя формулу (147) при m = 1, получим:
тыс. руб.
б) В этом случае m = 2, r = 20%, и поэтому из формулы (147) следует, что:
тыс. руб.
в) Поскольку в этом случае начисляются непрерывные проценты с силой роста = 0,2 , то по формуле (150) получим:
тыс. руб.
Пример 3.3.3. На счет в банке в начале каждого двухлетнего периода будет поступать по 8 тыс. руб. в течение 10 лет. Требуется определить: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если на поступающие суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 22% годовых.
Решение. Согласно условию имеем аннуитет пренумерандо с членом А = 14 тыс. руб., периодом u = 2 года и сроком n = 10 лет. Сложная процентная ставка r = 22% годовых и число начислений процентов m = 1.
а) В соответствии с формулами (146) и (152) получим:
тыс. руб.
б) По формулам (147) и (153):
тыс. руб.
Пример 3.3.4. Предприниматель приобрел оборудование в кредит за 900 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать долг нужно равными суммами в конце каждого второго года и им платить весь долг за 10 лет. Требуется определить величину каждого платежа и составить план погашения долга.
Решение. Обозначим
через А величину
каждого искомого платежа.
Поток этих платежей представляет собой
аннуитет постнумерандо,
для которого
руб., r
= 25%, п
= 10, m
= 1, u
= 2. Поэтому для нахождения величины А
можно
пользоваться формулой (147), из которой
следует:
руб.
Теперь поясним составление плана
погашения долга. Поскольку в течение
первых двух лет предприниматель
пользовался кредитом в размере 900000
руб., то платеж, который равен 567147 руб.
и будет сделан в конце второго года,
состоит из следующих двух частей: сложных
процентов за два года в сумме 506250 руб.
(
руб.) и погашаемой части долга в сумм
567147 - 506250 = 60897 руб. В следующем двухлетии
расчет будет повторен при условии, что
размер кредита, которым пользу
предприниматель, составит уже меньшую
сумму по сравнению с первыми двумя
годами, а именно:
900000 - 60897 = 839103 руб. Таким
образом, сложные проценты за два года
будут равны 471995руб.
(
руб.), а погашаемая часть долга будет
равна 567147 – 471995 = 95152 руб. и т.д. Ясно, что
с течением
времени сумма уплачиваемых процентов
снижается, а доля платежа
в счет погашения долга возрастает.
План погашения долга представим в виде таблицы
Номер двухлетия |
Остаток ссуды на начало двухлетия |
Величина платежа |
В том числе |
Остаток ссуды на конец двухлетия |
|
проценты за два года |
погашенная часть долга |
||||
1 |
900000 |
567147 |
506250 |
60897 |
839103 |
2 |
839103 |
567147 |
471995 |
95152 |
743951 |
3 |
743951 |
567147 |
418472 |
148675 |
595276 |
4 |
595276 |
567147 |
334843 |
232304 |
362972 |
5 |
362972 |
567147 |
204175 |
362972 |
0 |
Поскольку данные в ходе вычислений округлялись, величина процентов в последней строке найдена балансовым методом, т.е. вначале записываем погашенную часть долга 362972 руб., а затем определяем величину процентов за два года: 567147 – 362972 = 204175 руб. Если же непосредственно найти сложные проценты за два года от суммы в 362972 руб. исходя из процентной ставки 25%, то получим 204172 руб. Суммируя величины в пятом столбце, получим размер кредита: 900000 руб.