ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 2 / Po_2

\documentstyle[12pt,draft,russcorr]{article}


\tolerance4000
%\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
%\newcommand{\sh}{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\newcommand{\th}{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\newcommand{\cth}{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\newcommand{\rot}{\mathop{\rm rot}\nolimits}
%\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
%\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\let\o=\omega
\let\e=\varepsilon
\let\t=\tau
\let\tet=\vartheta
\let\f=\varphi
\let\d=\partial
\let\a=\alpha
\let\b=\beta
\let\z=\zeta
\let\g=\gamma
\let\O=\Omega
\let\de=\delta
\let\De=\Delta
\let\D=\Delta
\let\di=\displaystyle
\let\ss=\section
\let\sss=\subsection

\begin{document}
\begin{center}\large \bf ЊЁ­ЁбвҐабвў® ®Ўа §®ў ­Ёп ђ®ббЁ©бЄ®© ”Ґ¤Ґа жЁЁ

\bigskip

\it ``ЊЂ’€"- ђЋ‘‘€‰‘Љ€‰ ѓЋ‘“„Ђђ‘’‚…ЌЌ›‰
’…•ЌЋ‹Ћѓ€—…‘Љ€‰ “Ќ€‚…ђ‘€’…’ Ё¬.~Љ.~ќ.~–€Ћ‹ЉЋ‚‘ЉЋѓЋ

\vskip30pt
\rm
Љ дҐ¤а  "‚лби п ¬ вҐ¬ вЁЄ "


\vskip 80pt

\bf Ђ.~‚.~†Ґ¬ҐаҐў

\vskip20pt

‚‚…„…Ќ€… ‚ ЊЂ’…ЊЂ’€—…‘Љ€‰ ЂЌЂ‹€‡
\bigskip

— бвм 2

\bigskip
\rm ЊҐв®¤ЁзҐбЄ®Ґ Ї®б®ЎЁҐ ¤«п бв㤥­в®ў 1-Ј® Єгаб  2-Ј®~д Єг«мвҐв  ЊЂ’€

\vskip 150pt
Њ®бЄў   2003 Ј.
\end{center}

\thispagestyle{empty}
\newpage

\tableofcontents

\newpage

\ss{ЃҐбЄ®­Ґз­® ¬ «лҐ дг­ЄжЁЁ. €е бў®©бвў }

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ.} {\it ”г­ЄжЁп $\a(x)$ ­ §лў Ґвбп
{\bf ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© дг­ЄжЁҐ© (ўҐ«ЁзЁ­®©)} (ЃЊ‚) ЇаЁ $x\to a$
Ё«Ё ЇаЁ $x\to\infty$, Ґб«Ё ҐҐ ЇаҐ¤Ґ« а ўҐ­ ­г«о:}
$$\lim_{x\to a}\a(x)=0;$$
$$\lim_{x\to \infty}\a(x)=0.$$

‘ Ї®¬®ймо «®ЈЁзҐбЄЁе бЁ¬ў®«®ў "­  п§лЄҐ $\e-\de$" нв®
§ ЇЁблў Ґвбп б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$\left(\a(x) -\rm{ЃЊ‚\; ЇаЁ}\; x\to a\right)\Longleftrightarrow$$
$$\Longleftrightarrow
(\forall \e>0) (\exists \de>0)(\forall x:0<|x-a|<\de) |\a(x)|<\e;$$
$$\left(\a(x) -\rm{ЃЊ‚\; ЇаЁ}\; x\to \infty\right)\Longleftrightarrow
(\forall \e>0) (\exists \de>0)(\forall x:|x|>\de) |\a(x)|<\e.$$

Ќ ЇаЁ¬Ґа, дг­ЄжЁп $f(x)=1/x$ пў«пҐвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®©
ЇаЁ бв६«Ґ­ЁЁ $x\to \infty$.


{\bf ‘ў®©бвў  ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ўҐ«ЁзЁ­}

{\bf 1.} Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄ п б㬬  Є®­Ґз­®Ј® зЁб« 
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ўҐ«ЁзЁ­ Ґбвм ўҐ«ЁзЁ­  ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п.

{\bf 2.} Џа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© ўҐ«ЁзЁ­л ­ 
®Ја ­ЁзҐ­­го дг­ЄжЁо Ґбвм ўҐ«ЁзЁ­  ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п.

{\bf 3.} — бв­®Ґ ®в ¤Ґ«Ґ­Ёп ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© ўҐ«ЁзЁ­л ­  дг­ЄжЁо,
ЇаҐ¤Ґ« Є®в®а®© ®в«ЁзҐ­ ®в ­г«п, Ґбвм ўҐ«ЁзЁ­  ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п.

‚ Є зҐб⢥ ЇаЁ¬Ґа  ¤®Є ¦Ґ¬ бў®©бвў® 1 ¤«п ¤ўге ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле $\a(x)$ Ё
$\b(x)$ ЇаЁ $x\to a$. Џ®Є ¦Ґ¬, зв® дг­ЄжЁп $\a(x)+\b(x)$ в Є¦Ґ пў«пҐвбп
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© ЇаЁ $x\to a$.

Џ® гб«®ўЁо $\a(x)$ Ё $\b(x)$ Ґбвм ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «лҐ ЇаЁ $x\to a$.
ќв® ®§­ з Ґв, зв® ¤«п «оЎ®Ј® $\di{\e'=\frac{\e}{2}}>0$ ­ ©¤гвбп в ЄЁҐ зЁб« 
$\de_1>0$, $\de_2>0$, зв® ўбҐе $x$, 㤮ў«Ґвў®апойЁ¬ гб«®ўЁп¬
$$0<|x-a|<\de_1$$
Ё
$$0<|x-a|<\de_2,$$
ўлЇ®«­повбп ᮮ⢥вб⢥­­® ­Ґа ўҐ­бвў 
$$|\a(x)|<\frac{\e}{2}$$
Ё
$$|\b(x)|<\frac{\e}{2}.$$
‚®§¬Ґ¬ ў Є зҐб⢥ зЁб«  $\de$ ¬Ё­Ё¬ «м­®Ґ Ё§ зЁбҐ« $\de_1$ Ё $\de_2$.
’®Ј¤  ЇаЁ ўлЇ®«­Ґ­ЁЁ ­Ґа ўҐ­бвў 
$$0<|x-a|<\de$$
Ўг¤гв ўҐа­л ¤ў  Ї®б«Ґ¤­Ёе
­Ґа ўҐ­бвў  ¤«п $\a(x)$ Ё $\b(x)$. ‘Є« ¤лў п Ёе Ї®з«Ґ­­®, Ї®«гзЁ¬
$$|\a(x)|+|\b(x)|<\frac{\e}{2}+\frac{\e}{2}=\e.$$
€бЇ®«м§гп ­Ґа ўҐ­бвў® $|a+b|\le |a|+|b|$, Ї®«гзЁ¬
$$|\a(x)+\b(x)|<\e.$$

€в Є, ¤«п «оЎ®Ј® $\e>0$ бгйҐбвўгҐв в Є®Ґ $\de>0$, зв® ¤«п ўбҐе $x$,
㤮ў«Ґвў®апоиЁе гб«®ўЁо
$$0<|x-a|<\de,$$
ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®
$$|\a(x)+\b(x)|<\e.$$

Ђ нв® ®§­ з Ґв, зв® дг­ЄжЁп $\a(x)+\b(x)$ Ґбвм ўҐ«ЁзЁ­ 
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п.



{\bf ‘ўп§м ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ўҐ«ЁзЁ­ б ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё дг­ЄжЁ©}

{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} …б«Ё дг­ЄжЁп $f(x)$ Ё¬ҐҐв ЇаЁ $x\to a$ ($x\to\infty$)
ЇаҐ¤Ґ«, а ў­л© $A$, в® ҐҐ ¬®¦­® ЇаҐ¤бв ўЁвм ў ўЁ¤Ґ б㬬л
нв®Ј® зЁб«  $A$ Ё ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© $\a(x)$, ЇаЁ $x\to a$ $(x\to\infty)$
$$f(x)=A+\a(x).$$

„®Є ¦Ґ¬ ⥮६㠤«п б«гз п $x\to a$. Џ® гб«®ўЁо
$${\di\lim_{x\to a}f(x)}=A.$$
 ќв® ®§­ з Ґв, зв® ¤«п «оЎ®Ј® $\e>0$
бгйҐбвўгҐв в Є®Ґ зЁб«® $\de>0$, зв® ¤«п $x$, 㤮ў«Ґвў®апойЁе
гб«®ўЁо
$$0<|x-a|<\de,$$
Ўг¤Ґв ўҐа­® ­Ґа ўҐ­бвў®
$$|f(x)-A|<\e,$$
Ё«Ё, ®Ў®§­ зЁў
$$\a(x)=f(x)-A,$$
бЇа ўҐ¤«Ёў® ­Ґа ўҐ­бвў® $$|\a(x)|<\e.$$

ќв® Ё ®§­ з Ґв, зв® $\a(x)$ Ґбвм ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ўҐ«ЁзЁ­  ЇаЁ $x\to a$.

‚Ґа­  Ё ®Ўа в­ п ⥮६ :

{\bf  ’Ґ®аҐ¬ .} {\it …б«Ё дг­ЄжЁо $f(x)$ ¬®¦­® ЇаҐ¤бв ўЁвм Є Є б㬬г
зЁб«  $A$ Ё ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© $\a(x)$, ЇаЁ $x\to a$ ($x\to\infty$),
в® зЁб«® $A$ Ґбвм ЇаҐ¤Ґ« нв®© дг­ЄжЁЁ ЇаЁ  $x\to a$ ($x\to\infty$)
в.Ґ. $\di{\lim_{x\to a(\infty)}f(x)}=A$.  }

Џ® гб«®ўЁо $f(x)=A+\a(x)$. Џгбвм, ­ ЇаЁ¬Ґа, $x\to a$.

’ Є Є Є дг­ЄжЁп
$$\a(x)=f(x)-A$$
Ґбвм ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ЇаЁ $x\to a$, в® ¤«п
«оЎ®Ј® зЁб«  $\e>0$ бгйҐбвўгҐв в Є®Ґ зЁб«® $\de>0$, зв® ¤«п ўбҐе
$x$, 㤮ў«Ґвў®апойЁе
гб«®ўЁо
$$0<|x-a|<\de,$$
Ўг¤Ґв ўҐа­® ­Ґа ўҐ­бвў® $$|\a(x)|=|f(x)-A|<\e.$$

ќв® Ё ®§­ з Ґв, зв®
$$\di{\lim_{x\to a}f(x)}=A.$$


\ss{‘а ў­Ґ­ЁҐ ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле дг­ЄжЁ©}

ђ бᬮваЁ¬ ЇаҐ¤Ґ« з бв­®Ј® ®в ¤Ґ«Ґ­Ёп ¤ўге ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле
$\a(x)$ Ё $\b(x)$  ЇаЁ $x\to a$.

ЏаҐ¤Ґ« ®в­®иҐ­Ёп ¤ўге ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ўҐ«ЁзЁ­
$A={\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\a(x)}{\b(x)}}$
¬®¦Ґв Ўлвм а ўҐ­:  ­г«о,  Є®­Ґз­®¬г зЁб«г  Ё«Ё  $\infty$.

1. …б«Ё $A$ Є®­Ґз­®, в® $\a(x)$ Ё $\b(x)$ ­ §лў ов ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «л¬Ё ®¤­®Ј®
Ї®ап¤Є  Ё ЇЁигв $\a(x)=O[\b(x)]$ ЇаЁ $x\to a$.

…б«Ё $A=1$, в® $\a(x)$ Ё $\b(x)$ ­ §лў ов нЄўЁў «Ґ­в­л¬Ё
Ё ЇЁигв $\a(x)\sim \b(x)$ ЇаЁ $x\to a$.

2. …б«Ё $A=0$, в® $\a(x)$ ­ §лў ов ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© Ў®«ҐҐ ўлб®Є®Ј®
Ї®ап¤Є , 祬 $\b(x)$ Ё ЇЁигв $\a(x)=o[\b(x)]$ ЇаЁ $x\to a$.

…б«Ё бгйҐбвўгҐв ¤Ґ©б⢨⥫쭮Ґ зЁб«® $r>0$ в Є®Ґ, зв®
$${\di\lim_{x\to a}\frac{\a(x)}{[\b(x)]^r}}\ne 0$$
в® $\a(x)$  ­ §лў ов ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© Ї®ап¤Є  $r$
®в­®бЁвҐ«м­® $\b(x)$ ЇаЁ $x\to a$.

3. …б«Ё $A\to \infty$ ЇаЁ $x\to a$,в® ў н⮬ б«гз Ґ $\b(x)$ ­ §лў ов
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© Ў®«ҐҐ ўлб®Є®Ј® Ї®ап¤Є , 祬 $\a(x)$ Ё ЇЁигв $\b(x)=o[\a(x)]$.

Љ®­Ґз­®, ¬®¦Ґв б«гзЁвмбп, зв® ®в­®иҐ­ЁҐ ¤ўге ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ­Ґ бв६Ёвмбп
­Ё Є Є Є®¬г ЇаҐ¤Ґ«г; ­ ЇаЁ¬Ґа, Ґб«Ё ў§пвм
$\a=x$ Ё $\b=x\sin\frac{1}{x}$, в® Ёе ®в­®иҐ­ЁҐ, а ў­®Ґ $\sin\frac{1}{x}$,
а ў­®Ґ $x\to 0$ ЇаҐ¤Ґ«  ­Ґ Ё¬ҐҐв. ‚ в Є®¬ б«гз Ґ Ј®ў®апв, зв®
¤ўҐ ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «лҐ ­Ґ ба ў­Ё¬л ¬Ґ¦¤г б®Ў®©.

\ss{ќЄўЁў «Ґ­в­лҐ ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «лҐ. €е ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ Є ўлзЁб«Ґ­Ёо ЇаҐ¤Ґ«®ў}

ЏаЁ ўлзЁб«Ґ­ЁЁ ЇаҐ¤Ґ«®ў Ї®«Ґ§­® Ё¬Ґвм ў ўЁ¤г нЄўЁў «Ґ­в­®бвм б«Ґ¤гойЁе
ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ўҐ«ЁзЁ­:
$$\sin x \sim x; \tg x \sim x; \arcsin x\sim x;
\arctg x\sim x; \ln(1+x)\sim x,$$
ЇаЁ $x\to 0$.

€е ­Ґб«®¦­® Ї®«гзЁвм, ЁбЇ®«м§гп Їа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п (б¬. ­Ё¦Ґ).

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} ‘а ў­Ёвм ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «лҐ $\a(x)=x^2\sin^2 x$ Ё $\b(x)=x\tg x$
ЇаЁ $x\to 0$.

‡ ¬Ґ­Ё¬ $\sin^2 x$ Ё $\tg x$ ­  Ёе нЄўЁў «Ґ­в­лҐ ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «лҐ
$\sin^2 x\sim x^2$ Ё $\tg x\sim x$. Џ®«гзЁ¬
$$\lim_{x\to 0}\frac{\a(x)}{\b(x)}=
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin^2 x}{x\tg x}=
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cdot x^2}{x\cdot x}=
\lim_{x\to 0}\frac{x^4}{x^2}=\lim_{x\to 0}x^2=0.$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $\a(t)=o[\b(t)]$ ЇаЁ $t\to 0$. Ља®¬Ґ в®Ј®, $\a(x)$
пў«пҐвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «®© Ї®ап¤Є  2 ®в­®бЁвҐ«м­® $\b(x)$.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} ЋЇаҐ¤Ґ«Ёвм Ї®а冷Є ¬ «®бвЁ $\a(x)=\sin (\sqrt{x+1}-1)$
®в­®бЁвҐ«м­® $\b(x)=x$ ЇаЁ $x\to 0$.

’ Є Є Є
$$\sqrt{x+1}-1=\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}+1)}
=\frac{x}{(\sqrt{x+1}+1)}$$
в®
$$\lim_{x\to 0}\frac{\a(x)}{\b(x)}=
\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{x}\sin \left(\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}\right)\right]
=\frac{1}{2}.$$

\ss{ЃҐбЄ®­Ґз­® Ў®«миЁҐ дг­ЄжЁЁ. ‘ўп§м ¬Ґ¦¤г ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «л¬Ё Ё ЎҐбЄ®­Ґз­®
Ў®«миЁ¬Ё ўҐ«ЁзЁ­ ¬Ё}

”г­ЄжЁп $f(x)$ ­ §лў Ґвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми®© ўҐ«ЁзЁ­®©, ЇаЁ $x\to a$
$\forall$ $\e>0$ $\exists \de>0$, в Є®Ґ, зв® ¤«п ўбҐе $x$
Ё 㤮ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁо $0<|x-x_0|<\de$,
Ўг¤Ґв ўҐа­® ­Ґа ўҐ­бвў® $|f(x)|>\e$.

‡ ЇЁбм в®Ј®, зв® дг­ЄжЁп $f(x)$ ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми п ЇаЁ $x\to a$
®§­ з Ґв б«Ґ¤го饥:
$\di{\lim_{x\to a}f(x)=\infty}$ Ё«Ё $f(x)\to\infty$ ЇаЁ $x\to a$.

”г­ЄжЁп $f(x)$ ­ §лў Ґвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми®© ўҐ«ЁзЁ­®© ЇаЁ
$x\to a$   $\forall$ $\e>0$ $\exists \de>0$, в Є®Ґ, зв® ¤«п ўбҐе $x$
 㤮ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁо $0<|x-a|<\de$,
Ўг¤Ґв ўҐа­® ­Ґа ўҐ­бвў® $|f(x)|>\e$.


ЏаЁ¬Ґа: $y=\tg x$  ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми п ЇаЁ $x\to \pi/2$.

‡ ¬Ґз ­ЁҐ: ”г­ЄжЁп ¬®¦Ґв Ўлвм ­Ґ®Ја ­ЁзҐ­­®©, ­® ­Ґ ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми п.
Ќ ЇаЁ¬Ґа, дг­ЄжЁп $y=x\sin x$ -- ­Ґ ®Ја ­ЁзҐ­  ­  $(-\infty,\infty)$,
­® ­Ґ ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми п ЇаЁ $x\to \infty$.

{\bf ‘ўп§м ¬Ґ¦¤г ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «л¬Ё Ё ЎҐбЄ®­Ґз­®
Ў®«миЁ¬Ё ўҐ«ЁзЁ­ ¬Ё}

{\bf ’Ґ®аҐ¬ .}  …б«Ё дг­ЄжЁп $\a(x)$ Ґбвм ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ўҐ«ЁзЁ­  ЇаЁ
$x\to a (x\to \infty)$,
в® дг­ЄжЁп $f(x)={\displaystyle\frac{1}{\a(x)}}$
пў«пҐвбп ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми®© ЇаЁ  $x\to a (x\to \infty)$.

€ ®Ўа в­®, Ґб«Ё дг­ЄжЁп $f(x)$    ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми п
ЇаЁ $x\to a (x\to \infty)$,
в® дг­ЄжЁп $\a(x)={\displaystyle\frac{1}{f(x)}}$
 Ґбвм ўҐ«ЁзЁ­  ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ЇаЁ $x\to a (x\to \infty)$.

„®Є ¦Ґ¬ ЇҐаў®Ґ г⢥তҐ­ЁҐ ¤«п $x\to a$, в.Ґ. Ґб«Ё $\a(x)$ -- ЎҐбЄ®­Ґз­®
¬ « п ўҐ«ЁзЁ­ , в® $f(x)=\di{\frac{1}{\a(x)}}$ Ґбвм ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми п ўҐ«ЁзЁ­ 
ЇаЁ $x\to a$.

Џ® гб«®ўЁо $\a(x)$ -- ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ўҐ«ЁзЁ­  ЇаЁ $x\to a$, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®
¤«п «оЎ®Ј® $\e>0$ ­ ©¤Ґвбп в Є®Ґ $\de>0$, зв® ¤«п ўбҐе $x$, 㤮ў«Ґвў®апойЁе
гб«®ўЁо $0<|x-a|<\de$, Ўг¤Ґв ўҐа­® ­Ґа ўҐ­бвў® $|\a(x)|<\e$. Џ®б«Ґ¤­ҐҐ
­Ґа ўҐ­бвў® а ў­®бЁ«м­® б«Ґ¤го饬г
$\di{\left |\frac{1}{\a(x)}\right |>\frac{1}{\e}}$ Ё«Ё $|f(x)|>M$, Ј¤Ґ
$f(x)=\di{\frac{1}{\a(x)}}$ Ё $M=\di{\frac{1}{\e}}$.

Ђ нв® Ё ®§­ з Ґв, зв® ЇаЁ $x\to a$ дг­ЄжЁп $f(x)$ пў«пҐвбп ЎҐбЄ®­Ґз­®
Ў®«ми®© ўҐ«ЁзЁ­®©.




Ќ ЇаЁ¬Ґа, дг­ЄжЁп $y=\cos x$ -- ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ЇаЁ $x\to\pi/2$, в®Ј¤  дг­ЄжЁп
${\displaystyle\frac{1}{\cos x}}$ --     ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми п.
”г­ЄжЁп $y={\displaystyle\frac{1}{2x-7}}$ - ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ЇаЁ $x\to \infty$,
в®Ј¤  дг­ЄжЁп $y=2x-7$ - ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«ми п ЇаЁ $x\to \infty$.

\ss{ЌҐЇаҐалў­®бвм дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ}

Џ®­пвЁҐ ­ҐЇаҐалў­®бвЁ дг­ЄжЁЁ, в Є ¦Ґ Є Є Ё Ї®­пвЁҐ ЇаҐ¤Ґ« , пў«пҐвбп ®¤­Ё¬ Ё§
®б­®ў­ле Ї®­пвЁ© ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®  ­ «Ё§ .

„ ¤Ё¬ ¤ў  ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп Ї®­пвЁп ­ҐЇаҐалў­®бвЁ дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ.

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 1.}  {\it ”г­ЄжЁп $f(x)$ ­ §лў Ґвбп {\bf ­ҐЇаҐалў­®© ў в®зЄҐ}
$a$, Ґб«Ё ®­  㤮ў«Ґвў®апҐв в६ гб«®ўЁп¬: 1) $f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ў ­ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $е= $, 2) бгйҐбвўгҐв Є®­Ґз­л© ЇаҐ¤Ґ«
$\di{\lim_{x\to a}f(x)}$, 3) нв®в ЇаҐ¤Ґ« а ўҐ­ §­ зҐ­Ёо дг­ЄжЁЁ $f(x)$
ў в®зЄҐ  $a$, в.Ґ. $\di{\lim_{x\to a}f(x)}=f(a)$}.

‘ Ї®¬®ймо «®ЈЁзҐбЄЁе бЁ¬ў®«®ў нв® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ¬®¦­® § ЇЁб вм ў  ўЁ¤Ґ:
$$\left(f(x)\; {\rm ­ҐЇа. ў }\;\;x=a\right)\Longleftrightarrow
(\forall \e>0) (\exists \de>0)(\forall x: |x-a|<\de) |f(x)-f(a)|<\e.$$
ЋзҐўЁ¤­®, зв® ­ҐЇаҐалў­®бвм дг­ЄжЁЁ ў ¤ ­­®© в®зЄҐ ўла ¦ Ґвбп ­ҐЇаҐалў­®бвмо
ҐҐ Ја дЁЄ  ЇаЁ Їа®е®¦¤Ґ­ЁЁ ¤ ­­®© в®зЄЁ.

„ ¤Ё¬ ўв®а®Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ­ҐЇаҐалў­®бвЁ дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ.

„ ¤Ё¬  аЈг¬Ґ­вг $a$ ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\De x\ne 0$. ’®Ј¤  дг­ЄжЁп $y=f(x)$ Ї®«гзЁв
ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\De y$, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬®Ґ Є Є а §­®бвм ­ а йҐ­­®Ј®
Ё Ёб室­®Ј® §­ зҐ­Ёп дг­ЄжЁЁ: $\De y=f(a+\De x)-f(a)$ (б¬. аЁб. 1).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F32.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 2.}  {\it ”г­ЄжЁп $y=f(x)$ ­ §лў Ґвбп
{\bf ­ҐЇаҐалў­®© ў в®зЄҐ}
$a$, Ґб«Ё ®­  ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ў ­ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $е= $,
Ё ЇаЁа йҐ­ЁҐ ҐҐ $\De y$ ў нв®© в®зЄҐ, ᮮ⢥вбвўго饥 ЇаЁа йҐ­Ёо$\De x$,
бв६Ёвбп Є ­г«о ЇаЁ бв६«Ґ­ЁЁ $\De x$ Є ­г«о:}
$\di{\lim_{\De x\to 0}\De y}=0$.

Џ®Є ¦Ґ¬ а ў­®бЁ«м­®бвм ®Ў®Ёе ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ё©.

€§ ЇҐаў®Ј® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп ЇаЁ $x=a+\De x$ б«Ґ¤гҐв
$$\di{\lim_{\De x\to 0}f(a+\De x)=f(a)},$$
в Є Є Є бв६«Ґ­ЁҐ $x\to a$ а ў­®бЁ«м­® гб«®ўЁо $\De x\to 0$.

Ќ  ®б­®ў ­ЁЁ вҐ®аҐ¬л ® бўп§Ё ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ўҐ«ЁзЁ­ б ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё дг­ЄжЁ©
¬®¦­® § ЇЁб вм $f(a+\De x)=f(a)+\a(\De x)$, Ј¤Ґ
$$\a(\De x)=f(a+\De x)-f(a)=\De y$$ Ґбвм ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ЇаЁ $\De x\to 0$, в.Ґ.
$\di{\lim_{\De x\to 0}\De y)=0}$.

\ss{‘ў®©бвў  ­ҐЇаҐалў­ле дг­ЄжЁ©}

{\bf 1.} {\it …б«Ё дг­ЄжЁп $f(x)$ Ё $g(x)$ ­ҐЇаҐалў­л ў в®зЄҐ $a$, в® Ёе б㬬 
$$f(x)+g(x),$$
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ
$$f(x)g(x)$$
Ё з бв­®Ґ
$$\di{\frac{f(x)}{g(x)}}$$
(ЇаЁ гб«®ўЁЁ, зв® $g(a)\ne 0$)
пў«повбп дг­ЄжЁп¬Ё, ­ҐЇаҐалў­л¬Ё ў в®зЄҐ $a$. }

{\bf 2.} {\it …б«Ё дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $a$ Ё $f(a)>0$,
в® бгйҐбвўгҐв
в Є п ®ЄаҐбв­®бвм в®зЄЁ $a$, ў Є®в®а®© $f(x)>0$.}

{\bf 3.}
{\it …б«Ё дг­ЄжЁп $y=f(u)$ ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $u_0$,
  дг­ЄжЁп $u=\psi(x)$ ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $u_0=\psi(x_0)$,
в® б«®¦­ п дг­ЄжЁп $y=f[\psi(x)]$ ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $е_0$.}

‘ў®©бвў® 3 ¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ­® ў ўЁ¤Ґ:
$$\lim_{x\to x_0}f[\psi(x)]=f\left[\lim_{x\to x_0}\psi(x)\right],$$
в.Ґ. {\it  Ї®¤ §­ Є®¬ ­ҐЇаҐалў­®© дг­ЄжЁЁ ¬®¦­® ЇҐаҐе®¤Ёвм Є ЇаҐ¤Ґ«г.}

”г­ЄжЁп $y=f(x)$ ­ §лў Ґвбп {\it ­ҐЇаҐалў­®© ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$}, Ґб«Ё ®­ 
­ҐЇаҐалў­  ў Є ¦¤®© в®зЄҐ нв®Ј® Їа®¬Ґ¦гвЄ . Њ®¦­® ¤®Є § вм, зв® ўбҐ
н«Ґ¬Ґ­в а­лҐ дг­ЄжЁЁ ­ҐЇаҐалў­л ў ®Ў« бвЁ Ёе ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп.

\ss{’®зЄЁ а §алў  дг­ЄжЁ©  Ё Ёе Є« ббЁдЁЄ жЁп}

’®зЄ  $a$, ЇаЁ­ ¤«Ґ¦ й п ®Ў« бвЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп дг­ЄжЁЁ Ё«Ё
пў«пой пбп Ја ­Ёз­®© ¤«п нв®© ®Ў« бвЁ, ­ §лў Ґвбп в®зЄ®© а §алў  дг­ЄжЁЁ
$f(x)$, Ґб«Ё ў нв®© в®зЄҐ ­ аги Ґвбп гб«®ўЁҐ ­ҐЇаҐалў­®бвЁ дг­ЄжЁЁ.

…б«Ё бгйҐбвўгов Є®­Ґз­лҐ ЇаҐ¤Ґ«л
$$f(a-0)=\di{\lim_{x\to a-0}f(x)}\; \rm{Ё}\; f(a+0)=\di{\lim_{x\to a+0}f(x)},$$
ЇаЁзҐ¬ ­Ґ ўбҐ ваЁ зЁб«  $f(a)$, $f(a-0)$, $f(a+0)$ а ў­л ¬Ґ¦¤г б®Ў®©,
в® в®зЄ  $a$ ­ §лў Ґвбп {\it в®зЄ®© а §алў  1 த }
 (бгйҐбвўгов Є®­Ґз­лҐ ®¤­®бв®а®­­ЁҐ ЇаҐ¤Ґ«л
дг­ЄжЁЁ б«Ґў  Ё бЇа ў  ЇаЁ, ­Ґ а ў­лҐ ¤агЈ ¤агЈг).

’®зЄЁ а §алў  1 த  Ї®¤а §¤Ґ«повбп, ў бў®о ®зҐаҐ¤м, ­  {\it в®зЄЁ гбва ­Ё¬®Ј®
а §алў } (Є®Ј¤   $f(a-0)=f(a+0)\ne f(a)$, в.Ґ. Є®Ј¤  «Ґўл© Ё Їа ўл© ЇаҐ¤Ґ«л
дг­ЄжЁЁ $f(x)$ ў в®зЄҐ $a$ а ў­л ¬Ґ¦¤г б®Ў®©, ­® ­Ґ а ў­л  §­ зҐ­Ёо дг­ЄжЁЁ
$f(x)$ ў нв®© в®зЄҐ) Ё ­  {\it в®зЄЁ бЄ зЄ  } (Є®Ј¤  $f(a-0)\ne f(a+0)$,
в.Ґ. Є®Ј¤  «Ґўл© Ё Їа ўл© ЇаҐ¤Ґ«л дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ $a$ а §«Ёз­л); ў Ї®б«Ґ¤­Ґ¬
б«гз Ґ а §­®бвм $f(a+0)-f(a-0)$ ­ §лў Ґвбп {\it  бЄ зЄ®¬} дг­ЄжЁЁ $f(x)$
ў в®зЄҐ $a$.

’®зЄЁ а §алў , ­Ґ пў«пойЁҐбп в®зЄ ¬Ё а §алў  1 த , ­ §лў овбп {\it в®зЄ ¬Ё
а §алў  2 த }. ‚ в®зЄ е а §алў  2 த  ­Ґ бгйҐбвўгҐв е®вп Ўл ®¤Ё­ Ё§
®¤­®бв®а®­­Ёе ЇаҐ¤Ґ«®ў.


\ss{ЂбЁ¬Їв®вл Ја дЁЄ  дг­ЄжЁЁ}

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ.} {\it {\bf ЂбЁ¬Їв®в®©} Ја дЁЄ  дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ­ §лў Ґвбп Їап¬ п,
®Ў« ¤ ой п ⥬ бў®©бвў®¬, зв® а ббв®п­ЁҐ ®в в®зЄЁ $(x,f(x))$
¤® нв®© Їаאַ© бв६Ёвбп Є 0 ЇаЁ ­Ґ®Ја ­ЁзҐ­­®¬
г¤ «Ґ­ЁЁ в®зЄЁ Ја дЁЄ  ®в ­ з «  Є®®а¤Ё­ в.}

ЂбЁ¬Їв®вл Ўлў ов 3 ўЁ¤®ў: ўҐавЁЄ «м­лҐ (б¬.~аЁб.~2 ),
Ј®аЁ§®­в «м­лҐ (б¬.~аЁб.~2Ў) Ё ­ Є«®­­лҐ (б¬.~аЁб.~2ў).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F4.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}


ЂбЁ¬Їв®вл ­ е®¤пв, ЁбЇ®«м§гп б«Ґ¤гойЁҐ ⥮६л:

{\bf ’Ґ®аҐ¬  1.} {\it Џгбвм дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ў ­ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв­®бвЁ
в®зЄЁ $x_0$ (ЁбЄ«оз п, ў®§¬®¦­®, б ¬г нвг в®зЄг) Ё е®вп Ўл ®¤Ё­ Ё§
ЇаҐ¤Ґ«®ў дг­ЄжЁЁ
ЇаЁ $x\to x_0-0$ (б«Ґў ) Ё«Ё $x\to x_0+0$ (бЇа ў ) а ўҐ­ ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ.
’®Ј¤  Їап¬ п пў«пҐвбп $x=x_0$ ўҐавЁЄ «м­®©  бЁ¬Їв®в®©
Ја дЁЄ  дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$}.

‚ҐавЁЄ «м­лҐ  бЁ¬Їв®вл $x=x_0$ б«Ґ¤гҐв ЁбЄ вм ў в®зЄ е а §алў 
дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$.

{\bf ’Ґ®аҐ¬  2.} {\it Џгбвм дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ 
ЇаЁ ¤®бв в®з­® Ў®«миЁе $x$ Ё
бгйҐбвўгҐв Є®­Ґз­л© ЇаҐ¤Ґ« дг­ЄжЁЁ
$$\lim_{x\to\mp\infty}f(x)=b.$$
’®Ј¤  Їап¬ п $y=b$ Ґбвм Ј®аЁ§®­в «м­ п  бЁ¬Їв®в 
Ја дЁЄ  дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$}.

{\bf ’Ґ®аҐ¬  3.} {\it Џгбвм дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ЇаЁ
¤®бв в®з­® Ў®«миЁе $x$ Ё
бгйҐбвўгов Є®­Ґз­лҐ ЇаҐ¤Ґ«л
$$\lim_{x\to\mp\infty}\frac{f(x)}{x}=k$$
Ё
$$\lim_{x\to\mp\infty}[f(x)-kx]=b.$$
’®Ј¤  Їап¬ п $y=kx+b$ пў«пҐвбп ­ Є«®­­®©  бЁ¬Їв®в®© Ја дЁЄ  дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$}.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ  бЁ¬Їв®вл Ја дЁЄ  ¤а®Ў­®-а жЁ®­ «м­®© дг­ЄжЁЁ
$$y(x)=\frac{ax+b}{cx+d}; c\ne 0; ad-bc\ne 0.$$

…б«Ё $c=0$, в® ¤а®Ў­®-а жЁ®­ «м­ п дг­ЄжЁп бв ­®ўЁвбп «Ё­Ґ©­®©
$$y(x)=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}.$$

Ћб®Ў п в®зЄ  $x=-d/c$.
Ќ ©¤с¬ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to -d/c}f(x)}$.

ЏҐаҐЇЁиҐ¬ ¤а®Ў­®-а жЁ®­ «м­го дг­ЄжЁо ў ўЁ¤Ґ:
$$y(x)=\frac{ax+b}{c(x+d/c)}$$
’ Є Є Є $ad-bc\ne 0$ в® ЇаЁ $x\to d/c$ зЁб«ЁвҐ«м ¤а®Ў­®-а жЁ®­ «м­®©
дг­ЄжЁЁ ­Ґ бв६Ёвбп Є ­г«о.
Џ®н⮬㠯ап¬ п $x=-d/c$ -  бЁ¬Їв®в  Ја дЁЄ  ¤а®Ў­®-а жЁ®­ «м­®© дг­ЄжЁЁ.

Ќ ©¤с¬ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to \pm\infty}f(x)}$.
$$\lim_{x\to \pm\infty}\frac{ax+b}{cx+d}=
\lim_{x\to \pm\infty}\frac{a+b/x}{c+d/c}=\frac{a}{c}$$
$y=a/c$ - пў«пҐвбп Ј®аЁ§®­в «м­®©  бЁ¬Їв®в®© ¤а®Ў­®-а жЁ®­ «м­®© дг­ЄжЁЁ.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ  бЁ¬Їв®вл ЄаЁў®© $y(x)=\di{\frac{x^3}{x^2+1}}$.
$$ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=1.$$
Џ®н⮬г $k=1$.

’ҐЇҐам ЁйҐ¬ $b$.
$$b=\lim_{x\to\pm\infty}\left[\frac{x^3}{x^2+1}-x\right]=
\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{-x}{x^2+1}\right)$$

”г­ЄжЁп $y(x)=\di{\frac{x^3}{x^2+1}}$ Ё¬ҐҐв ­ Є«®­­го  бЁ¬Їв®вг $y=x$.

\ss{‘ў®©бвў  дг­ЄжЁ©, ­ҐЇаҐалў­ле ­  ®в१ЄҐ. ’Ґ®аҐ¬л ‚Ґ©Ґаива бб }

{\bf 1.} {\it …б«Ё дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ­ҐЇаҐалў­  ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$,
в® ®­  ®Ја ­ЁзҐ­  ­  н⮬ ®в१ЄҐ, в.Ґ. бгйҐбвўгов в ЄЁҐ Ї®бв®п­­лҐ Ё Є®­Ґз­лҐ
зЁб«  $m$ Ё $M$, зв®}
$$m\le f(x)\le M \quad {\rm ЇаЁ}\quad a\le x\le b$$
(б¬.~аЁб.~3 ).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(80,140){\special{em:graph F5.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

{\bf 2.} {\it  …б«Ё дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ­ҐЇаҐалў­  ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$,
в® ®­  ¤®бвЁЈ Ґв ­  н⮬ ®в१ЄҐ
­ ЁЎ®«м襣® §­ зҐ­Ёп $M$ Ё ­ Ё¬Ґ­м襣® §­ зҐ­Ёп $m$} (б¬. аЁб. 3Ў).

{\bf 3.} {\it …б«Ё дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ­ҐЇаҐалў­  ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$,
Ё §­ зҐ­Ёп Ґс ­  Є®­ж е ®в१Є  $f(a)$ Ё $f(b)$ Ё¬Ґов Їа®вЁў®Ї®«®¦­лҐ §­ ЄЁ,
в® ў­гваЁ ®в१Є  ­ ©¤свбп в®зЄ  $\xi\in(a,b)$, в Є п, зв® $f(\xi)=0$}
(б¬. аЁб. 3ў).

1 Ё 2 бў®©бвў  дг­ЄжЁ©, ­ҐЇаҐалў­ле ­  ®в१ЄҐ, ў «ЁвҐа вгॠЁ­®Ј¤ 
­ §лў ов 1 Ё 2 ⥮६ ¬Ё ‚Ґ©Ґаива бб .

„®Є ¦Ґ¬ 1 ⥮६㠂Ґ©Ґаива бб .

ЏаЁ н⮬ ў®бЇ®«м§гҐ¬бп «Ґ¬¬®© Ѓ®«мж ­® --
‚Ґ©Ґаива бб , Є®в®аго ЇаЁ¬Ґ¬ ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў . {\it €§ «оЎ®© ®Ја ­ЁзҐ­­®©
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ ўбҐЈ¤  ¬®¦­® Ё§ў«Ґзм в Єго з бвЁз­го
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм\footnote{Џ®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм, Ё§ў«ҐзҐ­­ п Ё§ ¤ ­­®©.
‘¬. ѓ.Њ. ”Ёе⥭Ј®«мж. Љгаб ¤ЁддҐаҐ­жЁ «м­®Ј® Ё Ё­вҐЈа «м­®Ј® ЁбзЁб«Ґ­Ё©,
в.1, ‘.85-87 },
Є®в®а п б室Ё« бм Ўл Є Є®­Ґз­®¬г ЇаҐ¤Ґ«г.}


„®Є § вҐ«мбвў® Ї®ўҐ¤Ґ¬ ®в Їа®вЁў­®Ј®: ¤®ЇгбвЁ¬, зв® дг­ЄжЁп $f(x)$ ЇаЁ
Ё§¬Ґ­Ґ­ЁЁ $x$ ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[a,b]$ ®Є §лў Ґвбп ­Ґ®Ја ­ЁзҐ­­®©.

‚ в Є®¬ ¤«п Є ¦¤®Ј® ­ вга «м­®Ј® зЁб«  $n$ ­ ©¤Ґвбп ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[a,b]$
в Є®Ґ §­ зҐ­ЁҐ $x=x_n$, зв®
$$|f(x_n)|\ge n.$$

Џ® «Ґ¬¬Ґ  Ѓ®«мж ­® -- ‚Ґ©Ґаива бб , Ё§ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ $\{x_n\}$
¬®¦­® Ё§ў«Ґзм з бвЁз­го Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $\di{\{x_{n_k}\}}$, б室пйгобп Є
Є®­Ґз­®¬г ЇаҐ¤Ґ«г:
$$x_{n_k}\to x_0 \quad ({\rm ЇаЁ}\;\;k\to \infty),$$
ЇаЁзҐ¬, ®зҐўЁ¤­®, зв® $a\le x\le b$. ‚б«Ґ¤бвўЁҐ ­ҐЇаҐалў­®бвЁ дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ
$x_0$, в®Ј¤  ¤®«¦­® Ўлвм Ё
$$f(x_{n_k})\to f(x_0),$$
  нв® ­Ґў®§¬®¦­®, в Є Є Є Ё§ $|f(x_n)|\ge n$ б«Ґ¤гҐв, зв®
$$|f(x_{n_k})|\to \infty.$$
Џ®«г祭­®Ґ Їа®вЁў®аҐзЁҐ Ё ¤®Є §лў Ґв ⥮६г.


\end{document}