ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Часть 2 / PO_4

\documentstyle[12pt,draft,russcorr]{article}


\tolerance1250
%\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
%\newcommand{\sh}{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\newcommand{\th}{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\newcommand{\cth}{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\newcommand{\rot}{\mathop{\rm rot}\nolimits}
%\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
%\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\let\o=\omega
\let\e=\varepsilon
\let\t=\tau
\let\tet=\vartheta
\let\f=\varphi
\let\d=\partial
\let\a=\alpha
\let\b=\beta
\let\z=\zeta
\let\g=\gamma
\let\O=\Omega
\let\de=\delta
\let\De=\Delta
\let\D=\Delta
\let\di=\displaystyle
\let\s=\section
\let\ss=\subsection




\begin{document}
\begin{center}\large \bf ЊЁ­ЁбвҐабвў® ®Ўа §®ў ­Ёп ђ®ббЁ©бЄ®© ”Ґ¤Ґа жЁЁ

\bigskip

\it ``ЊЂ’€"- ђЋ‘‘€‰‘Љ€‰ ѓЋ‘“„Ђђ‘’‚…ЌЌ›‰
’…•ЌЋ‹Ћѓ€—…‘Љ€‰ “Ќ€‚…ђ‘€’…’ Ё¬.~Љ.~ќ.~–€Ћ‹ЉЋ‚‘ЉЋѓЋ

\vskip30pt
\rm
Љ дҐ¤а  "‚лби п ¬ вҐ¬ вЁЄ "


\vskip 80pt

\bf Ђ.~‚.~†Ґ¬ҐаҐў

\vskip20pt

„€””…ђ…Ќ–€Ђ‹њЌЋ… €‘—€‘‹…Ќ€… ”“ЌЉ–€€ Ћ„ЌЋ‰ Џ…ђ…Њ…ЌЌЋ‰
\bigskip

— бвм 2

\bigskip
\rm ЊҐв®¤ЁзҐбЄ®Ґ Ї®б®ЎЁҐ ¤«п бв㤥­в®ў 1-Ј® Єгаб  2-Ј®~д Єг«мвҐв  ЊЂ’€

\vskip 150pt
Њ®бЄў   2003 Ј.
\end{center}

\thispagestyle{empty}
\newpage

\tableofcontents

\newpage

\s{Ћб­®ў­лҐ вҐ®аҐ¬л ¤ЁддҐаҐ­жЁ «м­®Ј® ЁбзЁб«Ґ­Ёп}

\ss{’Ґ®аҐ¬  ”Ґа¬ }

’®зЄЁ, Ј¤Ґ ¤®бвЁЈ Ґвбп ­ ЁЎ®«м襥 Ё«Ё ­ Ё¬Ґ­м襥 §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ ­ §лў овбп
ᮮ⢥вб⢥­­® в®зЄ ¬Ё ¬ ЄбЁ¬г¬  Ё«Ё ¬Ё­Ё¬г¬  дг­ЄжЁЁ.

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 1.} {\it ’®зЄ  $x_0$ ­ §лў Ґвбп в®зЄ®© {\bf ¬ ЄбЁ¬г¬ }
дг­ЄжЁЁ $f(x)$, Ґб«Ё ў ­ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_0$ ўлЇ®«­пҐвбп
­Ґа ўҐ­бвў® $f(x)\ge f(x_0)$} (б¬. аЁб. 1).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F13.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 2.} {\it ’®зЄ  $x_1$ ­ §лў Ґвбп в®зЄ®© {\bf ¬Ё­Ё¬г¬ }
дг­ЄжЁЁ $f(x)$, Ґб«Ё ў ­ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_1$ ўлЇ®«­пҐвбп
­Ґа ўҐ­бвў® $f(x)\le f(x_1)$} (б¬. аЁб. 1).

‡­ зҐ­Ёп дг­ЄжЁЁ ў в®зЄ е $x_0$ Ё $x_1$ ­ §лў овбп ᮮ⢥вб⢥­­® {\it
¬ ЄбЁ¬г¬®¬ Ё ¬Ё­Ё¬г¬®¬ дг­ЄжЁЁ}.
Њ ЄбЁ¬г¬ Ё ¬Ё­Ё¬г¬ дг­ЄжЁЁ ®ЎкҐ¤Ё­повбп ®ЎйЁ¬ ­ §ў ­ЁҐ¬
{\it нЄбв६㬠 дг­ЄжЁЁ}.

ќЄбв६㬠дг­ЄжЁЁ з бв® ­ §лў ов {\it «®Є «м­л¬} нЄбв६㬮¬,
Ї®¤зҐаЄЁў п ⥬ б ¬л¬,зв®
Ї®­пвЁҐ нЄбв६㬠 бўп§ ­® «Ёим б ¤®бв в®з­® ¬ «®© ®ЄаҐбв­®бвмо в®зЄЁ $x_0$.
’ Є зв® ­  ®¤­®¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ дг­ЄжЁп ¬®¦Ґв Ё¬Ґвм ­ҐбЄ®«мЄ® нЄбв६㬮ў, ЇаЁзҐ¬
¬®¦Ґв б«гзЁвмбп в Є, зв® ¬Ё­Ё¬г¬ ў ®¤­®© в®зЄҐ Ў®«миҐ ¬ ЄбЁ¬г¬  ў ¤агЈ®©,
­ ЇаЁ¬Ґа, ­  аЁб.1 $f_{min}(x_3)>f_{max}(x_0)$. Ќ «ЁзЁҐ ¬ ЄбЁ¬г¬  (Ё«Ё
¬Ё­Ё¬г¬ ) ў ®в¤Ґ«м­®© в®зЄҐ Їа®¬Ґ¦гвЄ  $X$ ў®ўбҐ ­Ґ ®§­ з Ґв, зв® ў нв®©
в®зЄҐ дг­ЄжЁп $f(x)$ ЇаЁ­Ё¬ Ґв ­ ЁЎ®«м襥 (­ Ё¬Ґ­м襥) §­ зҐ­ЁҐ ­  н⮬
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ (Ё«Ё, Є Є Ј®ў®апв Ё¬ҐҐв Ј«®Ў «м­л© ¬ ЄбЁ¬г¬ (¬Ё­Ё¬г¬)).



{\it …б«Ё ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 п ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$
 дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ¤®бвЁЈ Ґв
­ ЁЎ®«м襣® Ё«Ё ­ Ё¬Ґ­м襣® §­ зҐ­Ёп ў ў­гв७­Ґ©
в®зЄҐ $x_0$,в® в®Ј¤  Їа®Ё§ў®¤­ п дг­ЄжЁЁ ў нв®© в®зЄҐ а ў­  ­г«о, в.Ґ.
$f'(x_0)=0$}.
\vspace{0.3 cm}

 Џгбвм дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$ Ё ў в®зЄҐ
 $x_0\in X$ ЇаЁ­Ё¬ Ґв ­ Ё¬Ґ­м襥 §­ зҐ­ЁҐ (б¬. аЁб. 2).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph F10.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

 ’®Ј¤ 
 $$f(x_0+\D x)\ge f(x_0)$$
Ґб«Ё $x_0+\D x\in X$ Ё, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®
$$\D y=f(x_0+\D x)-f(x_0)\ge 0$$
ЇаЁ ¤®бв в®з­® ¬ «ле $\D x$ Ё ­Ґ§ ўЁбЁ¬® ®в §­ Є  $\D x$.

Џ®н⮬г
$$\frac{\D y}{\D x}\ge 0\; \mbox{ЇаЁ}\; \D x>0\; (\mbox{бЇа ў  ®в}\; x_0);$$
$$\frac{\D y}{\D x}\le 0\; \mbox{ЇаЁ}\; \D x<0\; (\mbox{б«Ґў  ®в}\; x_0).$$
ЏҐаҐе®¤п Є ЇаҐ¤Ґ«г бЇа ў  Ё б«Ґў  Ї®«гзЁ¬
$$\lim_{\D x\to 0+}\frac{\D y}{\D x}\ge 0\; \mbox{Ё}\;
\lim_{\D x\to 0-}\frac{\D y}{\D x}\le 0.$$
’ Є Є Є дг­ЄжЁп ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$,
в® ЇаҐ¤Ґ«л бЇа ў  Ё б«Ґў  а ў­л
$$\lim_{\D x\to 0+}\frac{\D y}{\D x}=\lim_{\D x\to 0-}\frac{\D y}{\D x}.$$
Ћвбо¤  $f'(x_0)=0$.

Ђ­ «®ЈЁз­® ¤®Є §лў Ґвбп ¤«п ¬ ЄбЁ¬г¬ .

\vspace{0.3 cm}

’Ґ®аҐ¬г ”Ґа¬  з бв® ­ §лў ов ­Ґ®Ўе®¤Ё¬л¬ гб«®ўЁҐ¬ §Єбв६㬠
{\bf ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®©} дг­ЄжЁЁ.

ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬ : {\it ў в®зЄҐ нЄбв६㬠, ¤®бвЁЈ Ґ¬®Ј®
ў­гваЁ Їа®¬Ґ¦гвЄ  $X$, Є б вҐ«м­ п Є Ја дЁЄг дг­ЄжЁЁ Ї а ««Ґ«м­  ®бЁ  ЎбжЁбб}.

\ss{’Ґ®аҐ¬  ђ®««п}

{\it Џгбвм дг­ЄжЁп $f(x)$

1) ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  Ё ­ҐЇаҐалў­  ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[a,b]$;

2) бгйҐбвўгҐв Є®­Ґз­ п Їа®Ё§ў®¤­ п $f'(x)$, Ї® Єа ©­Ґ© ¬ҐаҐ ­ 
 Ё­вҐаў «Ґ $( ,b)$;

 3) ­  Є®­ж е Їа®¬Ґ¦гвЄ  дг­ЄжЁп $f(x)$
 ЇаЁ­Ё¬ Ґв  а ў­лҐ §­ зҐ­Ёп: $f(a)=f(b)$.

 ’®Ј¤  ¬Ґ¦¤г $a$ Ё $b$ ­ ©¤Ґвбп в Є п в®зЄ , $c$ $(a<c<b)$,
 зв® $f'(c)=0$}.

\vspace{0.3 cm}

”г­ЄжЁп $f(x)$ ­ҐЇаҐалў­  ­  $[a,b]$, Ї®н⮬㠯® ўв®а®© ⥮६Ґ ‚ҐҐ©ива бб 
$f(x)$ ¤®бвЁЈ Ґв бў®ҐЈ® ­ Ё¬Ґ­м襣® $m$ Ё $M$ ­ ЁЎ®«м襣® §­ зҐ­Ёп
 (б¬ аЁб. 3).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F11.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

ђ бᬮваЁ¬ 2 б«гз п:

1. $M=m$. ’®Ј¤  $f(x)$ б®еа ­пҐв Ї®бв®п­­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ ­  $[a,b]$.
„Ґ©б⢨⥫쭮, $m\le f(x)\ge M$ Ё Ї®н⮬г $f(x)=m=M$ ­  ўбҐ¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ.
Џ®н⮬г $f'(x)=0$ ­  ўбс¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ,   ў Є зҐб⢥ $c$ ¬®¦­® ў§пвм «оЎго
в®зЄг Ё§ $(a,b)$.

2. $M>m$. €§ўҐбв­®, зв® ®Ў  нвЁе §­ зҐ­Ёп ¤®бвЁЈ овбп, ­® в Є Є Є $f(a)=f(b)$,
в® е®вп Ўл ®¤­® §­ зҐ­ЁҐ ¤®бвЁЈ Ґвбп ў в®зЄҐ $c$ ¬Ґ¦¤г $a$ Ё $b$.
‚ в Є®¬ б«гз Ґ Ё§ вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬  б«Ґ¤гҐв, зв® Їа®Ё§ў®¤­ п ў $f'(c)$ нв®© в®зЄҐ
®Ўа й Ґвбп ў ­®«м.

\vspace{0.3 cm}

ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄ п Ё­вҐаЇаҐв жЁп вҐ®аҐ¬л ђ®««п ®§­ з Ґв б«Ґ¤го饥:
{\it Ґб«Ё Єа ©­ЁҐ
®а¤Ё­ вл ЄаЁў®© $f(x)$ ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$ а ў­л, в® ­  ЄаЁў®© ­ ©¤Ґвбп
е®вп Ўл ®¤­  в®зЄ , Ј¤Ґ Є б вҐ«м­ п  Ї а ««Ґ«м­  ®бЁ $Ox$. ‚ нв®© в®зЄҐ
Їа®Ё§ў®¤­ п а ў­  ­г«о}.

…б«Ё $f(a)=f(b)=0$, ⮠⥮६㠐®««п ¬®¦­® бд®а¬г«Ёа®ў вм в Є: {\it ¬Ґ¦¤г
¤ўг¬п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­л¬Ё ­г«п¬Ё ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ Ё¬ҐҐвбп е®вп Ўл
®¤Ё­ ­г«м Їа®Ё§ў®¤­®©}.

\ss{’Ґ®аҐ¬  ‹ Ја ­¦ }

Џгбвм

1) $f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  Ё ­ҐЇаҐалў­  ­ 
®в१ЄҐ $[a,b]$;

2) бгйҐбвўгҐв Є®­Ґз­ п Їа®Ё§ў®¤­ п $f'(x)$,
Ї® Єа ©­Ґ© ¬ҐаҐ, ­  Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$.

 ’®Ј¤  ¬Ґ¦¤г $a$ Ё $b$ ­ ©¤свбп в®зЄ  $c$ $(a<c<b)$,
 зв® ¤«п ­Ґс ўлЇ®«­пҐвбп а ўҐ­бвў®
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).$$

\vspace{0.3 cm}

‚ўҐ¤с¬ ўбЇ®¬®Ј вҐ«м­го дг­ЄжЁо, ®ЇаҐ¤Ґ«Ёў ҐҐ ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[a,b]$ а ўҐ­бвў®¬:
$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(x-a).$$

ќв  дг­ЄжЁп $F(x)$  㤮ў«Ґвў®апҐв гб«®ўЁп¬ вҐ®аҐ¬л ђ®««п.
           „Ґ©б⢨⥫쭮 $F(x)$ ­ҐЇаҐалў­  ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$.
‚ Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$  Ё¬ҐҐв Є®­Ґз­го Їа®Ё§ў®¤­го, а ў­го
$$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
Ља®¬Ґ в®Ј®,  $F(a)=F(b)=0$, в® Ґбвм $F(x)$ ЇаЁ­Ё¬ Ґв а ў­лҐ §­ зҐ­Ёп ­  Є®­ж е
$[a,b]$.

ЏаЁ¬Ґ­Ё¬ Є $F(x)$ ⥮६㠐®««п. ’®Ј¤  ­  Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$  ­ ©¤свбп в®зЄ 
$c$, Ј¤Ґ F'(c)=0. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬
$$f'(б)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,$$
®вЄг¤ 
     $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

\vspace{0.3 cm}

     „®Є § ­­го ⥮६㠭 §лў ов в Є¦Ґ ⥮६®© ® б।­Ґ¬ §­ зҐ­ЁЁ. Ћв¬ҐвЁ¬,
з⮠⥮६  ђ®««п пў«пҐвбп з бв­л¬ б«гз Ґ¬ вҐ®аҐ¬л ‹ Ја ­¦ .

„®Є § ­­ п д®а¬г« 
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c);$$
            Ё«Ё
     $$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$
­®бЁв ­ §ў ­ЁҐ  д®а¬г«л ‹ Ја ­¦  Ё«Ё д®а¬г«  Є®­Ґз­ле  ЇаЁа йҐ­Ё©.

    ђ бᬮваЁ¬ ¬Ґе ­ЁзҐбЄЁ© Ё ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« вҐ®аҐ¬л ‹ Ја ­¦ .

ЏаЁа йҐ­ЁҐ $f(b)-f(a)$ -- Ё§¬Ґ­Ґ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $f(x)$ ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$,  
$\di{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ -- б।­пп бЄ®а®бвм Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп дг­ЄжЁЁ ­ 
н⮬ ®в१ЄҐ. ‡­ зҐ­Ёп Їа®Ё§ў®¤­®© $f(x)$ ў Є ¦¤®© в®зЄҐ -- нв® "¬Ј­®ўҐ­­ п"
бЄ®а®бвм Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп дг­ЄжЁЁ $f(x)$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ⥮६  г⢥ত Ґв: {\it
бгйҐбвўгҐв е®вп Ўл ®¤­  в®зЄ  ў­гваЁ ®в१Є  в Є п, зв® бЄ®а®бвм
Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп дг­ЄжЁЁ ў ­Ґ© а ў­  б।­Ґ© бЄ®а®бвЁ Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп дг­ЄжЁЁ ­  н⮬
®в१ЄҐ}.


ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄ п Ё­вҐаЇаҐв жЁп ⥮६  ‹ Ја ­¦  (б¬. аЁб. 4)
б«Ґ¤гой п: {\it ­  ЄаЁў®© $AB$ ўбҐЈ¤  ­ ©¤Ґвбп,
Ї® Єа ©­Ґ© ¬ҐаҐ, ®¤­  в®зЄ  $M$, ў Є®в®а®© Є б вҐ«м­ п Ї а ««Ґ«м­  е®а¤Ґ $AB$}.

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph F12.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

\ss{’Ґ®аҐ¬  Љ®иЁ}

Џгбвм

1) дг­ЄжЁЁ $f(x)$ Ё $g(x)$ ­ҐЇаҐалў­л ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$;

 2) бгйҐбвўгов Є®­Ґз­лҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ $f'(x)$ Ё $g'(x)$,
 Ї® Єа ©­Ґ© ¬ҐаҐ, ­  Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$;

3) $g'(x)$ ­Ґ а ў­® ­г«о ­  Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$.

’®Ј¤  ¬Ґ¦¤г $a$ Ё $b$ ­ ©¤свбп в Є п в®зЄ  $c$ $(a<c<b)$, зв®

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.$$

ќв  д®а¬г«  ­®бЁв ­ §ў ­ЁҐ   д®а¬г«л Љ®иЁ.

\vspace{0.3 cm}

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® §­ ¬Ґ­ вҐ«м «Ґў®© з бвЁ а ўҐ­бвў  ­Ґ а ўҐ­ ­г«о $g(b)\ne g(a)$.
…б«Ё Ўл $g(b)=g(a)$, в® Ї® ⥮६Ґ ђ®««п Їа®Ё§ў®¤­ п $g'(x)$
 ў ­ҐЄ®в®а®© ў­гв७­Ґ©
 в®зЄҐ ®Ўа й « бм ў ­г«м, зв® Їа®вЁў®аҐзЁв 3-¬г гб«®ўЁо ⥮६л.
 ‡­ зЁв $g(b)\ne g(a)$.


‚ўҐ¤с¬ ўбЇ®¬®Ј вҐ«м­го дг­ЄжЁо, ®ЇаҐ¤Ґ«Ёў ҐҐ ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[a,b]$ а ўҐ­бвў®¬:
$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot[g(x)-g(a)].$$

ќв  дг­ЄжЁп $F(x)$  㤮ў«Ґвў®апҐв ўбҐ¬ гб«®ўЁп¬ вҐ®аҐ¬л ђ®««п.
           „Ґ©б⢨⥫쭮 $F(x)$ ­ҐЇаҐалў­  ­  ®в१ЄҐ $[a,b]$, в Є Є Є
­ҐЇаҐалў­л дг­ЄжЁЁ $f(x)$ Ё $g(x)$.
‚ Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$  дг­ЄжЁп $F(x)$ Ё¬ҐҐв  Їа®Ё§ў®¤­го, а ў­го
$$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(x).$$
  Ља®¬Ґ в®Ј®,  $F(a)=F(b)=0$, в® Ґбвм $F(x)$ ЇаЁ­Ё¬ Ґв а ў­лҐ
  §­ зҐ­Ёп ­  Є®­ж е $[a,b]$.

ЏаЁ¬Ґ­Ё¬ Є $F(x)$ ⥮६㠐®««п. ’®Ј¤  ­  Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$  ­ ©¤свбп в®зЄ 
$c$, Ј¤Ґ F'(c)=0. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬
$$f'(б)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(c)=0,$$
Ё«Ё
     $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$
     ђ §¤Ґ«Ёў ­  $g'(c)$ (нв® ў®§¬®¦­®,
     в Є Є Є $g'(c)\ne 0$), Ї®«гз Ґ¬ вॡ㥬®Ґ
     а ўҐ­бвў®.

\vspace{0.3 cm}

Ћв¬ҐвЁ¬, з⮠⥮६  ‹ Ја ­¦  пў«пҐвбп з бв­л¬ б«гз Ґ¬ вҐ®аҐ¬л Љ®иЁ.
„«п д®а¬г«л Є®­Ґз­ле ЇаЁа йҐ­Ё© ў д®а¬г«Ґ Љ®иЁ б«Ґ¤гҐв Ї®«®¦Ёвм $g(x)=x$.

Џ®н⮬г ⥮६㠊®иЁ ­ §лў ов ®Ў®ЎйҐ­­®© ⥮६®© ® б।­Ґ¬ §­ зҐ­ЁЁ.


\s{‚®§а бв ­ЁҐ Ё гЎлў ­ЁҐ дг­ЄжЁ©}

{\bf ’Ґ®аҐ¬  (¤®бв в®з­®Ґ гб«®ўЁҐ ў®§а бв ­Ёп дг­ЄжЁЁ).}
{\it …б«Ё Їа®Ё§ў®¤­ п ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ Ї®«®¦ЁвҐ«м­  $f'(x)>0)$
 ў­гваЁ  ­ҐЄ®в®а®Ј® Їа®¬Ґ¦гвЄ  $X$,
в® ®­  ў®§а бв Ґв  ­  н⮬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ.}

\vspace{0.3 cm}

ђ бᬮваЁ¬ ¤ў  §­ зҐ­Ёп $x_1$ Ё $x_2$ ­  ¤ ­­®¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$.
Џгбвм $x_2>x_1$, $x_1,x_2\in X$. „®Є ¦Ґ¬, зв® $f(x_2)>f(x_1)$.

„«п дг­ЄжЁЁ $f(x)$ ­  ®в१ЄҐ $[x_1,x_2]$ ўлЇ®«­повбп гб«®ўЁп ⥮६л
‹ Ја ­¦ , Ї®н⮬г
$$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1),$$
Ј¤Ґ $x_1<\xi<x_2$, в.Ґ. $\xi$ ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Їа®¬Ґ¦гвЄг, ­  Є®в®а®¬ Їа®Ё§ў®¤­ п
Ї®«®¦ЁвҐ«м­ , ®вЄг¤  б«Ґ¤гҐв, зв® Їа ў п з бвм Ї®б«Ґ¤­ҐЈ® а ўҐ­бвў 
Ї®«®¦ЁвҐ«м­ . Ћвбо¤  $f(x_2)-f(x_1)>0$ Ё
$$f(x_2)>f(x_1).$$

\vspace{0.3 cm}

Ђ­ «®ЈЁз­® ¤®Є §лў Ґвбп ¤агЈ п ⥮६ .

{\bf ’Ґ®аҐ¬  (¤®бв в®з­®Ґ гб«®ўЁҐ гЎлў ­Ёп дг­ЄжЁЁ).}
{\it …б«Ё Їа®Ё§ў®¤­ п ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ ®ваЁж вҐ«м­  $(f'(x)<0)$
 ў­гваЁ  ­ҐЄ®в®а®Ј® Їа®¬Ґ¦гвЄ  $X$,
в® ®­  гЎлў Ґв ­  н⮬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ.}

\vspace{0.3 cm}

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм ­  ў®§а бв ­ЁҐ Ё гЎлў ­ЁҐ дг­ЄжЁо $y=x^2-6x+2$.

$y'=2x-6$, $y'>0$ ЇаЁ $x>3$  $y'<0$ ЇаЁ $x<3$

Џ®н⮬г дг­ЄжЁп гЎлў Ґв ­  Ё­вҐаў «Ґ $(-\infty,3)$ Ё ў®§а бв Ґв
­  Ё­вҐаў «Ґ $(3,\infty)$.

‡ ¬ҐвЁ¬, зв® Ґб«Ё Їа®Ё§ў®¤­ п дг­ЄжЁЁ $f'(x)\ge 0$, в® ®­  ¬®­®в®­­® ў®§а бв Ґв
  Ґб«Ё Їа®Ё§ў®¤­ п дг­ЄжЁЁ $f'(x)\le 0$, в® ®­  ¬®­®в®­­® гЎлў Ґв.




\s{Џа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п}

ЏаҐ¤Ґ« ®в­®иҐ­Ёп ¤ўге ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле Ё«Ё ЎҐбЄ®­Ґз­® Ў®«миЁе дг­ЄжЁ©
а ўҐ­ ЇаҐ¤Ґ«г ®в­®иҐ­Ёп Ёе Їа®Ё§ў®¤­ле (Є®­Ґз­®¬г Ё«Ё ЎҐбЄ®­Ґз­®¬г),
Ґб«Ё Ї®б«Ґ¤­Ё© бгйҐбвўгҐв ў гЄ § ­­®¬ б¬лб«Ґ.
€в Є, Ґб«Ё Ё¬ҐҐвбп ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®бвм
$$\left[\frac{0}{0}\right] \mbox{Ё«Ё} \left[\frac{\infty}{\infty}\right],$$
  в®
 $$\lim_{x\to x_0}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]
 =\lim_{x\to x_0}\left[\frac{f'(x)}{g'(x)}\right]$$
 Ё«Ё
  $$\lim_{x\to \infty}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]
  =\lim_{x\to \infty}\left[\frac{f'(x)}{g,(x)}\right].$$

\vspace{0.3 cm}

ђ бᬮваЁ¬ Їа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п
¤«п ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«с­­®бвЁ $\di{\left[\frac{0}{0}\right]}$ ЇаЁ $x\to x_0$.

Џгбвм дг­ЄжЁЁ $f(x)$ Ё $g(x)$,   в Є¦Ґ Ёе Їа®Ё§ў®¤­лҐ ­ҐЇаҐалў­л ў
®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_0$. ’®Ј¤ 
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=0;\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)=0.$$
 ‡ ЇЁиҐ¬
 $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=
 \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)},$$
Ј¤Ґ $x$ «Ґ¦Ёв ў ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_0$.

€бЇ®«м§гҐ¬ ⥮६㠋 Ја ­¦ 
$$f(x)-f(x_0)=f'(\xi_1)(x-x_0);$$
$$g(x)-g(x_0)=g'(\xi_2)(x-x_0),$$
Ј¤Ґ $x<\xi_1<x_0$; $x<\xi_2<x_0$. Џ®н⮬г
 $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=
 \lim_{x\to x_0}\frac{f'(\xi_1)(x-x_0)}{g'(\xi_2)(x-x_0)}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)}.$$


ЏаЁ $x\to x_0$ ў бЁ«г ­ҐЇаҐалў­®бвЁ $f'(x)$ Ё $g'(x)$
Ё¬ҐҐ¬ $f'(\xi_1)\to f'(x_0)$ Ё $g'(\xi_2)\to g'(x_0)$.

Ћвбо¤  Ї®«гз Ґ¬
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=
 \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

\vspace{0.3 cm}

ђ бᬮваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал ­  ЁбЇ®«м§®ў ­ЁҐ Їа ўЁ«  ‹®ЇЁв «п.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}}$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=
\lim_{x\to\infty}\frac{x'}{(e^x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^x}=0.$$


{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}}$.
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\left[\frac{0}{0}\right]=
\lim_{x\to 0}\frac{x'}{(e^x-1)'}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{e^x}=1.$$


{\bf ЏаЁ¬Ґа.}  Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}}$.
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}=\left[\frac{0}{0}\right]=
\lim_{x\to 0}\frac{(e^x+e^{-x}-2)'}{(x^2)'}=
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{2x}=\left[\frac{0}{0}\right].$$
…йҐ а § ЇаЁ¬Ґ­Ё¬ Їа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п.
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{2x}=
\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-e^{-x})'}{(2x)'}
=\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=1.$$

ЌҐ ўбҐЈ¤  Їа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п Ї®§ў®«пҐв ­ ©вЁ
ЇаҐ¤Ґ«.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}}$.

ќв® ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®бвм вЁЇ  $\di{\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}$.

„«п ­ е®¦¤Ґ­Ёп ЇаҐ¤Ґ«  ЁбЇ®«м§гҐ¬ Їа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п. €¬ҐҐ¬
$$\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=
\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=
\lim_{x\to \infty}\frac{(x+\sin x)'}{(x-\sin x)'}=
\lim_{x\to \infty}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}.$$
Ќ® нв®в  ЇаҐ¤Ґ«
$$\lim_{x\to \infty}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$$
­Ґ бгйҐбвўгҐв.

Ќ  б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ ­ е®¦¤Ґ­ЁҐ ЇаҐ¤Ґ« 
$\di{\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}}$
б«Ґ¤гҐв Їа®Ё§ў®¤Ёвм б«Ґ¤гойЁ¬ бЇ®б®Ў®¬.
$$\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=
\lim_{x\to \infty}\frac{1+\di{\frac{\sin x}{x}}}{1-\di{\frac{\sin x}{x}}}=1,$$
в Є Є Є
$$\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0.$$

\s{”®а¬г«  ’Ґ©«®а }

\ss{”®а¬г«  ’Ґ©«®а  ¤«п ¬­®Ј®з«Ґ­ }

Џгбвм Ё¬ҐҐвбп  ¬­®Ј®з«Ґ­ $p(x)$ c⥯Ґ­Ё $n$;
 $$p(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots+a_n(x-x_0)^n.$$
Џа®¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 $p(x)$ $n$  а §:
$$p'(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+\cdots+n\cdot a_n(x-x_0)^{n-1};$$
$$p''(x)=2a_2+2\cdot 3a_3(x-x_0)+\cdots+(n-1)n\cdot a_n(x-x_0)^{n-2};$$
$$p'''(x)=2\cdot 3\cdot a_3+\cdots+(n-2)(n-1)n\cdot a_n(x-x_0)^{n-3};$$
$$p^{(n)}(x)=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots n\cdot a_n.$$
Џ®«®¦Ё¬ ў нвЁе д®а¬г« е $x=x_0$. Џ®«гзЁ¬
$$a_0=p(x_0); a_1=\frac{p'(x_0)}{1!};
a_2=\frac{p''(x_0)}{2!}; a_3=\frac{p'''(x_0)}{3!}; \cdots;
a_n=\frac{p^{n}(x_0)}{n!}.$$

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ Є®нддЁжЁҐ­вл а §«®¦Ґ­Ёп ўла ¦ овбп зҐаҐ§ §­ зҐ­Ёп
б ¬®Ј® ¬­®Ј®з«Ґ­  Ё ҐЈ® Їа®Ё§ў®¤­ле ЇаЁ $x=x_0$. ЏҐаҐЇЁиҐ¬
$$p(x)=p(x_0)+\frac{p'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{p''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+
\cdots+\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$$
Џ®«г祭­ п д®а¬г«  ­®бЁв ­ §ў ­ЁҐ д®а¬г«л ’Ґ©«®а  ¤«п ¬­®Ј®з«Ґ­ .

\ss{”®а¬г«  ’Ґ©«®а  ¤«п Їа®Ё§ў®«м­®© дг­ЄжЁЁ}

ђ бᬮваЁ¬ Їа®Ё§ў®«м­го дг­ЄжЁо $f(x)$, ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, ­Ґ пў«пойгобп
¬­®Ј®з«Ґ­®¬. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® ¤«п ­ҐҐ ў ­ҐЄ®в®а®© в®зЄҐ $x_0$ бгйҐбвўгов
Їа®Ё§ў®¤­лҐ ўбҐе Ї®ап¤Є®ў, ¤®  $n$     ўЄ«озЁвҐ«м­®.

ќв® ®§­ з Ґв, зв®  дг­ЄжЁп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  Ё Ё¬ҐҐв Їа®Ё§ў®¤­лҐ
ўбҐе Ї®ап¤Є®ў ¤® $(n-1)$  ўЄ«озЁвҐ«м­® ў ­ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв­®бвЁ
в®зЄЁ $x_0$ $x\in (a,b)$,   ў б ¬®© в®зЄҐ $x_0$ Їа®Ё§ў®¤­го $n$-­®Ј® Ї®ап¤Є .

Џ®  ­ «®ЈЁЁ б д®а¬г«®© ’Ґ©«®а  ¤«п ¬­®Ј®з«Ґ­  § ЇЁиҐ¬ б«Ґ¤гойЁ© ¬­®Ј®з«Ґ­
$$p(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+
\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$$

Њ­®Ј®з«Ґ­  $p(x)$  Ґбвм ­ҐЄ®в®а®Ґ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­ЁҐ Є дг­ЄжЁЁ $f(x)$.

ђ бᬮваЁ¬ а §­®бвм
$$r(x)=f(x)-p(x).$$

Џ® бў®©бвўг ¬­®Ј®з«Ґ­  $p(x)$ ¤«п дг­ЄжЁЁ $r(x)$ б®Ў«о¤ овбп а ўҐ­бвў 
$$r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots =r^{n}(x_0).$$

„®Є ¦Ґ¬, зв® Ґб«Ё ¤«п Є Є®©-«ЁЎ® дг­ЄжЁЁ $r(x)$, Ё¬Ґо饩 ў в®зЄҐ  $x_0$
Їа®Ё§ў®¤­лҐ ¤® $n-$­®Ј® Ї®ап¤Є  ўлЇ®«­повбп нвЁ гб«®ўЁп,
в® Ё¬ҐҐв ¬Ґб⮠ᮮ⭮襭ЁҐ:
$$r(x)=o((x-x_0)^n),$$
в® Ґбвм
$$\lim_{x\to x_0}\frac{r(x)}{(x-x_0)^n}=0.$$

Ѓг¤Ґ¬ ЁбЇ®«м§®ў вм ¬Ґв®¤ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®© Ё­¤гЄжЁЁ.

Џ® ¬Ґв®¤г ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®© Ё­¤гЄжЁЁ ЇаЁ $n=1$ нв® г⢥তҐ­ЁҐ Ё¬ҐҐв ўЁ¤:
Ґб«Ё дг­ЄжЁп $r(x)$, Ё¬Ґой п ў в®зЄҐ $x_0$ ЇҐаўго Їа®Ё§ў®¤­го,
㤮ў«Ґвў®апҐв гб«®ўЁп¬:$$r(x_0)=r'(x_0)=0,$$
в® $$r(x)=o(x-x_0).$$

„Ґ©б⢨⥫쭮
$$\lim_{x\to x_0}\frac{r(x)}{(x-x_0)}=
\lim_{x\to x_0}\frac{r(x)-r(x_0)}{(x-x_0)}=r'(x_0)=0.$$

ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬ ⥯Ґам, зв® бд®а¬г«Ёа®ў ­­®Ґ г⢥তҐ­ЁҐ бЇа ўҐ¤«Ёў® ЇаЁ $n\ge 1$.
„®Є ¦Ґ¬, зв® ®­® ®бв Ґвбп ўҐа­л¬ Ё ЇаЁ § ¬Ґ­Ґ $n$ ­  $n+1$, в® Ґбвм,
зв® Ґб«Ё ¤«п Є Є®©-«ЁЎ® дг­ЄжЁЁ $r(x)$, Ё¬Ґо饩 ў в®зЄҐ $x_0$ Їа®Ё§ў®¤­лҐ
¤® $n+1$-Ј® Ї®ап¤Є  ўЄ«озЁвҐ«м­®, ўлЇ®«­повбп гб«®ўЁп
$$r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots =r^{n}(x_0)=r^{n+1}(x_0),$$
в®
$$r(x)=o((x-x_0)^{n+1}).$$
€§ нвЁе гб«®ўЁ©  б«Ґ¤гҐв, зв® дг­ЄжЁп $r'(x)$ 㤮ў«Ґвў®апҐв
гб«®ўЁп¬
$$r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots =r^{n}(x_0),$$
  §­ зЁв ¤«п ­ҐҐ Ї® ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­­®¬г 㦥 Ё¬ҐҐ¬
$$r'(x)=o((x-x_0)^n).$$
Џ® д®а¬г«Ґ Є®­Ґз­ле ЇаЁа йҐ­Ё© (‹ Ја ­¦ )
$$r(x)=r(x)-r(x_0)=r'(c)(x-x_0),$$
Ј¤Ґ $c$ ­ е®¤Ёвбп ¬Ґ¦¤г $x$ Ё $x_0$. ’ Є Є Є
$$|c-x_0|<|x-x_0|,$$
в®
$$r'(c)=o((c-x_0)^n)=o((x-x_o)^n)$$ Ё $$r(x)=o((x-x_0)^{n+1}).$$

Џ®«гз Ґ¬ д®а¬г«г, Є®в®а п ­ §лў Ґвбп д®а¬г«®© ’Ґ©«®а  б ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­л¬ з«Ґ­®¬
$r(x)$ ў д®а¬Ґ ЏҐ ­®
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+
\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$
$$+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+r(x),$$
Ј¤Ґ $r(x)=o((x-x_0)^n)$.

ЏаЁ  $x_0=0$ Ї®«г祭­ п д®а¬г«   ЇаЁ­Ё¬ Ґв ўЁ¤:
$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+
\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+r(x).$$
Љ н⮬г з бв­®¬г б«гз о ўбҐЈ¤  ¬®¦­® ᢥбвЁ ¤Ґ«®, ў§пў $x-x_0$
§  ­®ўго ­Ґ§ ўЁбЁ¬го ЇҐаҐ¬Ґ­­го.

ђ бᬮваЁ¬ ў ўЁ¤Ґ ЇаЁ¬Ґа  ­ҐЄ®в®алҐ Є®­ЄаҐв­лҐ а §«®¦Ґ­Ёп
Ї® нв®© д®а¬г«Ґ ¤«п н«Ґ¬Ґ­в а­ле
дг­ЄжЁ© $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $x^m$, $\ln x$.

\ss{ЏаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а  ®б­®ў­ле н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁ©}


—в®Ўл  ­ ©вЁ д®а¬г«г ’Ґ©«®а  ¤«п ­ҐЄ®в®а®© дг­ЄжЁЁ, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬® ­ ©вЁ $n$
Їа®Ё§ў®¤­ле нв®© дг­ЄжЁЁ

{\bf 1.} Ќ ©¤Ґ¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а  ¤«п нЄбЇ®­Ґ­вл $f(x)=e^x$. ЌҐб«®¦­®
Ї®«гзЁвм, зв®
$f^{(k)}(x)=e^x$,   ®вбо¤  б«Ґ¤гҐв, зв® $f(0)=f^{(k)}(0)=1$.

Џ®н⮬㠤«п а §«®¦Ґ­Ёп нЄбЇ®­Ґ­вл Ї®«гз Ґ¬ б«Ґ¤гойЁ© ап¤
 $$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}
 +\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n).$$

{\bf 2.} Ќ ©¤Ґ¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а  ¤«п бЁ­гб  $f(x)=\sin x$.

„«п ЇҐаў®© Їа®Ё§ў®¤­®© $f'(x)=\cos x=\sin(x+\pi/2)$. Ђ­ «®ЈЁз­® ¤«п $k-$в®©
Їа®Ё§ў®¤­®© Ї®«гз Ґ¬
$$f^{(k)}(x)=\sin\left(x+k\frac{\pi}{2}\right).$$
Ћвбо¤  Ї®«гз Ґ¬, $$f(0)=0,$$
¤«п зҐв­®© Їа®Ё§ў®¤­®©
$$f^{(2m)}(0)=\sin(m\pi)=0,$$
  ¤«п ­ҐзҐв­®©
$$f^{(2m-1)}(0)=\sin(m\pi-\frac{\pi}{2})=(-1)^{m-1},$$ Ј¤Ґ $m=1,2,3,\cdots$

„«п а §«®¦Ґ­Ёп $\sin x$ Ї®«гз Ґ¬
 $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+
 (-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2m}).$$



{\bf 3.} Ќ ©¤Ґ¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а  ¤«п Є®бЁ­гб  $f(x)=\cos x$.

„«п ЇҐаў®© Їа®Ё§ў®¤­®© $f'(x)=-\sin x=\cos(x+\pi/2)$. Ђ­ «®ЈЁз­® ¤«п $k-$в®©
Їа®Ё§ў®¤­®© Ї®«гз Ґ¬
$$f^{(k)}(x)=\cos\left(x+k\frac{\pi}{2}\right).$$
Ћвбо¤  Ї®«гз Ґ¬ $$f(0)=1;$$
¤«п зҐв­®© Їа®Ё§ў®¤­®©
$$f^{(2m)}(0)=\cos(m\pi)=(-1)^m;$$
  ¤«п ­ҐзҐв­®©
$$f^{(2m-1)}(0)=\cos(m\pi-\frac{\pi}{2})=0,$$
Ј¤Ґ $m=1,2,3,\cdots$

„«п а §«®¦Ґ­Ёп $\cos x$ Ї®«гз Ґ¬
 $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+
 (-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m+1}).$$

{\bf 4.}  Ќ ©¤Ґ¬ а §«®¦Ґ­ЁҐ ў ап¤ ’Ґ©«®а  б⥯Ґ­­®© дг­ЄжЁо  $f(x)=x^m$, Ј¤Ґ
$m\ne 0$  Ё ­Ґ ­ вга «м­®Ґ зЁб«®.
‚ н⮬ б«гз Ґ ЇаЁ $x\to 0$ «ЁЎ® б ¬  дг­ЄжЁп  (Ґб«Ё $m<0$),
«ЁЎ® ҐҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ (­ зЁ­ п б ­ҐЄ®в®а®Ј® Ї®ап¤Є  ЇаЁ $n>m$ ЎҐбЄ®­Ґз­®
ў®§а бв ов. ‘«Ґ¤®ў вҐ«м­®, ­Ґ«м§п Ўа вм $x_0=0$.
‚®§м¬Ґ¬ $x_0=1$ Ё Ўг¤Ґ¬ а §« Ј вм $x^m$ Ї® б⥯Ґ­п¬ $(x-1)$.
„«п Їа®бв®вл, Ўг¤Ґ¬ а §« Ј вм $f(x)=(1+x)^m$ Ї® б⥯Ґ­п¬ $x$.

„«п $k-$в®© Їа®Ё§ў®¤­®© $f(x)$ Ї®«гз Ґ¬
$$f^{(k)}(x)=m(m-1)\cdots (m-k+1)(1+x)^{m-k}.$$
’®Ј¤  §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ Ё ҐҐ Їа®Ё§ў®¤­ле ў ­г«Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«повбп ўла ¦Ґ­Ёп¬Ё:
$$f(0)=1, f^{(k)}(0)=m(m-1)\cdots (m-k+1).$$

€в Є, Ї®«гз Ґ¬ ¤«п б⥯Ґ­­®© дг­ЄжЁЁ $f(x)=(1+x)^m$ б«Ґ¤го饥 а §«®¦Ґ­ЁҐ
$$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{1\cdot 2}x^2+\cdots+
\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{1\cdot 2\cdots n}x^n+o(x^n).$$

ђ бᬮваЁ¬ з бв­лҐ б«гз Ё нв®© д®а¬г«л ЇаЁ $n=2$ Ё $m=-1,\di{\frac12},
\di{-\frac12}$.
$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+o(x^2);$$
$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2);$$
$$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac12 x+\frac38 x^2+o(x^2).$$


{\bf 5.} Ќ ©¤Ґ¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а  ¤«п ­ вга «м­®Ј® «®Ј аЁд¬  $f(x)=\ln x$.
’ Є Є Є «®Ј аЁд¬ бв६Ёвбп $\to -\infty$ ЇаЁ бв६«Ґ­ЁЁ $x\to 0$,
в® Ўг¤Ґ¬ а §« Ј вм Ї® б⥯Ґ­п¬ $x$ дг­ЄжЁо $f(x)=\ln(1+x)$.

„«п $k-$Їа®Ё§ў®¤­®© дг­ЄжЁЁ $\ln(1+x)$ ­Ґваг¤­® Ї®«гзЁвм б«Ґ¤го饥 ўла ¦Ґ­ЁҐ:
$$f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}.$$
’®Ј¤ 
$$f(0)=1; f^{(k-1)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!.$$
‘ гзҐв®¬ Ї®«г祭­ле ўла ¦Ґ­Ё© ¤«п дг­ЄжЁЁ $f(x)=\ln(1+x)$
Ї®«гз Ґ¬ б«Ґ¤го饥 ўла ¦Ґ­ЁҐ:
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}
-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n).$$


\ss{Ћбв в®з­л© з«Ґ­ д®а¬г«л ’Ґ©«®а  ў д®а¬Ґ ‹ Ја ­¦ }

ЌҐ¤®бв в®Є ап¤  ’Ґ©«®а  б ®бв в®з­л¬ з«Ґ­®¬ ў д®а¬Ґ ЏҐ ­® ў ⮬,
зв® ­ ¬ б«®¦­® ®жҐ­Ёвм Ї®ЈаҐи­®бвм ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­Ёп ¬­®Ј®з«Ґ­  $p(x)$
Є дг­ЄжЁЁ $f(x)$. Ћ­  Ј®ў®аЁв, зв® $r(x)$ Ґбвм $o((x-x_0)^n)$.

‘гйҐбвўгов ®бв в®з­лҐ з«Ґ­л ў Ё­®© д®а¬Ґ.
Ќ ЁЎ®«ҐҐ Ё§ўҐбв­л© Ё§ ­Ёе ®бв в®з­л© з«Ґ­ ў д®а¬Ґ ‹ Ја ­¦ 
$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$$
Ј¤Ґ $c\in(x_0,x)$.

…б«Ё $x_0=0$, в®
$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\tet x)}{(n+1)!}x^{n+1}, \;\rm{Ј¤Ґ}\;\; 0<\tet<1.$$
‘ Ї®¬®ймо нв®© д®а¬г«л ¬®¦­® ®жҐ­Ёў вм Ї®ЈаҐи­®бвм а §«®¦Ґ­Ё©.

…б«Ё $\left|f^{(n+1)}(\tet x)\right|<M$ ЇаЁ $0<\tet<1$,
в® Ї®ЈаҐи­®бвм а §«®¦Ґ­Ёп ®жҐ­Ёў Ґвбп ўла ¦Ґ­ЁҐ¬:
$$\left|r_n(x)\right|\le \frac{Mx^{n+1}}{(n+1)!}.$$

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Ї®ЈаҐи­®бвм а §«®¦Ґ­Ёп нЄбЇ®­Ґ­вл $f(x)=e^x$ Ї®
д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а .
$$e^x\approx 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}.$$
’®Ј¤ 
$$r_n(x)=\frac{e^{\tet x}}{(n+1)!}x^{n+1}.$$
ЏаЁ $x>0$
$$\left|r_n(x)\right|\le \frac{e^x}{(n+1)!}x^{n+1}.$$


Џ®¤®Ў­лҐ д®а¬г«л Ї®§ў®«по⠮業Ёў вм  Ўб®«ов­го Ї®ЈаҐи­®бвм.

Ќ ЇаЁ¬Ґа,
¬л е®вЁ¬ ўлзЁб«Ёвм Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а  нЄбЇ®­Ґ­вг ­  ®в१ЄҐ $[0,1]$
б ЁбЇ®«м§®ў ­ЁҐ¬ 5 з«Ґ­®ў а §«®¦Ґ­Ёп. Њ ЄбЁ¬ «м­ п ®иЁЎЄ  ЇаЁ н⮬ ­Ґ
Ўг¤Ґв ЇаҐўли вм
$$\frac{e^1\cdot 1^{4+1}}{(4+1)!}=\frac{e}{5!}\approx 0.008.$$


{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Ї®ЈаҐи­®бвм а §«®¦Ґ­Ёп бЁ­гб  $f(x)=\sin x$
Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а .
$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-
\cdots+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}\quad m\ge 1.$$
‚ н⮬ б«гз Ґ
$$r_{2m}(x)=\frac{\sin\left[\tet x+(2m+1)\di{\frac{\pi}{2}}\right]}{(2m+1)!}
\;x^{2m+1}=(-1)^m\cos(\tet x)\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}.$$

Ћвбо¤ 
$$|r_{2m}(x)|\le\frac{|x|^{2m+1}}{(2m+1)!}.$$
‚ з бв­®бвЁ, Ґб«Ё ЁбЇ®«м§гҐ¬ а §«®¦Ґ­ЁҐ
$$\sin x\approx x$$
(ў н⮬ б«гз Ґ $m=1$),
в® ¤«п в®Ј®, зв®Ўл Ї®ЈаҐи­®бвм Ўл«  ¬Ґ­миҐ зҐ¬ 0.001, ¬®¦­® Ўа вм
$$\frac{x^3}{6}<0.001\quad\rm{Ё«Ё}\;\;\;x<0.1817,$$
зв® ў Ја ¤гб е б®бв ў«пҐв ЇаЁ¬Ґа­® $10^o$.
ЏаЁ ЁбЇ®«м§®ў ­ЁЁ д®а¬г«л
$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$$
(ў н⮬ б«гз Ґ $m=2$) ¤«п ¤®бвЁ¦Ґ­Ёп в®© ¦Ґ в®з­®бвЁ ¬®¦­® Ўа вм
$$\frac{x^5}{120}<0.001\quad\rm{Ё«Ё}\;\;\;x<0.6544,$$
зв® ў Ја ¤гб е б®бв ў«пҐв 㦥 ЇаЁ¬Ґа­® $37^o$.

…б«Ё ®Ја ­ЁзЁвмбп гЈ« ¬Ё $x<0.4129(\doteq 23^o$,
в® Ї®ЈаҐи­®бвм Ўг¤Ґв $<0.00001$.

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(50,140){\special{em:graph FT.bmp}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

‘ 㢥«ЁзҐ­ЁҐ¬ зЁб«  з«Ґ­®ў а §«®¦Ґ­Ёп ап¤  ’Ґ©«®а , ®­ б ўбҐ
Ў®«м襩 в®з­®бвмо Ё ­  Ў®«м襬 Їа®в殮­ЁЁ ў®бЇа®Ё§ў®¤Ёв Ёб室­го дг­ЄжЁо.
ќв® Ё««обваЁагҐвбп ­  аЁб.~5, ­  Є®в®а®¬ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ д ©« MathCad' ,
Ј¤Ґ ­ ап¤г б Ја дЁЄ®¬ дг­ЄжЁЁ $y=\sin x$
ЇаҐ¤бв ў«Ґ­л Ја дЁЄЁ ¬­®Ј®з«Ґ­®ў
$$y1=x,\;y2=x-\frac{x^3}{6},\;y3=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.$$


\s{ќЄбв६г¬л дг­ЄжЁ©}


\ss{ЌҐ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠}

…б«Ё ў в®зЄҐ $x_0$ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 п дг­ЄжЁп $f(x)$ Ё¬ҐҐв нЄбв६г¬, в® ў
­ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв­®бвЁ нв®© в®зЄЁ ўлЇ®«­повбп гб«®ўЁп вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬ , Ё
б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, Їа®Ё§ў®¤­ п дг­ЄжЁЁ ў нв®© в®зЄҐ а ў­  ­г«о, в.Ґ. $f'(x_0)=0$.
Ќ® дг­ЄжЁп ¬®¦Ґв Ё¬Ґвм нЄбв६㬠Ё ў в®зЄ е, ў Є®в®але ®­  ­Ґ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 .
’ Є, ­ ЇаЁ¬Ґа, дг­ЄжЁп $y=|x|$ Ё¬ҐҐв нЄбв६㬠(¬Ё­Ё¬г¬) ў в®зЄҐ $x=0$, ­® ­Ґ
¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ў ­Ґ©. ”г­ЄжЁп $y=\sqrt[3]{x^2}$ в Є¦Ґ Ё¬ҐҐв ў в®зЄҐ $x=0$
¬Ё­Ё¬г¬,   ҐҐ Їа®Ё§ў®¤­ п ў нв®© в®зЄҐ ЎҐбЄ®­Ґз­ :
$y'=\di{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}}$, $y'(0)=\infty$.

Џ®н⮬㠭Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠 ¬®¦Ґв Ўлвм бд®а¬г«Ёа®ў ­® б«Ґ¤гойЁ¬
®Ўа §®¬.

{\it „«п в®Ј® зв®Ўл дг­ЄжЁп $y=f(x)$ Ё¬Ґ«  нЄбв६㬠ў в®зЄҐ $x_0$, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®,
зв®Ўл ҐҐ Їа®Ё§ў®¤­ п ў нв®© в®зЄҐ а ў­п« бм ­г«о $(f'(x_0)=0)$ Ё«Ё ­Ґ
бгйҐбвў®ў « .}

’®зЄЁ, ў Є®в®але ўлЇ®«­Ґ­® ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠, ­ §лў овбп
{\it ЄаЁвЁзҐбЄЁ¬Ё} (Ё«Ё {\it бв жЁ®­ а­л¬Ё}). Ќ® {\it ЄаЁвЁзҐбЄ п в®зЄ  ­Ґ
®Ўп§ вҐ«м­® пў«пҐвбп в®зЄ®© нЄбв६㬠}.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЄаЁвЁзҐбЄЁҐ в®зЄЁ дг­ЄжЁЁ Ё гЎҐ¤Ёвмбп ў ­ «ЁзЁЁ Ё«Ё
®вбгвбвўЁЁ нЄбв६㬠 ў нвЁе в®зЄ е:
$$1. y=x^2+1; \quad 2.y=x^3-1.$$

1.$y'=2x$. $y'(x)=0$ ЇаЁ $x=0$. ‚ в®зЄҐ $x=0$ дг­ЄжЁп $y=x^2+1$ Ё¬ҐҐв ¬Ё­Ё¬г¬.

2. $y'=3x^2$. $y'(x)=0$ ЇаЁ $x=0$. ‚ в®зЄҐ $x=0$ дг­ЄжЁп $y=x^3-1$ ­Ґ Ё¬ҐҐв
нЄбв६㬠. ”г­ЄжЁп $y=x^3-1$ ў®§а бв Ґв ­  ўбҐ© зЁб«®ў®© ®бЁ.

€в Є, ¤«п ­ е®¦¤Ґ­Ёп нЄбв६㬮ў дг­ЄжЁЁ вॡгҐвбп ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­®Ґ Ёбб«Ґ¤®ў ­ЁҐ
ЄаЁвЁзҐбЄЁе в®зҐЄ.

\ss{ЏҐаў®Ґ ¤®бв в®з­®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠}

{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it …б«Ё ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг $x_0$ Їа®Ё§ў®¤­ п
¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ¬Ґ­пҐв бў®© §­ Є б Ї«об  ­  ¬Ё­гб, в® в®зЄ 
$x_0$ Ґбвм в®зЄ  ¬ ЄбЁ¬г¬  дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$,   Ґб«Ё б ¬Ё­гб  ­  Ї«об, в® --
в®зЄ  ¬Ё­Ё¬г¬ .}

Џгбвм Їа®Ё§ў®¤­ п ¬Ґ­пҐв §­ Є б Ї«об  ­  ¬Ё­гб, в.Ґ. ў ­ҐЄ®в®а®¬ Ё­вҐаў «Ґ
$(a,x_0)$ Їа®Ё§ў®¤­ п Ї®«®¦ЁвҐ«м­  $(f'(x)>0)$,   ў ­ҐЄ®в®а®¬ Ё­вҐаў «Ґ
$(x_0,b)$ -- ®ваЁж вҐ«м­  $(f'(x)<0)$ (б¬. аЁб. 6). ’®Ј¤  ў ᮮ⢥вбвўЁЁ б
¤®бв в®з­л¬ гб«®ўЁҐ¬ ¬®­®в®­­®бвЁ дг­ЄжЁп $f(x)$ ў®§а бв Ґв ­  Ё­вҐаў «Ґ
$(a,x_0)$ Ё гЎлў Ґв ­  Ё­вҐаў «Ґ $(x_0,b)$.

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph F14.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо ў®§а бв о饩 дг­ЄжЁЁ $f(x_0)\ge f(x)$ ЇаЁ ўбҐе $x\in (a,x_0)$,
  Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо гЎлў о饩 дг­ЄжЁЁ $f(x)\le f(x_0)$ ЇаЁ ўбҐе $x\in (x_0,b)$,
в.Ґ. $f(x_0)\ge f(x)$ ЇаЁ ўбҐе $x\in (a,b)$, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, $x_0$ --
в®зЄ  ¬ ЄбЁ¬г¬  дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$.

Ђ­ «®ЈЁз­® а бб¬ ваЁў Ґвбп б«гз ©, Є®Ј¤  Їа®Ё§ў®¤­ п ¬Ґ­пҐв §­ Є б ¬Ё­гб  ­ 
Ї«об.

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®бвм дг­ЄжЁЁ ў б ¬®© в®зЄҐ $x_0$ ­Ґ ЁбЇ®«м§®ў « бм
ЇаЁ ¤®Є § вҐ«мб⢥ ⥮६л. Ќ  б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ ®­  Ё ­Ґ вॡгҐвбп  -- ¤®бв в®з­®,
зв®Ўл дг­ЄжЁп Ўл«  ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $x_0$.

…б«Ё Ё§¬Ґ­Ґ­ЁҐ §­ Є  Їа®Ё§ў®¤­®© ­Ґ Їа®Ёб室Ёв, в® нЄбв६㬠 ­Ґв.

\ss{‚в®а®Ґ ¤®бв в®з­®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠}

{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it …б«Ё ЇҐаў п Їа®Ё§ў®¤­ п $f'(x)$ ¤ў ¦¤л
¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ а ў­  ­г«о ў ­ҐЄ®в®а®© в®зЄҐ
$x_0$,   ўв®а п Їа®Ё§ў®¤­ п ў нв®© в®зЄҐ $f''(x_0)$ Ї®«®¦ЁвҐ«м­ , в® $x_0$
Ґбвм в®зЄ  ¬ ЄбЁ¬г¬  дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$;  Ґб«Ё $f''(x_0)$ ®ваЁж вҐ«м­ ,
в® $x_0$ -- в®зЄ  ¬ ЄбЁ¬г¬ .}

Џгбвм $f'(x_0)=0$,   $f''(x_0)>0$. ќв® §­ зЁв, зв®
$$f''(x)=(f'(x))'>0$$
в Є¦Ґ
Ё ў ­ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_0$, в.Ґ. $f'(x)$ ў®§а бв Ґв ­  ­ҐЄ®в®а®¬
Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$, ᮤҐа¦ йҐ¬ в®зЄг $x_0$.

Ќ® $f'(x_0)=0$, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, ­  Ё­вҐаў «Ґ $(a,x_0)$ $f'(x)<0$,   ­  Ё­вҐаў «Ґ
$(x_0,b)$ $f'(x)>0$, в.Ґ. $f'(x)$ ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг $x_0$ ¬Ґ­пҐв §­ Є
б ¬Ё­гб  ­  Ї«об, в.Ґ. $x_0$ -- в®зЄ  ¬Ё­Ё¬г¬ .

Ђ­ «®ЈЁз­® а бб¬ ваЁў Ґвбп б«гз © $f'(x_0)=0$ Ё $f''(x_0)<0$.

\ss{‘奬  Ёбб«Ґ¤®ў ­Ёп дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ­  нЄбв६г¬}

1. Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤­го $y'=f'(x)$.

2. Ќ ©вЁ ЄаЁвЁзҐбЄЁҐ в®зЄЁ дг­ЄжЁЁ, ў Є®в®але Їа®Ё§ў®¤­ п $f'(x)=0$ Ё«Ё
­Ґ бгйҐбвўгҐв.

3.1. €бб«Ґ¤®ў вм §­ Є Їа®Ё§ў®¤­®© б«Ґў  Ё бЇа ў  ®в Є ¦¤®© ЄаЁвЁзҐбЄ®© в®зЄЁ
Ё ᤥ« вм ўлў®¤ ® ­ «ЁзЁЁ нЄбв६㬮ў дг­ЄжЁЁ.

€«Ё

3.2. Ќ ©вЁ ўв®аго Їа®Ё§ў®¤­го $f''(x)$ Ё ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм ҐҐ §­ Є ў Є ¦¤®©
ЄаЁвЁзҐбЄ®© в®зЄҐ.

4. Ќ ©вЁ нЄбв६г¬л (нЄбв६ «м­лҐ §­ зҐ­Ёп) дг­ЄжЁЁ.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм ­  нЄбв६㬠дг­ЄжЁо $y=x(x-1)^3$.

1. $y'=(x-1)^3+3x(x-1)^2=(x-1)^2(4x-1)$.

2. ЉаЁвЁзҐбЄЁҐ в®зЄЁ $x_1=1$ Ё $x_2=\di{\frac{1}{4}}$.

3.  €§¬Ґ­Ґ­ЁҐ §­ Є  Їа®Ё§ў®¤­®© ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг $x_1$ ­Ґ Їа®Ёб室Ёв,
Ї®н⮬㠢 нв®© в®зЄҐ ­Ґв нЄбв६㬠.

$y''=2(x-1)(4x-1)+4(x-1)^2=2[(x-1)(6x-3)]$.
$y''(x_2)>0$, Ї®н⮬㠢 нв®© в®зЄҐ ­ Ў«о¤ Ґвбп ¬Ё­Ё¬г¬ дг­ЄжЁЁ $y=x(x-1)^3$.

4. $y_{min}=y\left(\di{\frac{1}{4}}\right)=-\di{\frac{27}{256}}$.



\ss{Ќ е®¦¤Ґ­ЁҐ Ј«®Ў «м­ле нЄбв६㬮ў дг­ЄжЁЁ}

Џ®¤ Ј«®Ў «м­л¬Ё нЄбв६㬠¬Ё дг­ЄжЁЁ, § ¤ ­­®© ­  ­ҐЄ®в®а®¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$,
Ї®­Ё¬ Ґвбп ­ ЁЎ®«м襥 Ё ­ Ё¬Ґ­м襥 §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ, ¤®бвЁЈ Ґ¬ле ­  ¤ ­­®¬
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ. Ќ ЁЎ®«м襥 Ё«Ё ­ Ё¬Ґ­м襥 §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ ¬®¦Ґв ¤®бвЁЈ вмбп
Є Є ў в®зЄ е нЄбв६㬠, в Є Ё ў в®зЄ е ­  Є®­ж е § ¤ ­­®Ј® Їа®¬Ґ¦гвЄ .

Џгбвм дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  ­ҐЄ®в®а®¬ ®в१ЄҐ $[a,b]$.

Ќ е®¦¤Ґ­ЁҐ Ј«®Ў «м­ле нЄбв६㬮ў дг­ЄжЁ© Їа®Ёб室Ёв Ї® б«Ґ¤го饩 б奬Ґ.

1. Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤­го $f'(x)$.

2. Ќ ©вЁ ЄаЁвЁзҐбЄЁҐ в®зЄЁ дг­ЄжЁЁ, ў Є®в®але $f'(x_0)=0$ Ё«Ё ­Ґ бгйҐбвўгҐв.

3. Ќ ©вЁ §­ зҐ­Ёп дг­ЄжЁЁ ў ЄаЁвЁзҐбЄЁе в®зЄ е Ё ­  Є®­ж е ®в१Є 
Ё ўлЎа вм Ё§ ­Ёе
­ ЁЎ®«м襥 $f_{MAX}$ Ё ­ Ё¬Ґ­м襥 $f_{MIN}$ §­ зҐ­Ёп.
ќв® Ўг¤гв Ј«®Ў «м­лҐ нЄбв६г¬л дг­ЄжЁЁ
­  § ¬Є­г⮬ ®в१ЄҐ Ё«Ё ­ ЁЎ®«м襥 Ё ­ Ё¬Ґ­м襥 §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ ­  ®в१ЄҐ.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Ј«®Ў «м­лҐ нЄбв६г¬л дг­ЄжЁЁ $y=3x^2-6x$ ­ 
®в१ЄҐ $[0,3]$.

1. $y'=6x-6$ ;$y''=6$.

2. $x_0=1$.

3. $y(1)=-3$ ; $y(0)=0$ ; $y(3)=9$.

‚ в®зЄҐ $x=1$ ­ Ё¬Ґ­м襥 §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ,   ў в®зЄҐ $x=3$ -- ­ ЁЎ®«м襥.



\s{‚лЇгЄ«®бвм дг­ЄжЁЁ}


{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ.} {\it ѓа дЁЄ дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ­ §лў Ґвбп {\bf ўлЇгЄ«л¬} ў
Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$, Ґб«Ё ®­ а бЇ®«®¦Ґ­ ­Ё¦Ґ Є б вҐ«м­®©, Їа®ўҐ¤Ґ­­®© ў «оЎ®©
в®зЄҐ нв®Ј® Ё­вҐаў « } (б¬. аЁб. 7 ).

{\it ѓа дЁЄ дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ­ §лў Ґвбп {\bf ў®Ј­гвл¬} ў
Ё­вҐаў «Ґ $(a,b)$, Ґб«Ё ®­ а бЇ®«®¦Ґ­ ўлиҐ Є б вҐ«м­®©, Їа®ўҐ¤Ґ­­®© ў «оЎ®©
в®зЄҐ нв®Ј® Ё­вҐаў « } (б¬. аЁб. 7Ў).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F15.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

\ss{ЌҐ®Ўе®¤Ё¬лҐ Ё ¤®бв в®з­лҐ гб«®ўЁп ўлЇгЄ«®бвЁ (ў®Ј­гв®бвЁ) дг­ЄжЁЁ}
„«п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп ўлЇгЄ«®бвЁ (ў®Ј­гв®бвЁ) дг­ЄжЁЁ ­  ­ҐЄ®в®а®¬ Ё­вҐаў «Ґ
¬®¦­® ЁбЇ®«м§®ў вм б«Ґ¤гойЁҐ ⥮६л.

{\bf ’Ґ®аҐ¬  1.} {\it Џгбвм дг­ЄжЁп $f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  Ё ­ҐЇаҐалў­ 
­  Ё­вҐаў «Ґ $X$ Ё Ё¬ҐҐв Є®­Ґз­го
Їа®Ё§ў®¤­го $f'(x)$. „«п в®Ј®, зв®Ўл дг­ЄжЁп $f(x)$ Ўл«  ўлЇгЄ«®© (ў®Ј­гв®©)
ў $X$, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬® Ё
¤®бв в®з­®, зв®Ўл ҐҐ Їа®Ё§ў®¤­ п $f'(x)$ гЎлў «  (ў®§а бв « )
­  н⮬ Ё­вҐаў «Ґ}.

{\bf ’Ґ®аҐ¬  2.} {\it Џгбвм дг­ЄжЁп $f(x)$
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  Ё ­ҐЇаҐалў­  ў¬Ґб⥠ᮠ᢮Ґ© Їа®Ё§ў®¤­®© $f'(x)$
­  $X$ Ё Ё¬ҐҐв ў­гваЁ $X$ ­ҐЇаҐалў­го ўв®аго Їа®Ё§ў®¤­го $f''(x)$.
„«п ўлЇгЄ«®бвЁ (ў®Ј­гв®бвЁ) дг­ЄжЁЁ $f(x)$
ў $X$ ­Ґ®Ўе®¤Ё¬® Ё ¤®бв в®з­®, зв®Ўл ў­гваЁ $X$}
$$f''(x)\le 0 ;f''(x)\ge 0.$$

„®Є ¦Ґ¬ ⥮६г 2 ¤«п б«гз п ўлЇгЄ«®бвЁ дг­ЄжЁЁ $f(x)$.

{\it ЌҐ®Ўе®¤Ё¬®бвм}. ‚®§¬Ґ¬ Їа®Ё§ў®«м­го в®зЄг $x_0\in X$.
ђ §«®¦Ё¬ дг­ЄжЁо $f(x)$
®Є®«® в®зЄЁ $x_0$ ў ап¤ ’Ґ©«®а 
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+r_1(x),$$
$$r_1(x)=\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0+\tet (x-x_0))\quad (0<\tet<1).$$
“а ў­Ґ­ЁҐ Є б вҐ«м­®© Є ЄаЁў®© $f(x)$ ў в®зЄҐ, Ё¬Ґо饩  ЎбжЁббг $x_0$:
$$Y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$
’®Ј¤  ЇаҐўл襭ЁҐ ЄаЁў®© $f(x)$ ­ ¤ Є б вҐ«м­®© Є ­Ґ© ў в®зЄҐ $x_0$ а ў­®
$$f(x)-Y(x)=r_1(x).$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ®бв в®Є $r_1(x)$ а ўҐ­ ўҐ«ЁзЁ­Ґ ЇаҐўл襭Ёп ЄаЁў®© $f(x)$ ­ ¤
Є б вҐ«м­®© Є ­Ґ© ў в®зЄҐ $x_0$.  ‚ бЁ«г ­ҐЇаҐалў­®бвЁ $f''(x)$, Ґб«Ё
$f''(x_0)>0$, в® Ё $f''(x_0+\tet (x-x_0))>0$ ¤«п $x$, ЇаЁ­ ¤«Ґ¦ йЁе ¤®бв в®з­®
¬ «®© ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_0$,   Ї®в®¬г, ®зҐўЁ¤­®, Ё $r_1(x)>0$ ¤«п «оЎ®Ј®
®в«Ёз­®Ј® ®в $x_0$ §­ зҐ­Ёп $x$, ЇаЁ­ ¤«Ґ¦ йҐЈ® Є гЄ § ­­®© ®ЄаҐбв­®бвЁ.

‡­ зЁв, Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ $f(x)$ «Ґ¦Ёв ўлиҐ Є б вҐ«м­®© $Y(x)$ Ё ЄаЁў п $f(x)$
ўлЇгЄ«  ў Їа®Ё§ў®«м­®© в®зЄҐ $x_0\in X$.

{\it „®бв в®з­®бвм}. Џгбвм ЄаЁў п $f(x)$ ўлЇгЄ«  ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$.
 ‚®§¬Ґ¬ Їа®Ё§ў®«м­го в®зЄг $x_0\in X$.

Ђ­ «®ЈЁз­® ЇаҐ¤л¤г饬г а §«®¦Ё¬ дг­ЄжЁо $f(x)$
®Є®«® в®зЄЁ $x_0$ ў ап¤ ’Ґ©«®а 
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+r_1(x),$$
$$r_1(x)=\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0+\tet (x-x_0))\quad (0<\tet<1).$$
ЏаҐўл襭ЁҐ ЄаЁў®© $f(x)$ ­ ¤ Є б вҐ«м­®© Є ­Ґ© ў в®зЄҐ, Ё¬Ґо饩  ЎбжЁббг $x_0$,
®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬®© ўла ¦Ґ­ЁҐ¬ $Y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, а ў­®
$$f(x)-Y(x)=r_1(x).$$
’ Є Є Є ЇаҐўл襭ЁҐ Ї®«®¦ЁвҐ«м­® ¤«п ¤®бв в®з­® ¬ «®© ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_0$,
в® Ї®«®¦ЁвҐ«м­  Ё ўв®а п Їа®Ё§ў®¤­ п $f''(x_0+\tet (x-x_0))$.
ЏаЁ бв६«Ґ­ЁЁ $x\to x_0$ Ї®«гз Ґ¬, зв® ¤«п Їа®Ё§ў®«м­®© в®зЄЁ $x_0$
$f''(x_0)>0$.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм ­  ўлЇгЄ«®бвм (ў®Ј­гв®бвм) дг­ЄжЁо $y=x^2-16x+32$.

…Ґ Їа®Ё§ў®¤­ п $y'=2x-16$ ў®§а бв Ґв ­  ўбҐ© зЁб«®ў®© ®бЁ, §­ зЁв Ї®
⥮६Ґ 1 дг­ЄжЁп ў®Ј­гв  ­  $(-\infty,\infty)$.

…Ґ ўв®а п Їа®Ё§ў®¤­ п $y''=2>0$, Ї®н⮬㠯®
⥮६Ґ 2 дг­ЄжЁп ў®Ј­гв  ­  $(-\infty,\infty)$.

\s{’®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ }

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ.} {\it {\bf ’®зЄ®© ЇҐаҐЈЁЎ } Ја дЁЄ  ­ҐЇаҐалў­®© дг­ЄжЁЁ
­ §лў Ґвбп в®зЄ , а §¤Ґ«пой п Ё­вҐаў «л, ў Є®в®але дг­ЄжЁп ўлЇгЄ«  Ё ў®Ј­гв .}

€§ нв®Ј® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп б«Ґ¤гҐв, зв® в®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ  -- нв® в®зЄЁ в®зЄЁ нЄбв६㬠
ЇҐаў®© Їа®Ё§ў®¤­®©. Ћвбо¤  ўл⥪ ов б«Ґ¤гойЁҐ г⢥তҐ­Ёп ¤«п ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ј®
Ё ¤®бв в®з­®Ј® гб«®ўЁ© ЇҐаҐЈЁЎ .

{\bf ’Ґ®аҐ¬  (­Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ ЇҐаҐЈЁЎ ).}
{\it „«п в®Ј® зв®Ўл в®зЄ  $x_0$ пў«п« бм в®зЄ®© ЇҐаҐЈЁЎ  ¤ў ¦¤л
¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®,
зв®Ўл ҐҐ ўв®а п Їа®Ё§ў®¤­ п ў нв®© в®зЄҐ а ў­п« бм ­г«о $(f''(x_0)=0)$ Ё«Ё ­Ґ
бгйҐбвў®ў « .}

{\bf ’Ґ®аҐ¬  (¤®бв в®з­®Ґ гб«®ўЁҐ ЇҐаҐЈЁЎ ).} {\it …б«Ё ўв®а п Їа®Ё§ў®¤­ п
$f''(x)$ ¤ў ¦¤л ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§
­ҐЄ®в®аго в®зЄг $x_0$ ¬Ґ­пҐв §­ Є, в® $x_0$ Ґбвм в®зЄ  ЇҐаҐЈЁЎ .}

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® ў б ¬®© в®зЄҐ ўв®а п Їа®§ў®¤­ п $f''(x_0)$ ¬®¦Ґв ­Ґ бгйҐбвў®ў вм.

{\it ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄ п Ё­вҐаЇаҐв жЁп в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ } Ё««обваЁагҐвбп аЁб. 8.

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F18.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

‚ ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_1$ дг­ЄжЁп ўлЇгЄ«  Ё Ја дЁЄ ҐҐ «Ґ¦Ёв {\it ­Ё¦Ґ}
Є б вҐ«м­®©, Їа®ўҐ¤Ґ­­®© ў нв®© в®зЄҐ.
‚ ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x_2$ дг­ЄжЁп ў®Ј­гв  Ё Ја дЁЄ ҐҐ «Ґ¦Ёв {\it ўлиҐ}
Є б вҐ«м­®©, Їа®ўҐ¤Ґ­­®© ў нв®© в®зЄҐ. ‚ в®зЄҐ ЇҐаҐЈЁЎ  $x_0$ Є б вҐ«м­ п
а §¤Ґ«пҐв Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ ­  ®Ў« бвЁ ўлЇгЄ«®бвЁ Ё ў®Ј­гв®бвЁ.


\ss{€бб«Ґ¤®ў ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ ­  ўлЇгЄ«®бвм Ё ­ «ЁзЁҐ в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ }

1. Ќ ©вЁ ўв®аго Їа®Ё§ў®¤­го $f''(x)$.

2. Ќ ©вЁ в®зЄЁ, ў Є®в®але ўв®а п Їа®Ё§ў®¤­ п $f''(x)=0$ Ё«Ё ­Ґ бгйҐбвўгҐв.

3. €бб«Ґ¤®ў вм §­ Є ўв®а®© Їа®Ё§ў®¤­®© б«Ґў  Ё бЇа ў  ®в ­ ©¤Ґ­­ле в®зҐЄ
Ё ᤥ« вм
ўлў®¤ ®Ў Ё­вҐаў « е ўлЇгЄ«®бвЁ Ё«Ё ў®Ј­гв®бвЁ Ё ­ «ЁзЁЁ в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ .

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм дг­ЄжЁо $y(x)=2x^3-6x^2+15$ ­  ўлЇгЄ«®бвм Ё ­ «ЁзЁҐ
в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ .

1. $y'=6x^2-12x; y''=12x-12$.

2. ‚в®а п Їа®Ё§ў®¤­ п а ў­  ­г«о ЇаЁ $x_0=1$.

3. ‚в®а п Їа®Ё§ў®¤­ п  $y''(x)$ ¬Ґ­пҐв §­ Є ЇаЁ $x_0=1$, §­ зЁв
в®зЄ  $x_0=1$ -- в®зЄ  ЇҐаҐЈЁЎ .

Ќ  Ё­вҐаў «Ґ $(-\infty,1)$ $y''(x)<0$, §­ зЁв дг­ЄжЁп $y(x)$ ўлЇгЄ«  ­ 
н⮬ Ё­вҐаў «Ґ.

Ќ  Ё­вҐаў «Ґ $(1,\infty)$ $y''(x)>0$, §­ зЁв дг­ЄжЁп $y(x)$ ў®Ј­гв  ­ 
н⮬ Ё­вҐаў «Ґ.

\s{ЋЎй п б奬  Ёбб«Ґ¤®ў ­Ёп дг­ЄжЁ© Ё Ї®бв஥­Ёп Ја дЁЄ }

ЏаЁ Ёбб«Ґ¤®ў ­ЁЁ дг­ЄжЁЁ Ё Ї®бв஥­ЁЁ ҐҐ Ја дЁЄ  ४®¬Ґ­¤Ґвбп
ЁбЇ®«м§®ў вм б«Ґ¤гойго б奬г:

{\bf 1.} Ќ ©вЁ ®Ў« бвм ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп дг­ЄжЁЁ.

{\bf 2.} €бб«Ґ¤®ў вм дг­ЄжЁо ­  зҐв­®бвм -- ­ҐзҐв­®бвм.   Ќ Ї®¬­Ё¬, зв®
Ја дЁЄ зҐв­®©
дг­ЄжЁЁ бЁ¬¬ҐваЁзҐ­ ®в­®бЁвҐ«м­® ®бЁ ®а¤Ё­ в,   Ја дЁЄ ­ҐзҐв­®© дг­ЄжЁЁ
бЁ¬ҐваЁзҐ­ ®в­®бЁвҐ«м­® ­ з «  Є®®а¤Ё­ в.

{\bf 3.} Ќ ©вЁ ўҐавЁЄ «м­лҐ  бЁ¬Їв®вл.

{\bf 4.} €бб«Ґ¤®ў вм Ї®ўҐ¤Ґ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ ў ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ,
­ ©вЁ Ј®аЁ§®­в «м­лҐ Ё«Ё ­ Є«®­­лҐ  бЁ¬Їв®вл.

{\bf 5.} Ќ ©вЁ нЄбв६г¬л Ё Ё­вҐаў «л ¬®­®в®­­®бвЁ дг­ЄжЁЁ.

{\bf 6.} Ќ ©вЁ Ё­вҐаў «л ўлЇгЄ«®бвЁ дг­ЄжЁЁ Ё в®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ .

{\bf 7.} Ќ ©вЁ в®зЄЁ  ЇҐаҐбҐзҐ­Ёп б ®бп¬Ё Є®®а¤Ё­ в.

€бб«Ґ¤®ў ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ Їа®ў®¤Ёвбп ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­® б Ї®бв஥­ЁҐ¬ ҐҐ Ја дЁЄ .

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм дг­ЄжЁо $y(x)=f(x)=\di{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$
   Ё Ї®бва®Ёвм ҐҐ Ја дЁЄ.

1. ЋЎ« бвм ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп дг­ЄжЁЁ -- $(-\infty,-1)\bigcup(-1,1)\bigcup(1,\infty)$.

2. €бб«Ґ¤гҐ¬ п дг­ЄжЁп -- зҐв­ п $y(x)=y(-x)$, Ї®н⮬㠥Ґ Ја дЁЄ
бЁ¬¬ҐваЁзҐ­ ®в­®бЁвҐ«м­® ®бЁ ®а¤Ё­ в.

3. ‡­ ¬Ґ­ вҐ«м дг­ЄжЁЁ ®Ўа й Ґвбп ў ­®«м ЇаЁ $x=\pm 1$, Ї®н⮬㠣а дЁЄ дг­ЄжЁЁ
Ё¬ҐҐв ўҐавЁЄ «м­лҐ  бЁ¬Їв®вл $x=-1$ Ё $x=1$.

’®зЄЁ $x=\pm 1$ пў«повбп в®зЄ ¬Ё а §алў  ўв®а®Ј® த , в Є Є Є ЇаҐ¤Ґ«л б«Ґў  Ё
бЇа ў  ў нвЁе в®зЄ е бв६пвбп Є $\infty$.
$$\lim_{x\to 1-0}y(x)=\lim_{x\to -1+0}y(x)=\infty;
\lim_{x\to 1+0}y(x)=\lim_{x\to -1-0}y(x)=-\infty.$$

4. Џ®ўҐ¤Ґ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ ў ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ.
$$\lim_{x\to\pm\infty}y(x)=-1,$$
Ї®н⮬㠣а дЁЄ дг­ЄжЁЁ Ё¬ҐҐв Ј®аЁ§®­в «м­го  бЁ¬Їв®вг $y=-1$.

5. ќЄбв६г¬л Ё Ё­вҐаў «л ¬®­®в®­­®бвЁ.
Ќ е®¤Ё¬ ЇҐаўго Їа®Ё§ў®¤­го
$$y'(x)=\frac{4x}{(1-x^2)}.$$

$y'(x)<0$ ЇаЁ $x\in(-\infty,-1)\bigcup(-1,0)$, Ї®н⮬㠢 нвЁе Ё­вҐаў « е
дг­ЄжЁп $y(x)$ гЎлў Ґв.

$y'(x)>0$ ЇаЁ $x\in(0,1)\bigcup(1,\infty)$, Ї®н⮬㠢 нвЁе Ё­вҐаў « е
дг­ЄжЁп $y(x)$ ў®§а бв Ґв.

$y'(x)=0$ ЇаЁ $x=0$, Ї®н⮬г в®зЄ  $x_0=0$ пў«пҐвбп ЄаЁвЁзҐбЄ®© в®зЄ®©.

Ќ е®¤Ё¬ ўв®аго Їа®Ё§ў®¤­го
$$y''(x)=\frac{4(1+3x^2)}{(1-x^2)^3}.$$

’ Є Є Є $y''(0)>0$, в®  в®зЄ  $x_0=0$ пў«пҐвбп в®зЄ®© ¬Ё­Ё¬г¬  дг­ЄжЁЁ $y(x)$.

6. €­вҐаў «л ўлЇгЄ«®бвЁ Ё в®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ .

  ”г­ЄжЁп $y''(x)>0$ ЇаЁ $x\in(-1,1)$,  §­ зЁв ­  н⮬ Ё­вҐаў «Ґ дг­ЄжЁп
  $y(x)$ ў®Ј­гв .

   ”г­ЄжЁп $y''(x)<0$ ЇаЁ $x\in(-\infty,-1)\bigcup(1,\infty)$,
     §­ зЁв ­  нвЁе Ё­вҐаў « е дг­ЄжЁп  $y(x)$ ўлЇгЄ« .

”г­ЄжЁп $y''(x)$ ­ЁЈ¤Ґ ­Ґ ®Ўа й Ґвбп ў ­®«м, §­ зЁв в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ  ­Ґв.

7. ’®зЄЁ  ЇҐаҐбҐзҐ­Ёп б ®бп¬Ё Є®®а¤Ё­ в.

“а ў­Ґ­ЁҐ $f(0)=y$, Ё¬ҐҐв аҐиҐ­ЁҐ $y=1$, §­ зЁв в®зЄ  ЇҐаҐбҐзҐ­Ёп Ја дЁЄ 
дг­ЄжЁЁ $y(x)$ б ®бмо ®а¤Ё­ в $(0,1)$.

“а ў­Ґ­ЁҐ  $f(x)=0$  ­Ґ Ё¬ҐҐв аҐиҐ­Ёп, §­ зЁв в®зҐЄ ЇҐаҐбҐзҐ­Ёп б ®бмо
 ЎбжЁбб ­Ґв.

‘ гзҐв®¬ Їа®ўҐ¤Ґ­­®Ј® Ёбб«Ґ¤®ў ­Ёп ¬®¦­® бва®Ёвм Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ
   $$y(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}.$$

‘奬 вЁзҐбЄЁ Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ Ё§®Ўа ¦Ґ­ ­  аЁб. 9.

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(123,140){\special{em:graph F19.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® ­ ЁЎ®«ҐҐ Їа®бв® Ї®бв஥­ЁҐ Ја дЁЄ®ў дг­ЄжЁ© ўлЇ®«­пҐвбп
б Ї®¬®ймо ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе Ї ЄҐв®ў MathCad Ё«Ё Њ аle.

\end{document}