ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ / Lla02

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 2.}

\noindent{\bf ‘ЁбвҐ¬л «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё©. ЊҐв®¤ ѓ гбб . Џа ўЁ«®
Ља ¬Ґа .}

‹Ё­Ґ©­®© бЁб⥬®© ¤ўге га ў­Ґ­Ё© б ¤ўг¬п ­ҐЁ§ўҐбв­л¬Ё ­ §лў ов
в ЄЁҐ ¤ў  га ў­Ґ­Ёп: $$a_{11}x+a_{12}y=c_1,$$
$$a_{21}x+a_{22}y=c_2,$$ ў Є®в®але ўҐ«ЁзЁ­л $a_{ij}$, $c_i$ --
­ҐЄ®в®алҐ § ¤ ­­лҐ зЁб«  $i,j=1,2$, $x,y$ -- ­ҐЁ§ўҐбв­лҐ, Є®в®алҐ
вॡгҐвбп ­ ©вЁ. „«п ­ е®¦¤Ґ­Ёп аҐиҐ­Ёп ¬®¦­® ЇаЁ¬Ґ­Ёвм ¬Ґв®¤
ЁбЄ«о祭Ёп (ѓ гбб ): г¬­®¦Ё¬ ЇҐаў®Ґ га ў­Ґ­ЁҐ ­  $a_{22}$, ўв®а®Ґ
-- ­  $-a_{12}$ Ё б«®¦Ё¬ ¬Ґ¦¤г б®Ў®©:
$$(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})x= б_{1}a_{22}-б_{2}a_{12}.$$ ’®з­®
в Є¦Ґ Ї®«гз Ґвбп га ў­Ґ­ЁҐ ¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $y$:
$$(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})y= б_{2}a_{11}-б_{1}a_{21}.$$ „«п
§ ЇЁбЁ аҐиҐ­Ё© Ёб室­®© бЁбвҐ¬л «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё© ў®бЇ®«м§гҐ¬бп
®Ў®§­ зҐ­Ёп¬Ё: $$D=\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\a_{21}&
a_{22}\end{vmatrix}, \qquad D_x=\begin{vmatrix}c_{1}&
a_{12}\\c_{2}& a_{22}\end{vmatrix},\qquad
D_y=\begin{vmatrix}a_{11}& c_{1}\\a_{21}& c_{2}\end{vmatrix}.$$ ‘
Ї®¬®ймо нвЁе ®Ў®§­ зҐ­Ё© ЇаҐ®Ўа §®ў ­­ п бЁб⥬  ЇаЁ¬Ґв ўЁ¤: $$D
x=D_x,\quad D y=D_y.$$ …б«Ё зЁб«® $D$ (в.Ґ., Є Є ­Ґваг¤­® ўЁ¤Ґвм,
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл $(a_{ij})$ Ёб室­®© бЁб⥬л) ­Ґ а ў­® ­г«о,
в® Ё¬ҐҐвбп Ґ¤Ё­б⢥­­®Ґ аҐиҐ­ЁҐ бЁб⥬л га ў­Ґ­Ё©:
$$x=\frac{D_x}{D},\quad y=\frac{D_y}{D}\eqno (1)$$ (д®а¬г«л
Ља ¬Ґа ). …б«Ё ¦Ґ $D=0$, в® Ё«Ё ¦Ґ Ёб室­ п бЁб⥬  га ў­Ґ­Ё©
ў®ўбҐ ­Ґ Ё¬ҐҐв аҐиҐ­Ё©, Ё«Ё, Ґб«Ё $D_x=D_y=0$, в ЄЁе аҐиҐ­Ё©
ЎҐбЄ®­Ґз­®Ґ зЁб«®.

Џгбвм ⥯Ґам § ¤ ­  бЁб⥬  $n$ «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё© б ¬ ваЁжҐ©
Є®нддЁжЁҐ­в®ў $(a_{i,j})$ ­ҐЁ§ўҐбв­л¬Ё $x_1,\dots,x_n$ Ё Їа ўл¬Ё
з бвп¬Ё $б_1,\dots,б_n$ (¤«п ®Ў«ҐЈзҐ­Ёп Ї®­Ё¬ ­Ёп ४®¬Ґ­¤гҐвбп Ї®
¬ҐаҐ з⥭Ёп, Є Є ЇаЁ¬Ґа, б Ї®¤а®Ў­л¬Ё ўлЄ« ¤Є ¬Ё а §ЎЁа вм нв®в
¬Ґв®¤ ЇаЁ $n=3$ ­  Ўг¬ ЈҐ):
$$a_{i,1}x_1+a_{i,2}x_2+\dots+a_{i,n}x_n=б_i,\quad i=1,\dots, n.$$
”®а¬г«л (Ља ¬Ґа ),   в Є¦Ґ ¬Ґв®¤ ЁбЄ«о祭Ёп ­ҐЁ§ўҐбв­ле,
а бᬮв७­лҐ ўлиҐ ­  ЇаЁ¬ҐаҐ бЁбвҐ¬л ¤ўге га ў­Ґ­Ё©, ¬®Јгв Ўлвм
®Ў®ЎйҐ­л ¤«п нв®© бЁб⥬л. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® Є®нддЁжЁҐ­в
$a_{1,1}\neq 0$. €бЄ«озЁ¬ $x_1$ Ё§ ўбҐе га ў­Ґ­Ё© нв®© бЁб⥬л,
­ зЁ­ п б® ўв®а®Ј®. „«п нв®Ј® Є® ўв®а®¬г га ў­Ґ­Ёо Ї®з«Ґ­­®
ЇаЁЎ ўЁ¬ ЇҐаў®Ґ, г¬­®¦Ґ­­®Ґ ­  $-a_{2,1}/a_{1,1}$. Џ®б«Ґ нв®Ј®
Ёб室­ п бЁб⥬  § ¬Ґ­Ёвбп нЄўЁў «Ґ­в­®© $$a_{1,1}x_1+ a_{1,2}x_2+
\dots+a_{1,n}x_n=c_1,$$ $$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
a_{i,2}^{(1)}x_2+\dots+a_{i,n}^{(1)}x_n=c_i^{(1)},\quad i=2,\dots,
n.$$ Љ®нддЁжЁҐ­вл ЇаЁ ­ҐЁ§ўҐбв­ле Ё бў®Ў®¤­лҐ з«Ґ­л ў Ї®б«Ґ¤­Ёе
$(n-1)$ га ў­Ґ­Ёпе ®ЇаҐ¤Ґ«повбп д®а¬г« ¬Ё:
$$a_{i,j}^{(1)}=a_{i,j}-\frac{a_{i,1}}{a_{1,1}}a_{1,j},\quad
c_{i}^{(1)}=c_{i}-\frac{a_{i,1}}{a_{1,1}}c_{1},\quad
i,j=2,\dots,n.$$ …б«Ё ®Є §лў Ґвбп, зв® $a_{2,2}^{(1)}=0$, в®
га ў­Ґ­Ёп бЁбвҐ¬л ­г¦­® ЇҐаҐбв ўЁвм ¬Ґ¦¤г б®Ў®© Ё ®бгйҐбвўЁвм
ЇҐаҐ®Ў®§­ зҐ­Ёп, в Є зв®Ўл нв®в Є®нддЁжЁҐ­в ®Є § «бп Ўл ®в«Ёз­л¬
®в ­г«п. …б«Ё ЇаЁ н⮬ ®Є §лў Ґвбп, зв® $a_{i,2}=0$ ЇаЁ ўбҐе $i$
®в 2 ¤® $n$, в® ¬Ґ­пҐ¬ ¬Ґбв ¬Ё ­ҐЁ§ўҐбв­лҐ: ­ ЇаЁ¬Ґа, ў¬Ґбв® $x_2$
Їлв Ґ¬бп ЁбЄ«оз вм $x_3$ (Ё ¤Ґ« Ґ¬ ЇҐаҐ®Ў®§­ зҐ­Ёп в Є, зв®Ўл
ЇҐаҐ¬Ґ­­ п $x_3$ бв «  ўв®а®©,   ЇҐаҐ¬Ґ­­ п $x_2$ -- ваҐв쥩).
ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® $a_{2,2}^{(1)}\neq 0$. ’®Ј¤  ¬л ¬®¦Ґ¬ ЁбЄ«озЁвм
$x_2$ Ё§ Ї®б«Ґ¤­Ёе $(n-2)$ га ў­Ґ­Ё© ­®ў®© бЁб⥬л: $$a_{1,1}x_1+
a_{1,2}x_2+ a_{1,3}x_3+ \dots+a_{1,n}x_n=c_1,$$ $$\qquad\qquad
a_{2,2}^{(1)}x_2+
a_{2,3}^{(1)}x_3+\dots+a_{2,n}^{(1)}x_n=c_2^{(1)},$$
$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
a_{i,3}^{(2)}x_3+\dots+a_{i,n}^{(2)}x_n=c_i^{(2)},\quad i=3,\dots,
n.$$ Љ Є Ё ўлиҐ Є®нддЁжЁҐ­вл Ё Їа ўлҐ з бвЁ ўлзЁб«повбп Ї®
д®а¬г« ¬
$$a_{i,j}^{(2)}=a_{i,j}^{(1)}-\frac{a_{i,2}^{(1)}}{a_{2,2}^{(1)}}a_{2,j}^{(1)},\quad
c_{i}^{(2)}=c_{i}^{(1)}-\frac{a_{i,2}^{(1)}}{a_{2,2}^{(1)}}c_{2}^{(1)},\qquad
i,j=3,\dots,n.$$ Џа®¤®«¦ п нв®  «Ј®аЁв¬, ¬л ЇаЁўҐ¤Ґ¬ Ёб室­го
бЁб⥬㠪 ваҐгЈ®«м­®© ४га७⭮© бЁб⥬Ґ $$a_{1,1}x_1+
a_{1,2}x_2+ a_{1,3}x_3+ \dots+a_{1,n}x_n=c_1,$$ $$\qquad\qquad
a_{2,2}^{(1)}x_2+
a_{2,3}^{(1)}x_3+\dots+a_{2,n}^{(1)}x_n=c_2^{(1)},$$
$$\qquad\qquad\qquad\qquad
a_{3,3}^{(2)}x_3+\dots+a_{3,n}^{(2)}x_n=c_3^{(2)},\eqno (2)$$
$$\dots$$ $$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
a_{n,n}^{(n-1)}x_n=c_n^{(n-1)}.$$ ќв  з бвм ўлзЁб«Ґ­Ё© ­ §лў Ґвбп
Їап¬л¬ 室®¬ ¬Ґв®¤  ЁбЄ«о祭Ёп ѓ гбб . —в®Ўл ­ ©вЁ ­ҐЁ§ўҐбв­лҐ
$x_i$, Ё§ ЇаҐ®Ўа §®ў ­­®© бЁбвҐ¬л Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­® ­ е®¤пв б­ з « 
$$x_n=c_n^{(n-1)}/a_{n,n}^{(n-1)},$$ § вҐ¬, Ё§ ЇаҐ¤л¤г饣®
га ў­Ґ­Ёп
$$x_{n-1}=\left(c_{n-1}^{(n-2)}-a_{n-1,n}^{(n-2)}x_n\right)/
a_{n-1,n-1}^{(n-2)}$$ Ё в.¤. Ё, ­ Є®­Ґж,
$$x_1=\left(c_{1}-a_{1,2}x_2-\dots-a_{1,n}x_n\right)/a_{1,1}.$$
ќв  з бвм ¬Ґв®¤  ѓ гбб  ­ §лў ов ®Ўа в­л¬ 室®¬ ¬Ґв®¤ . ЏаЁ ҐҐ
®бгйҐбвў«Ґ­ЁЁ ¬®¦Ґв ®Є § вмбп, зв® ­ зЁ­ п б Є Є®Ј®-«ЁЎ® Ё­¤ҐЄб 
$i_0$ ўбҐ Є®нддЁжЁҐ­вл $a_{i,j}^{(i_0)}=0$. ‚ н⮬ б«гз Ґ
а §«Ёз ов ¤ў  ў аЁ ­в : ўбҐ Їа ўлҐ з бвЁ $б_{i}^{(i_0)}=0$. ’®Ј¤ ,
­ зЁ­ п б  $(i_0+1)$-Ј® ­®¬Ґа  ўбҐ га ў­Ґ­Ёп ў (2) Ї®«гз ов ўЁ¤
⮦¤Ґбвў $0=0$ -- ®­Ё ўлЇ®«­повбп ЇаЁ «оЎ®¬ ўлЎ®аҐ ­ҐЁ§ўҐбв­ле
$x_{i_0+1}$,\dots,$x_n$. €б室­ п бЁб⥬  га ў­Ґ­Ё© ЇаЁ н⮬ Ё¬ҐҐв
ЎҐбЄ®­Ґз­®Ґ зЁб«® аҐиҐ­Ё©. —в®Ўл ­ ©вЁ Є Є®Ґ-­ЁЎг¤м, ­ҐЁ§ўҐбв­лҐ
$x_{i_0+1}$,\dots,$x_n$ ўлЎЁа ов Їа®Ё§ў®«м­®, Ё ¤ «ҐҐ ®бгйҐбвў«пов
®Ўа в­л© 室 ¬Ґв®¤  ѓ гбб , ­ зЁ­ п б $i_0$-Ј® га ў­Ґ­Ёп ў (2).

‚в®а®© б«гз © б®бв®Ёв ў ⮬, зв® е®вп Ўл ®¤Ё­ Ё§ Є®нддЁжЁҐ­в®ў
Їа ў®© з бвЁ ­Ґ а ўҐ­ ­г«о (­ ЇаЁ¬Ґа, $б_{i}^{(i_0)}\ne 0$). ’®Ј¤ 
$i$-Ґ га ў­Ґ­ЁҐ Ё¬ҐҐв ўЁ¤ $0=б_{i}^{(i_0)}\ne 0$ -- Їа®вЁў®аҐзЁҐ,
®§­ з о饥, зв® а бб¬ ваЁў Ґ¬ п бЁб⥬  «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё© ­Ґ
Ё¬ҐҐв аҐиҐ­Ё©.

Ћв¬ҐвЁ¬ §¤Ґбм, зв® ­Ґ®Ўе®¤Ё¬л¬ Ё ¤®бв в®з­л¬ гб«®ўЁҐ¬ ¤«п
®¤­®§­ з­®Ј® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп ­ҐЁ§ўҐбв­ле б«г¦Ёв гб«®ўЁҐ ({\bf ЎҐ§
¤®Є § вҐ«мбвў }): $$|A|=|(a_{ij})|\neq 0.$$  ЏаЁ н⮬ Ґ¤Ё­б⢥­­®Ґ
аҐиҐ­ЁҐ Ёб室­®© бЁбвҐ¬л ¬®¦Ґв Ўлвм ­ ©¤Ґ­® в Є¦Ґ Ї® д®а¬г« ¬
Ља ¬Ґа  ({\bf ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў }):
$$x_{i_0}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\Delta_{j,i_0}}{|A|}\cdot y_j,\quad
i_0=1,2,\dots,n.$$ …б«Ё ¦Ґ $|A|= 0$, в® аҐиҐ­ЁҐ Ёб室­®© бЁб⥬л
«Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё© «ЁЎ® ­ҐҐ¤Ё­б⢥­­®, «ЁЎ® ў®ўбҐ ­Ґў®§¬®¦­® ({\bf
ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў }).