ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ / Lla01

\section*{\it ‹ҐЄжЁпя 1.}

\noindent{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ¬ ваЁжл. ЋЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ё ўв®а®Ј® Ё ваҐв쥣®
Ї®ап¤Є®ў, Ёе ®б­®ў­лҐ бў®©бвў . ЊЁ­®ал Ё  «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ
¤®Ї®«­Ґ­Ёп, а §«®¦Ґ­ЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п Ї® бва®ЄҐ (бв®«Ўжг). ЊҐв®¤л
ўлзЁб«Ґ­Ёп ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ©. Џ®­пвЁҐ ®Ў ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ n-Ј® Ї®ап¤Є .
Њ ваЁж , ўҐЄв®а, ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м Єў ¤а в­®© ¬ ваЁжл, бў®©бвў 
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п.}

Њ ваЁжҐ© $A$ а §¬Ґа  $m\times n$, $m,n\in\NN$, ­ §лў ов
Їаאַ㣮«м­го в Ў«Ёжг ¤Ґ©б⢨⥫м­ле зЁбҐ« $\bigl (a_{i,j}\bigr
)$, $i=1,\dots,m$, $j=1,\dots,n$, c $m$ бва®Є ¬Ё Ё $n$ бв®«Ўж ¬Ё;
зЁб«  $a_{i,j}$ ­ §лў ов н«Ґ¬Ґ­в ¬Ё  ¬ ваЁжл $A$. — бв® гЄ § ­ЁҐ
а §¬Ґа®ў ®ЇгбЄ ов. ‚ Є зҐб⢥ ЇаЁ¬Ґа®ў Ё Є®¬¬Ґ­в аЁҐў Ўг¤Ґ¬
а бб¬ ваЁў вм б«гз Ё $m=2$, $n=2$ Ё«Ё $n=3$,   в Є¦Ґ $m=3$, $n=3$
Ё«Ё $n=4$. Њ ваЁжл $A$ а §¬Ґа  $1\times n$ ­ §лў ов
ўҐЄв®а-бва®Є ¬Ё, а §¬Ґа  $m\times 1$
--- ўҐЄв®а-бв®«Ўж ¬Ё (Ё ⥠Ё ¤агЈЁҐ в Є¦Ґ ­ §лў овбп Їа®бв®
ўҐЄв®а ¬Ё). Њ ваЁжл $A=\bigl (a_{i,j}\bigr )$ а §¬Ґа  $n\times n$
­ §лў ов Єў ¤а в­л¬Ё. Љ ¦¤®© в Є®© ¬ ваЁжҐ ᮮ⢥вбвўгҐв
ва ­бЇ®­Ёа®ў ­­ п ¬ ваЁж  $A^{\ast}=\bigl (a_{i,j}^{\ast}\bigr )$,
®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п Ї® Їа ўЁ«г $a_{i,j}^{\ast}=a_{j,i}$. „«п Єў ¤а в­ле
¬ ваЁж $A$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­® Ї®­пвЁҐ ¤ҐвҐа¬Ё­ ­в  (®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п) $|A|$ Ё
¬Ё­®а®ў ¤«п н«Ґ¬Ґ­в®ў $ _{i,j}$, $i,j=1,\dots,n$. ‚Ґ«ЁзЁ­г $|A|$
¬®¦­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм Ї® Ё­¤гЄжЁЁ:

1) Ґб«Ё $n=1$, в® $|A|= _{1,1}$.

2) ¤«п $n=2$, ®Ў®§­ зЁ¬ $A_{i,j}$ --- Єў ¤а в­го ¬ ваЁжг а §¬Ґа®¬
$(n-1)\times (n-1)=1\times 1$, Ї®«г祭­го Ё§ $A$, Ї®б«Ґ
ўлзҐаЄЁў ­Ёп i-®© бва®ЄЁ Ё j-Ј® бв®«Ўж , $i,j=1,2$. ’®Ј¤ 
$$|A|= _{1,1}\cdot |A_{1,1}|- _{1,2}\cdot
|A_{1,2}|= _{1,1}a_{2,2}- _{1,2}a_{2,1}.$$

3) в®з­® в Є¦Ґ ¤«п $n=3$, ®Ў®§­ зЁ¬ $A_{i,j}$ --- Єў ¤а в­го
¬ ваЁжг а §¬Ґа®¬ $(n-1)\times (n-1)=2\times 2$, Ї®«г祭­го Ё§ $A$,
Ї®б«Ґ ўлзҐаЄЁў ­Ёп i-®© бва®ЄЁ Ё j-Ј® бв®«Ўж , $i,j=1,2,3$. ’®Ј¤ 
$$|A|= _{1,1}\cdot |A_{1,1}|- _{1,2}\cdot |A_{1,2}|+ _{1,3}\cdot
|A_{1,3}|.$$ Љ Є Ё ў б«гз Ґ $n=2$, зЁб«® $|A|$ ¬®¦Ґв ўла ¦Ґ­®
зҐаҐ§ н«Ґ¬Ґ­вл ¬ ваЁжл $A$, ­® Ї®«гз о饥бп ўла ¦Ґ­ЁҐ Ўг¤Ґв Ў®«ҐҐ
Ја®¬®§¤ЄЁ¬.

4) ЋЎйЁ© б«гз © ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп $|A|$ Ї®¤®ЎҐ­ 2)-3). Џгбвм $|B|$
Ё§ўҐбв­® ¤«п ¬ ваЁж $B$ а §¬Ґа  $n\times n$ Ё $A$ --- ¬ ваЁж 
а §¬Ґа  $(n+1)\times (n+1)$. ЋЎ®§­ зЁ¬ $A_{i,j}$ --- Єў ¤а в­го
¬ ваЁжг а §¬Ґа®¬ $n\times n$, Ї®«г祭­го Ё§ $A$, Ї®б«Ґ
ўлзҐаЄЁў ­Ёп i-®© бва®ЄЁ Ё j-Ј® бв®«Ўж , $i,j=1,2,\dots,n+1$.
’®Ј¤  $$|A|= _{1,1}\cdot |A_{1,1}|- _{1,2}\cdot
|A_{1,2}|+\dots+(-1)^n a_{1,n+1}\cdot |A_{1,n+1}|.$$

Њ®¦­® Ї®Є § вм, зв® ЇаЁ н⮬ бЇа ўҐ¤«Ёўл а ўҐ­бвў 
$$|A|=(-1)^{i_0+1}\bigl( _{i_0,1}\cdot |A_{i_0,1}|- _{i_0,2}\cdot
|A_{i_0,2}|+\dots+(-1)^n a_{i_0,n+1}\cdot
|A_{i_0,n+1}|\bigr),\eqno (1)$$   в Є¦Ґ
$$|A|=(-1)^{i_0+1}\bigl( _{1,i_0}\cdot |A_{1,i_0}|- _{2,i_0}\cdot
|A_{2,i_0}|+\dots+(-1)^n a_{n+1,i_0}\cdot |A_{n+1,i_0}|\bigr)\eqno
(1')$$ ЇаЁ «оЎ®¬ дЁЄбЁа®ў ­­®¬ $i_0\in\{1,2,\dots,n+1\}$.
’®¦¤Ґбвў  $(1)$, $(1')$ ­ §лў ов а §«®¦Ґ­ЁҐ¬ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п Ї®
$i_0$-®© бва®ЄҐ, $i_0$-®¬г бв®«Ўжг. ЏаЁ н⮬ зЁб«® $|A_{i_0,j_0}|$
­ §лў ов ¬Ё­®а®¬ н«Ґ¬Ґ­в  $a_{i_0,j_0}$,   ўҐ«ЁзЁ­г
$\Delta_{i_0,j_0}=(-1)^{i_0+j_0}|A_{i_0,j_0}|$ ---  «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁ¬
¤®Ї®«­Ґ­ЁҐ¬ нв®Ј® н«Ґ¬Ґ­в .

‘ў®©бвў® 0. $|A|=|A^{\ast}|$.

Џ®пб­Ё¬ нв® бў®©бвў® ­  ЇаЁ¬ҐаҐ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п Єў ¤а в­®© ¬ ваЁжл
$A$ ваҐв쥣® Ї®ап¤Є  (¤«п ¬ ваЁж ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є  нв® бў®©бвў®
Їа®ўҐапҐвбп ­ҐЇ®б।б⢥­­®): $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&
a_{12}&a_{13}\\a_{21}& a_{22}&a_{23}\\a_{31}&
a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},\qquad A^*=\begin{pmatrix}a_{11}&
a_{21}&a_{31}\\a_{12}& a_{22}&a_{32}\\a_{13}&
a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}.$$ ‚®бЇ®«м§гҐ¬бп Їа ўЁ« ¬Ё $(1)$ Ё
$(1')$ а §«®¦Ґ­Ёп ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п: а §«®¦Ё¬ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл $A$
Ї® ЇҐаў®© бва®ЄҐ, ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл $A^*$ Ї® ЇҐаў®¬г бв®«Ўжг
$$|A|=a_{11}|A_{11}|-a_{12}|A_{12}|+a_{13}|A_{13}|,\quad
|A^*|=a_{11}|(A_{11})^*|-a_{12}|(A_{12})^*|+a_{13}|(A_{13})^*|=|A|.$$
Џ® Ё­¤гЄжЁЁ бў®©бвў® 0 ¬®¦Ґв Ўлвм Їа®ўҐаҐ­® ¤«п Єў ¤а в­ле ¬ ваЁж
Ї®ап¤Є  $n$.

‘ў®©бвў® 1. …б«Ё ўбҐ н«Ґ¬Ґ­вл ­ҐЄ®в®а®© дЁЄбЁа®ў ­­®© бва®ЄЁ $i_0$
Ё«Ё ­ҐЄ®в®а®Ј® дЁЄбЁа®ў ­­®Ј® бв®«Ўж  $i_0$ ¬ ваЁжл $A$ г¬­®¦Ёвм
­  ®¤­® Ё в® ¦Ґ зЁб«® $k$ Ё Ї®«г祭­го ЇаЁ н⮬ ¬ ваЁжг ®Ў®§­ зЁвм
$B$, в® $|B|=k |A|$.

$\lhd$: „®Є § вҐ«мбвў® б«Ґ¤гҐв Ё§ а §«®¦Ґ­Ёп ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п Ї®
$i_0$-®© бва®ЄҐ 1) Ё«Ё Ї® $i_0$-®¬г бв®«Ўжг $1')$ (Ї®пб­Ґ­Ёп ¤«п
$n=3$): $$A=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&a_{13}\\a_{21}&
a_{22}&a_{23}\\a_{31}& a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},\qquad
B=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&a_{13}\\k\cdot a_{21}&k\cdot
a_{22}&k\cdot a_{23}\\a_{31}& a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},$$
$$|B|=-k\cdot a_{21}|A_{21}|+k\cdot a_{22}|A_{22}|-k\cdot
a_{23}|A_{23}|=k|A|.\ \rhd$$

‘«Ґ¤бвўЁҐ. …б«Ё ¬ ваЁж  $A$ ᮤҐа¦Ёв ­г«Ґў®© бв®«ЎҐж Ё«Ё ­г«Ґўго
бва®Єг, в® $|A|=0$.

‘ў®©бвў® 2. …б«Ё ¬ ваЁжл $A=\bigl (a_{i,j}\bigr )$, $B=\bigl
(b_{i,j}\bigr )$ Ё $C=\bigl (c_{i,j}\bigr )$ ®в«Ёз овбп ¬Ґ¦¤г
б®Ў®© «Ёим н«Ґ¬Ґ­в ¬Ё ­ҐЄ®в®а®Ј® дЁЄбЁа®ў ­­®Ј® бв®«Ўж  (Ё«Ё
бва®ЄЁ) б Ё­¤ҐЄб®¬ $j_0$, ЇаЁзҐ¬ $c_{i,j_0}=b_{i,j_0}+a_{i,j_0}$,
$i=1,\dots,n$, в® $|C|=|A|+|B|$.

$\lhd$: Љ Є Ё ўлиҐ ¤®Є § вҐ«мбвў® бў®©бвў  2 б«Ґ¤гҐв Ё§ а §«®¦Ґ­Ёп
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п Ї® (1) Ё«Ё  $(1')$. „«п $n=3$ Ё¬ҐҐ¬
$$A=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&a_{13}\\a_{21}&
a_{22}&a_{23}\\a_{31}& a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},\qquad
B=\begin{pmatrix}a_{11}&
b_{12}&a_{13}\\a_{21}&b_{22}&a_{23}\\a_{31}&
b_{32}&a_{33}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}a_{11}&
a_{12}+b_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}\\a_{31}&
a_{32}+b_{32}&a_{33}\end{pmatrix},$$
$$|C|=-(a_{12}+b_{12})|A_{12}|+(a_{22}+b_{22})|A_{22}|-
(a_{32}+b_{32})|A_{32}|=|A|+|B|.$$ ЋЎйЁ© б«гз © а бб¬ ваЁў Ґвбп Ї®
 ­ «®ЈЁЁ. $\rhd$

‘ў®©бвў® 3. …б«Ё ¬ ваЁж  $B$ Ї®«гз Ґвбп Ё§ ¬ ваЁжл $A$
ЇҐаҐбв ­®ўЄ®© «оЎле ¤ўге дЁЄбЁа®ў ­­ле бв®«Ўж®ў «ЁЎ® ¤ўге
дЁЄбЁа®ў ­­ле бва®Є, в® $|A|=-|B|$.

$\lhd$: Џгбвм б­ з «  ЇҐаҐбв ў«пҐ¬лҐ бва®ЄЁ (Ё«Ё бв®«Ўжл)
а бЇ®«®¦Ґ­л а冷¬. „«п $n=3$ $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&
a_{12}&a_{13}\\a_{21}& a_{22}&a_{23}\\a_{31}&
a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}a_{21}&
a_{22}&a_{23}\\a_{11}& a_{12}&a_{13}\\a_{31}&
a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}.$$ ђ §«®¦Ё¬ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл $A$ Ї®
ЇҐаў®© бва®ЄҐ,   ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл $B$ -- Ї® ўв®а®©:
$$|A|=a_{11}|A_{11}|-a_{12}|A_{12}|+a_{13}|A_{13}|,\quad
|B|=-a_{11}|A_{11}|+a_{12}|A_{12}|-a_{13}|A_{13}|=-|A|.$$ ’®з­®
в Є¦Ґ а бб¬ ваЁў Ґвбп Ё ®ЎйЁ© б«гз © ЇҐаҐбв ­®ўЄЁ ¤ўге б®бҐ¤­Ёе
бва®Є (Ё«Ё бв®«Ўж®ў). …б«Ё ¦Ґ ⥯Ґам вॡгҐвбп ЇҐаҐбв ўЁвм 2
бва®ЄЁ ¬ ваЁжл $A$, ¬Ґ¦¤г Є®в®ал¬Ё а бЇ®«®¦Ґ­л ҐйҐ $k$ бва®Є
(бЄ ¦Ґ¬ 1-о Ё (k+2)-о), в® в Єго ЇҐаҐбв ­®ўЄг ¬®¦­® ®бгйҐбвўЁвм,
ЇҐаҐбв ў«пп а冷¬ бв®пйЁҐ бва®ЄЁ, б­ з «  ЇҐаҐ¬ҐбвЁў 1-о бва®Єг § 
(k+1)-о, в Є зв®Ўл Ї®«гзЁ«бп Ўл б«Ґ¤гойЁ© Ї®а冷Є бва®Є: 2-п, 3-п,
\dots, (k+1)-п, 1-п, (k+2)-п,   § вҐ¬ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­® ЇҐаҐ¬ҐбвЁў
(k+2)-о бва®Єг ­  ЇҐаў®Ґ ¬Ґбв®. ‚ᥣ® ЇаЁ н⮬ ­г¦­® ўлЇ®«­Ёвм
$k+k+1=2k+1$ ЇҐаҐбв ­®ў®Є б®бҐ¤­Ёе бва®Є. ‡­ Є ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п ЇаЁ
н⮬ Ї®¬Ґ­пҐвбп $2k+1$ а § Ё ў Ёв®ЈҐ бв ­Ґв Їа®вЁў®Ї®«®¦­л¬ §­ Єг
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п $|A|$. $\rhd$

‘«Ґ¤бвўЁҐ. …б«Ё ¬ ваЁж  $A=\bigl (a_{i,j}\bigr )$ ᮤҐа¦Ёв ¤ў 
®¤Ё­ Є®ўле бв®«Ўж  Ё«Ё ¤ўҐ ®¤Ё­ Є®ўле бва®ЄЁ, в® $|A|=0$.

‘«Ґ¤бвўЁҐ. …б«Ё Є н«Ґ¬Ґ­в ¬ ­ҐЄ®в®а®© бва®ЄЁ (Ё«Ё бв®«Ўж ) ¬ ваЁжл
$A$ ¤®Ў ўЁвм н«Ґ¬Ґ­вл ¤агЈ®© бва®ЄЁ (ᮮ⢥вб⢥­­® ¤агЈ®Ј®
бв®«Ўж ) нв®© ¬ ваЁжл, г¬­®¦Ґ­­лҐ ­  «оЎ®© ®ЎйЁ© ¬­®¦ЁвҐ«м, в® ҐҐ
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ®в нв®Ј® ­Ґ Ё§¬Ґ­Ёвбп.

„®Є § вҐ«мбвў® нв®Ј® б«Ґ¤бвўЁп Ї®«гз Ґвбп Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­л¬
ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ¬ бў®©бвў 2, 1 Ё б«Ґ¤бвўЁп Ё§ бў®©бвў  3.

‚ᥠЇҐаҐзЁб«Ґ­­лҐ бў®©бвў  Ё Ёе б«Ґ¤бвўЁп Ї®«Ґ§­® ЇаЁ¬Ґ­пвм ЇаЁ
ўлзЁб«Ґ­ЁЁ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ© Єў ¤а в­ле ¬ ваЁж.