ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Часть 1 / PO_3

\documentstyle[12pt,draft,russcorr]{article}


\tolerance4400
%\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
%\newcommand{\sh}{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\newcommand{\th}{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\newcommand{\cth}{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\newcommand{\rot}{\mathop{\rm rot}\nolimits}
%\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
%\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\let\o=\omega
\let\e=\varepsilon
\let\t=\tau
\let\tet=\vartheta
\let\f=\varphi
\let\d=\partial
\let\a=\alpha
\let\b=\beta
\let\z=\zeta
\let\g=\gamma
\let\O=\Omega
\let\de=\delta
\let\De=\Delta
\let\D=\Delta
\let\di=\displaystyle
\let\ss=\section
\let\sss=\subsection




\begin{document}
\begin{center}\large \bf ЊЁ­ЁбвҐабвў® ®Ўа §®ў ­Ёп ђ®ббЁ©бЄ®© ”Ґ¤Ґа жЁЁ

\bigskip

\it ``ЊЂ’€"- ђЋ‘‘€‰‘Љ€‰ ѓЋ‘“„Ђђ‘’‚…ЌЌ›‰
’…•ЌЋ‹Ћѓ€—…‘Љ€‰ “Ќ€‚…ђ‘€’…’ Ё¬.~Љ.~ќ.~–€Ћ‹ЉЋ‚‘ЉЋѓЋ

\vskip30pt
\rm
Љ дҐ¤а  "‚лби п ¬ вҐ¬ вЁЄ "


\vskip 80pt

\bf Ђ.~‚.~†Ґ¬ҐаҐў

\vskip20pt

„€””…ђ…Ќ–€Ђ‹њЌЋ… €‘—€‘‹…Ќ€… ”“ЌЉ–€€ Ћ„ЌЋ‰ Џ…ђ…Њ…ЌЌЋ‰
\bigskip

— бвм 1

\bigskip
\rm ЊҐв®¤ЁзҐбЄ®Ґ Ї®б®ЎЁҐ ¤«п бв㤥­в®ў 1-Ј® Єгаб  2-Ј®~д Єг«мвҐв  ЊЂ’€

\vskip 150pt
Њ®бЄў   2003 Ј.
\end{center}

\thispagestyle{empty}
\newpage

\tableofcontents

\newpage
\ss{Џа®Ё§ў®¤­ п дг­ЄжЁЁ}

Џгбвм дг­ЄжЁп $y=f(x)$    ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $•$.
‚®§м¬Ґ¬ $x\in X$. „ ¤Ё¬ §­ зҐ­Ёо $x$ ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D x\ne 0$,
в®Ј¤  дг­ЄжЁп $y(x)$ Ї®«гзЁв
ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D y=f(x+\D x)-f(x)$.

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ}. {\it {\bf Џа®Ё§ў®¤­®© дг­ЄжЁЁ} $y=f(x)$
   ­ §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ« ®в­®иҐ­Ёп ЇаЁа йҐ­Ёп дг­ЄжЁЁ $\D y$ Є ЇаЁа йҐ­Ёо
­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $\D x$ ЇаЁ бв६«Ґ­ЁЁ Ї®б«Ґ¤­ҐЈ® Є ­г«о (Ґб«Ё нв®в
ЇаҐ¤Ґ« бгйҐбвўгҐв)}:
$$y'=\lim_{\D x\to 0}\frac{\D y}{\D x}=
\lim_{\D x\to 0}\frac{f(x+\D x)-f(x)}{\D x}\equiv f'(x)\equiv \frac{dy}{dx}.$$


 Ќ е®¦¤Ґ­ЁҐ Їа®Ё§ў®¤­®© дг­ЄжЁЁ ­ §лў Ґвбп {\it ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬} нв®©
дг­ЄжЁЁ.

{\it …б«Ё дг­ЄжЁп ў в®зЄҐ $x$ Ё¬ҐҐв Є®­Ґз­го Їа®Ё§ў®¤­го,
в® дг­ЄжЁп ­ §лў Ґвбп {\bf ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®©} ў нв®©
в®зЄҐ}.

”г­ЄжЁп, ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 п ў® ўбҐе в®зЄ е Їа®¬Ґ¦гвЄ  $•$
 ­ §лў Ґвбп {\it ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© ­  н⮬
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ}.



\sss{‘奬  ўлзЁб«Ґ­Ёп Їа®Ё§ў®¤­®©}
Џа®Ё§ў®¤­ п дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ¬®¦Ґв Ўлвм ­ ©¤Ґ­  Ї® б«Ґ¤го饩 {\bf б奬Ґ:}

{\bf 1.} „ ¤Ё¬  аЈг¬Ґ­вг $x$ ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D x\ne 0$
Ё ­ е®¤Ё¬ ЇаЁа йҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $\D y=f(x+\D x)-f(x)$.

{\bf 2.} ‘®бв ў«пҐ¬ ®в­®иҐ­ЁҐ $\di{\frac{\D y}{\D x}}$.

{\bf 3.} Ќ е®¤Ё¬ ЇаҐ¤Ґ«
$$\lim_{\D x\to 0} \frac{f(x+\D x)-f(x)}{\D x}=y'$$
(Ґб«Ё ®­ бгйҐбвўгҐв).

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤­го дг­ЄжЁЁ $y(x)=x^2$.
$$\D y=(x+\D x)^2 -x^2=2x\D x+(\D x)^2.$$
$$\lim_{\D x\to 0}\frac{(2x+\D x)\D x}{\D x}=2x.$$




\sss{ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤­®©}

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ Є б вҐ«м­®©.}
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® Є б вҐ«м­го Є ЄаЁў®© $y=f(x)$
­Ґ«м§п ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм Є Є Їап¬го,   Ё¬Ґойго
 б ЄаЁў®© ®¤­г ®Ўйго в®зЄг, в Є Є Є ў н⮬ б«гз Ґ «оЎго Їап¬го,
 ЇҐаҐбҐЄ ойго ЄаЁўго $y=f(x)$, ¬®¦­® Ўл«® Ўл ­ §ў вм Є б вҐ«м­®©.

„ ¤Ё¬  аЈг¬Ґ­вг $x_0$  ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D x$ Ё а бᬮваЁ¬ ¤ўҐ в®зЄЁ ­ 
ЄаЁў®© $M_0=\{x_0;f(x_0)\}$ Ё  $M_1=\{x_0+\D x;f(x_0+\D x)\}$ (б¬. аЁб. 1).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F6.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

Џа®ўҐ¤Ґ¬ ᥪгйго $M_1M_0$.
Џ®¤ Є б вҐ«м­®© Є ЄаЁў®© $y=f(x)$ ў в®зЄҐ $M_0$  Ї®­Ё¬ Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«м­®Ґ
Ї®«®¦Ґ­ЁҐ ᥪг饩 $M_0M_1$, ЇаЁ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­ЁЁ
в®зЄЁ $M_1$ Є в®зЄҐ $M_0$, в® Ґбвм ЇаЁ  $\D x\to 0$.


“а ў­Ґ­ЁҐ Є б вҐ«м­®© Є ЄаЁў®© $y=f(x)$ ў в®зЄҐ $x_0$:
$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

Ћвбо¤  б«Ґ¤гҐв {\it {\bf ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤­®©: }
Їа®Ё§ў®¤­ п $f'(x_0)$   Ґбвм {\bf гЈ«®ў®© Є®нддЁжЁҐ­в} (в ­ЈҐ­б гЈ«  ­ Є«®­ )
{\bf Є б вҐ«м­®©,} Їа®ўҐ¤Ґ­­®© Є ЄаЁў®© $y=f(x)$    ў в®зЄҐ $x_0)$},
в.Ґ. $k=f'(x_0)$.




\sss{ЊҐе ­ЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤­®©}
Џгбвм ў¤®«м ­ҐЄ®в®а®© Їаאַ© ¤ўЁ¦Ґвбп в®зЄ  Ї® § Є®­г $s=s(t)$, Ј¤Ґ $s$ --
Їа®©¤Ґ­­л© Їгвм, $t$ -- ўаҐ¬п, Ё ­Ґ®Ўе®¤Ё¬® ­ ©вЁ бЄ®а®бвм в®зЄЁ ў ¬®¬Ґ­в
ўаҐ¬Ґ­Ё $t_0$.

Љ ¬®¬Ґ­в㠢६Ґ­Ё $t_0$ Їа®©¤Ґ­­л© Їгвм а ўҐ­ $s_0=s(t_0)$,   Є ¬®¬Ґ­вг
ўаҐ¬Ґ­Ё $t_0+\De t$ -- Їгвм $s_0+\De s=s(t_0+\De t)$ (б¬. аЁб. 2).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,40)
\put(90,40){\special{em:graph F7.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

’®Ј¤  §  Їа®¬Ґ¦гв®Є $\De t$ б।­пп бЄ®а®бвм Ўг¤Ґв
$$v_{mean}=\frac{s(t+\D t)-s(t)}{\D t}.$$
ЋзҐўЁ¤­®, з⮠祬 ¬Ґ­миҐ $\De t$, ⥬ «гзиҐ б।­пп бЄ®а®бвм $v_{middle}$
е а ЄвҐаЁ§гҐв ¤ўЁ¦Ґ­ЁҐ в®зЄЁ ў ¬®¬Ґ­в ўаҐ¬Ґ­Ё $t_0$. Џ®н⮬㠯®¤ {\it
бЄ®а®бвмо в®зЄЁ ў ¬®¬Ґ­в ўаҐ¬Ґ­Ё $t_0$} б«Ґ¤гҐв Ї®­Ё¬ вм ЇаҐ¤Ґ« б।­Ґ©
бЄ®а®бвЁ §  Їа®¬Ґ¦гв®Є ўаҐ¬Ґ­Ё ®в $t_0$ ¤® $t_0+\De t$, Є®Ј¤  $\De t\to 0$
$$v=\lim_{\De t\to 0}v_{mean}=\lim_{\De t\to 0}\frac{\D s}{\D t}.$$

Ћвбо¤  б«Ґ¤гҐв {\it {\bf ¬Ґе ­ЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤­®©:} Їа®Ё§ў®¤­ п ЇгвЁ Ї®
ўаҐ¬Ґ­Ё $s'(t_0)$ Ґбвм {\bf бЄ®а®бвм} в®зЄЁ ў ¬®¬Ґ­в ўаҐ¬Ґ­Ё $t_0$:
$v(t_0)=s'(t_0)$.}




\ss{„ЁддҐаҐ­жЁа㥬®бвм дг­ЄжЁЁ, ҐҐ бўп§м б ­ҐЇаҐалў­®бвмо}

{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it …б«Ё дг­ЄжЁп $y=f(x)$  ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ў в®зЄҐ $x_0$,
в® ®­  ў нв®© в®зЄҐ ­ҐЇаҐалў­ .}

Џ® гб«®ўЁо дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ў в®зЄҐ $x_0$, в.Ґ. бгйҐбвўгҐв
Є®­Ґз­л© ЇаҐ¤Ґ«
$$\lim_{\D x\to 0}\frac{\D y}{\D x}=f'(x_0),$$
Ј¤Ґ $f'(x_0)$ -- Ї®бв®п­­ п ўҐ«ЁзЁ­ , ­Ґ § ўЁбпй п ®в $\D x$.

’®Ј¤  ­  ®б­®ў ­ЁЁ вҐ®аҐ¬л ® бўп§Ё ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле б ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё дг­ЄжЁ© ¬®¦­®
§ ЇЁб вм
$$\frac{\D y}{\D x}=f'(x_0)+\a(\D x),$$
Ј¤Ґ $\a(\D x)$ -- ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ўҐ«ЁзЁ­  ЇаЁ $\D x \to 0$ Ё«Ё
$$\D y=f'(x_0)\D x +\a(\D x)\D x.$$

ЏаЁ $\D x\to 0$ ­  ®б­®ў ­ЁЁ бў®©бвў ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ­ е®¤Ё¬, зв® $\D y\to 0$
Ё, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо 2 ­ҐЇаҐалў­®© дг­ЄжЁЁ дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ў
в®зЄҐ $x_0$ пў«пҐвбп ­ҐЇаҐалў­®©.

ЋЎа в­ п ⥮६ , ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, ­ҐўҐа­ , в.Ґ. Ґб«Ё дг­ЄжЁ© ­ҐЇаҐалў­  ў
¤ ­­®© в®зЄҐ, в® ®­  ­Ґ ®Ўп§ вҐ«м­® ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ў нв®© в®зЄҐ.
’ Є, ­ ЇаЁ¬Ґа, дг­ЄжЁп $y=|x|$  ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $x=0$,
­® ­Ґ Ё¬ҐҐв Їа®Ё§ў®¤­®© ў нв®© в®зЄҐ.

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, {\it ­ҐЇаҐалў­®бвм дг­ЄжЁЁ -- ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ, ­®
­Ґ ¤®бв в®з­®Ґ гб«®ўЁҐ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®бвЁ дг­ЄжЁЁ}.
Џа®Ё§ў®¤­ п ­ҐЇаҐалў­®© дг­ЄжЁЁ ­Ґ ®Ўп§ вҐ«м­® ­ҐЇаҐалў­ .

…б«Ё дг­ЄжЁп Ё¬ҐҐв ­ҐЇаҐалў­го Їа®Ё§ў®¤­го ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $•$,
в®Ј¤  ®­  ­ §лў Ґвбп {\it Ј« ¤Є®©} ­  н⮬
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ. …б«Ё Їа®Ё§ў®¤­ п дг­ЄжЁЁ Ё¬ҐҐв Є®­Ґз­®Ґ зЁб«® в®зҐЄ
а §алў  (ЇҐаў®Ј® த ) в® в Є п дг­ЄжЁп
­ §лў Ґвбп {\it Єгб®з­® Ј« ¤Є®©.}

 Љ« ббЁзҐбЄЁ¬ ЇаЁ¬Ґа®¬ Єгб®з­® Ј« ¤Є®© дг­ЄжЁҐ© пў«пҐвбп дг­ЄжЁп, § ¤ ­­ п
 в Ў«ЁжҐ© §­ зҐ­Ё©, ¬Ґ¦¤г Є®в®ал¬Ё Їа®ўҐ¤Ґ­­л Їап¬лҐ
  (ЇаЁ¬Ґа, з бв® ўбваҐз Ґ¬л© ў вҐе­ЁЄҐ).







\ss{‘ў®©бвў  Їа®Ё§ў®¤­®©. Џа ўЁ«  ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп}

{\bf 1.}  {\it Џа®Ё§ў®¤­ п Ї®бв®п­­®© а ў­  ­г«о}
$$C'=0.$$
{\bf 2.}   {\it Џа®Ё§ў®¤­ п  аЈг¬Ґ­в  а ў­  Ґ¤Ё­ЁжҐ}
$$x'=1.$$
{\bf 3.}  {\it Џа®Ё§ў®¤­ п б㬬л (а §­®бвЁ) ¤ўге дг­ЄжЁ© а ў­  б㬬Ґ (а §­®бвЁ)
Їа®Ё§ў®¤­ле нвЁе дг­ЄжЁ©}
$$(U\pm V)'=U'\pm V'.$$
{\bf 4.}  {\it Џа®Ё§ў®¤­ п Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп ¤ўге ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬ле дг­ЄжЁ©
®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Ї® д®а¬г«Ґ}
$$(UV)'=UV'+VU'.$$
{\it Ћвбо¤  ў з бв­®бвЁ б«Ґ¤гҐв, зв® $(CU)'=CU'$, в® Ґбвм Ї®бв®п­­л© ¬­®¦ЁвҐ«м
¬®¦­® ўл­®бЁвм §  §­ Є Їа®Ё§ў®¤­®©}.

{\bf 5.} {\it Џа®Ё§ў®¤­ п ®в з бв­®Ј® ¤ўге дг­ЄжЁ© ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Ї® д®а¬г«Ґ}
$$\left(\frac{U}{V}\right)=\frac{U'V-V'U}{V^2}.$$

Џ®«гзЁ¬, ­ ЇаЁ¬Ґа, д®а¬г«г ¤«п Їа®Ё§ў®¤­®© Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп ¤ўге дг­ЄжЁ©.
Џгбвм Ё¬Ґовбп ¤ўҐ дг­ЄжЁЁ $U(x)$ Ё $V(x)$. „ ¤Ё¬ ­Ґ§ ўЁбЁ¬®¬г  аЈг¬Ґ­вг
ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D x$. ’®Ј¤  дг­ЄжЁЁ $U(x)$ Ё $V(x)$ Ї®«гз в ᮮ⢥вб⢥­­®
ЇаЁа йҐ­Ёп $\D U$ Ё $\D V$,   Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ дг­ЄжЁ© $U(x)V(x)$ ЇаЁа йҐ­ЁҐ
$U(x+\D x)V(x+\D x)-U(x)V(x)$.

Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо Їа®Ё§ў®¤­®©
$$(UV)'=\lim_{\D x\to 0}\frac{U(x+\D x)V(x+\D x)-U(x)V(x)}{\D x}.$$

”г­ЄжЁЁ $U(x+\D x)$ Ё $V(x+\D x)$
¬®¦­® ЇаҐ¤бв ўЁвм ў ўЁ¤Ґ
$$U(x+\D x)=U(x)+\D U; V(x+\D x)=V(x)+\D Vо$$

’®Ј¤  ¤«п Їа®Ё§ў®¤­®© Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп ¤ўге дг­ЄжЁ© Ї®«гз Ґ¬
$$(UV)'=\lim_{\D x\to 0}\frac{U(x)V(x)+\D UV(x) +\D VU(x)-U(x)V(x)}{\D x}=$$
$$=\lim_{\D x\to 0}\frac{\D UV(x) +\D VU(x)}{\D x}=U'V+V'U.$$



\sss{Џа®Ё§ў®¤­ п б«®¦­®© дг­ЄжЁЁ}
Џгбвм ЇҐаҐ¬Ґ­­ п $y$ Ґбвм дг­ЄжЁп ®в ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $u$  $y=f(u)$,   ЇҐаҐ¬Ґ­­ п
$u$ ў бў®о ®зҐаҐ¤м Ґбвм дг­ЄжЁп ®в ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $x$ $u=\f(x)$, в.Ґ.
§ ¤ ­  {\bf б«®¦­ п} дг­ЄжЁп $y=[\f(x)]$.

{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it …б«Ё $y=f(u)$ Ё $u=\f(x)$ -- ¤ЁддҐаҐ­жЁагҐ¬лҐ дг­ЄжЁЁ
®в бў®Ёе  аЈг¬Ґ­в®ў, в® Їа®Ё§ў®¤­ п б«®¦­®© дг­ЄжЁЁ
бгйҐбвўгҐв Ё а ў­  Їа®Ё§ў®¤­®©
¤ ­­®© дг­ЄжЁЁ Ї® Їа®¬Ґ¦гв®з­®¬г  аЈг¬Ґ­вг Ё г¬­®¦Ґ­­®© ­  Їа®Ё§ў®¤­го
б ¬®Ј® Їа®¬Ґ¦гв®з­®Ј®  аЈг¬Ґ­в  Ї® ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $x$,} в.Ґ.
$$y'=f'(u)u'.$$

„ ¤Ё¬ ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $x$ ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D x\ne 0$. ’®Ј¤  дг­ЄжЁЁ
$u=\f(x)$ Ё $y=f(u)$ ᮮ⢥вб⢥­­® Ї®«гз в ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D u$ Ё $\D y$.

ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® $\D u\ne 0$. ’®Ј¤  ў бЁ«г ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®бвЁ дг­ЄжЁЁ $y=f(u)$
¬®¦­® § ЇЁб вм
$$\lim_{\D u\to 0}\frac{\D y}{\D u}=f'(u).$$

Ќ  ®б­®ў ­ЁЁ вҐ®аҐ¬л ® бўп§Ё ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле б ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё дг­ЄжЁ©
$$\frac{\D y}{\D u}=f'(u)+\a(\D u),$$
Ј¤Ґ $\a(\D u)$ -- ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ЇаЁ $\D u\to 0$, ®вЄг¤ 
$$\D u=f'(u)\D u+\a(\D u)\D u.$$
ђ §¤Ґ«Ёў ®ЎҐ з бвЁ Ї®«г祭­®Ј® а ўҐ­бвў  ­  $\D x\ne 0$, Ї®«гзЁ¬
$$\frac{\D y}{\D x}=f'(u)\frac{\D u}{\D x}+\a(\D u)\frac{\D u}{\D x}.$$
ЏаЁ бв६«Ґ­ЁЁ $\D x\to 0$ $\D u\to 0$ Ё $\a(\D u)\to 0$.

ЏҐаҐе®¤п Є ЇаҐ¤Ґ«г ЇаЁ $\D x\to 0$, Ї®«гзЁ¬
$$y'=f'(u)\lim_{\D x\to 0}\frac{\D u}{\D x}=f'(u)\cdot u'.$$

Џа ўЁ«® ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп б«®¦­®© ¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ­® ў ¤агЈЁе д®а¬ е:
$$y'_x=y'_u\cdot u'_x$$
Ё«Ё
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤­го дг­ЄжЁЁ $y=(\sqrt{x}+5)^3$.

”г­ЄжЁо ¬®¦­® § ЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ $y=u^3$, Ј¤Ґ $u=\sqrt{x}+5$. Џ®«гз Ґ¬
$$y'=3u^2\cdot u'=3(\sqrt{x}+5)^2(\sqrt{x}+5)'=
\frac{3(\sqrt{x}+5)^2}{2\sqrt{x}}.$$



\sss{Џа®Ё§ў®¤­ п ®Ўа в­®© дг­ЄжЁЁ}
{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it „«п ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ б Їа®Ё§ў®¤­®©, ­Ґ а ў­®© ­г«о,
Їа®Ё§ў®¤­ п ®Ўа в­®© дг­ЄжЁЁ а ў­  ®Ўа в­®© ўҐ«ЁзЁ­Ґ Їа®Ё§ў®¤­®© ¤ ­­®©
дг­ЄжЁЁ,} в.Ґ.
$$x'_y=\frac{1}{y'_x}.$$

Џ® гб«®ўЁо дг­ЄжЁп $y=f(x)$ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  Ё $y'(x)=f'(x)\ne 0$.

Џгбвм $\D y\ne 0$ -- ЇаЁа йҐ­ЁҐ ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $y$, $\D x$ --
ᮮ⢥вбвўго饥 ЇаЁа йҐ­ЁҐ ®Ўа в­®© дг­ЄжЁЁ $x=\f(y)$. ’®Ј¤  бЇа ўҐ¤«Ёў®
а ўҐ­бвў®
$$\frac{\D x}{\D y}=\frac{1}{\D y/\D x}.$$
ЏҐаҐе®¤п Є ЇаҐ¤Ґ«г ЇаЁ $\D y \to 0$ Ё гзЁвлў п, зв® ў бЁ«г ­ҐЇаҐалў­®бвЁ
®Ўа в­®© дг­ЄжЁЁ $\D x \to 0$, Ї®«гзЁ¬
$$\lim_{\D y\to 0}\frac{\D x}{\D y}=\frac{1}{\lim_{\D x\to 0}\D y/\D x},$$
в.Ґ.
$$x'_y=\frac{1}{y'_x}.$$

Џ®«г祭­ п д®а¬г«  Ё¬ҐҐв Їа®бв®© ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« (б¬. аЁб. 3). …б«Ё
$y'_x$ ўла ¦ Ґв в ­ЈҐ­б гЈ«  ­ Є«®­  Є б вҐ«м­®© Є ЄаЁў®© $y=f(x)$ Є ®бЁ
$Ox$, в® $x'_y$ -- {\it в ­ЈҐ­б гЈ«  $\b$ ­ Є«®­  в®© ¦Ґ Є б вҐ«м­®© Є ®бЁ
$Oy$,} ЇаЁзҐ¬ $\a+\b=\di{\frac{\pi}{2}}$ (Ґб«Ё $\a$ Ё $\b$ -- ®бвалҐ гЈ«л)
(б¬. аЁб. 3) Ё«Ё  $\a+\b=\di{\frac{3\pi}{2}}$ (Ґб«Ё $\a$ Ё $\b$ -- вгЇлҐ гЈ«л).
„«п в ЄЁе гЈ«®ў $\tg\b=\ctg\a$ Ё«Ё
$$\tg\b=\frac{1}{\tg\a}.$$
ќв®¬г а ўҐ­бвўг Ё а ў­®бЁ«м­® гб«®ўЁҐ
$$x'_y=\frac{1}{y'_x}.$$

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(120,140){\special{em:graph F8.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}


\ss{Џа®Ё§ў®¤­лҐ ®б­®ў­ле н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁ©}
\sss{Џа®Ё§ў®¤­ п «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ}
{\bf  )}  $y=\ln x$.

1. $$\D y=\ln(x+\D x)-\ln x=\ln\left(1+\frac{\D x}{x}\right).$$
2. $$\frac{\D y}{\D x}=\frac{1}{\D x}\ln\left(1+\frac{\D x}{x}\right).$$
3. $$y'=\lim_{\D x\to 0}\frac{1}{\D x}\ln\left(1+\frac{\D x}{x}\right).$$
Џгбвм $\di{\frac{\D x}{x}}=t$, в®Ј¤  $\D x=xt$ Ё
$$y'=\lim_{\D x\to 0}\frac{1}{xt}\ln(1+t)=\frac{1}{x}\lim_{t\to 0}\ln(1+t)^
{\di{\frac{1}{t}}}=\frac{1}{x}\ln e=\frac{1}{x}.$$

{\bf Ў)} $y=\log_ax$.
$$y'=\left(\log_ax\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=
\frac{1}{\ln a}(\ln x)'=\frac{1}{x\ln a}.$$



\sss{Џа®Ё§ў®¤­ п Ї®Є § вҐ«м­®© дг­ЄжЁЁ}
{\bf  )} $y=e^x$. Џа®«®Ј аЁд¬Ёа㥬 ®ЎҐ з бвЁ а ўҐ­бвў  Ї® $e$, Ї®«гзЁ¬
$\ln y=x$. „ЁддҐаҐ­жЁагп ®ЎҐ з бвЁ Ї® ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $x$ Ё гзЁвлў п, зв® $\ln y$ --
б«®¦­ п дг­ЄжЁп, Ї®«гзЁ¬
$$(\ln y)'=x'\;\;\rm{Ё«Ё}\;\; \frac{y'}{y}=1\;\;\rm{Ё«Ё}\;\;y'=y.$$
€в Є,
$$(e^x)'=e^x.$$
{\bf Ў)} $y=a^x$.
$$y'=(a^x)'=\left[(e^{\ln a})^x\right]'=(e^{x\ln a})'=
e^{x\ln a}(x\ln a)'=a^x\cdot\ln a.$$
€в Є,
$$(a^x)'=a^x\ln a.$$



\sss{Џа®Ё§ў®¤­ п б⥯Ґ­­®© дг­ЄжЁЁ}
$y=x^n$. Џа®«®Ј аЁд¬Ёа㥬.
$$\ln y=n\ln x.$$
Џа®¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬.
$$\frac{1}{y}y'=n\cdot\frac{1}{x}.$$
ЋвЄг¤ 
$$y'=ny\frac{1}{x}=nx^n\cdot\frac{1}{x}=nx^{n-1}.$$
€в Є,
$$(x^n)'=nx^{n-1}.$$


\sss{‹®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ п Їа®Ё§ў®¤­ п}
Џа®Ё§ў®¤­ п «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ
$$(\ln y)'=\frac{y'}{y}$$
­ §лў Ґвбп {\it «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®© Їа®Ё§ў®¤­®©}. …Ґ 㤮Ў­® ЁбЇ®«м§®ў вм ¤«п
­ е®¦¤Ґ­Ёп Їа®Ё§ў®¤­ле дг­ЄжЁ©, ўла ¦Ґ­Ёп Є®в®але бгйҐб⢥­­® гЇа®й овбп ЇаЁ
«®Ј аЁд¬Ёа®ў ­ЁЁ.

ђ ббᬮваЁ¬ Їа®Ё§ў®¤­го б⥯Ґ­­®-Ї®Є § вҐ«м­®© дг­ЄжЁЁ $y=f(x)^{\f(x)}$.
$$(\ln y)'=\f'(x)\ln f(x)+\f(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)}.$$
Ћвбо¤ 
$$y'=f(x)^{\f(x)}\f'(x)\ln f(x)+\f(x)f'(x)f(x)^{\f(x)-1}.$$
в.Ґ. ¤«п в®Ј® зв®Ўл ­ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤­го б⥯Ґ­­®-Ї®Є § вҐ«м­®© дг­ЄжЁЁ,
¤®бв в®з­® ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў вм ҐҐ ў­ з «Ґ Є Є б⥯Ґ­­го,   § вҐ¬ Є Є
Ї®Є § вҐ«м­го, Ё Ї®«г祭­лҐ १г«мв вл б«®¦Ёвм.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤­го дг­ЄжЁЁ $y=x^x$.

„ЁддҐаҐ­жЁа㥬 дг­ЄжЁо Є Є б⥯Ґ­­го,   § вҐ¬ Є Є
Ї®Є § вҐ«м­го Ё Ї®«г祭­лҐ १г«мв вл бЄ« ¤лў Ґ¬:
$$y'=x\cdot x^{x-1}+x^x\cdot\ln x=x^x(1+\ln x).$$




\sss{Џа®Ё§ў®¤­лҐ ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄЁе дг­ЄжЁ©}

{\bf  )} Ќ ©вЁ Їа®§ў®¤­го дг­ЄжЁЁ $y(x)=\sin x$.

€бЇ®«м§гп д®а¬г«г
$$\sin A \pm \sin B=2\sin\frac{(A\pm B)}{2}\cos\frac{(A\mp B)}{2},$$
­ е®¤Ё¬ $\D y$
$$\D y =\sin(x+\D x)-\sin(x)
=2\sin\frac{\D x}{2}\cos\left(x+\frac{\D x}{2}\right).$$
$$y'=\lim_{\D x\to 0}\frac{\D y}{\D x}=
\lim_{\D x\to 0}\frac{\sin\di{\frac{\D x}{2}}} {\di{\frac{\D x}{2}}}
\cdot \lim_{\D x\to 0}\cos\left(x+\frac{\D x}{2}\right)=\cos x.$$
€в Є,
$$(\sin x)'=\cos x.$$

{\bf Ў)} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤­го дг­ЄжЁЁ $y(x)=\arcsin x$.
$$x=\sin y;\;\;\;\frac{dx}{dy}=\cos y=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-x^2}.$$
€в Є,
$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$



\ss{’ Ў«Ёж  Їа®Ё§ў®¤­ле}

{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{||c|c||c|c||}
\hline
$y(x)$ & $y'(x)$ & $y(x)$ & $y'(x)$\\
\hline
$y=x^m$ & $y'=mx^{m-1}$ & $y=\sqrt{x}$ &
$y'=\di{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$\\[7pt]
\hline
$y=e^x$ & $y'=e^x$ &$y=a^x$ & $y'=a^x\ln a$\\
\hline
$y=\ln x$ & $y'=\di{\frac{1}{x}}$ & $y=\log_ax$ & $y'=\di{\frac{1}{x\ln a}}
$\\[7pt]
\hline
$y=\sin x$ & $y'=\cos x$ & $y=\cos x$ & $y'=-\sin x$\\
\hline
$y=\tg x$ & $y'=\di{\frac{1}{\cos^2 x}}$ & $y=\ctg x$ & $y'=-\di{\frac{1}{
\sin^2 x}}$\\[7pt]
\hline
$y=\arcsin x$ & $y'=\di{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ & $y=\arccos x$ & $y'=-
\di{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ \\[7pt]
\hline
$y=\arctg x$ & $y'=\di{\frac{1}{1+x^2}}$ & $y=\arcctg x$ & $y'=-\di{\frac
{1}{1+x^2}}$\\[7pt]
\hline
$y=\sh x$ & $y'=\ch x$ & $y=\ch x$ & $y'=\sh x$\\
\hline
$y=\th x$ & $y'=\di{\frac{1}{\ch^2 x}}$ & $y=\cth x$ & $y'=-\di{\frac{1}
{\sh^2 x}}$\\[7pt]
\hline
\end{tabular}
}




\ss{„ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ, § ¤ ­­®© Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ}

‚ а拉 б«гз Ґў дг­ЄжЁп ¬®¦Ґв § ¤ ў вмбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ. $x=x(t)$; $y=y(t)$,
Ј¤Ґ $t$ -- Ї а ¬Ґва. „®ЇгбвЁ¬, зв® ЇҐаўлҐ  Їа®Ё§ў®¤­лҐ Ї® $t$
­Ґ ®Ўа й овбп ў ­®«м
$$\dot x(t)=\frac{dx}{dt}\ne 0\;\; ;\dot y(t)=\frac{dy}{dt}\ne 0.$$
Ё бгйҐбвўгов ўв®алҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ Ї® $t$
$$\ddot x(t)=\frac{d^2x}{dt^2};\;\;  \ddot y(t)=\frac{d^2y}{dt^2}.$$

‚лзЁб«Ё¬ ЇҐаўго ${\displaystyle\frac{dy}{dx}}$ Ё ўв®аго
${\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}}$ Їа®Ё§ў®¤­лҐ.

„®¬­®¦Ё¬ Ё
а §¤Ґ«Ё¬  ўла ¦Ґ­ЁҐ ${\displaystyle\frac{dy}{dx}}$ ­  $dt$. Џ®б«Ґ
­Ґб«®¦­ле ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© Ї®«гзЁ¬ ¤«п ЇҐаў®© Їа®Ё§ў®¤­®©
б«Ґ¤го饥 ўла ¦Ґ­ЁҐ
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{(dt)}{(dt)}
=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}.$$

‚ла ¦Ґ­ЁҐ ¤«п ўв®а®© Їа®Ё§ў®¤­®© ЇҐаҐЇЁиҐ¬ ў б«Ґ¤го饬 ўЁ¤Ґ
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left[\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}\right]
=\frac{(dt)}{(dt)}\frac{d}{dx}\left[\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}\right]=
\frac{1}{\dot x(t)}\frac{d}{dt}\left[\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}\right].$$
Џа®ўҐ¤п ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ Ї® $t$, Ї®«гзЁ¬ ¤«п ўв®а®© Їа®Ё§ў®¤­®©
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dot x(t) \ddot y(t)-\ddot x(t) \dot y(t)}
{[\dot x(t)]^3}.$$


{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤­го {\it жЁЄ«®Ё¤л}
$$x(t)=a(t-\sin t);\;\;\; y(t)=a(1-\cos t).$$

$$\dot x(t)=a(1-\cos t);  \dot y(t)=a\sin t.$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1-\cos t}{\sin t}=\tg \frac{t}{2}.$$





\ss{Џа®Ё§ў®¤­лҐ ўлбиЁе Ї®ап¤Є®ў}
„® бЁе Ї®а а бб¬ ваЁў «Ёбм Їа®Ё§ў®¤­лҐ $f'(x)$ ®в дг­ЄжЁЁ $f(x)$. €е в Є¦Ґ
­ §лў ов {\it Їа®Ё§ў®¤­л¬Ё ЇҐаў®Ј® Ї®ап¤Є }. Ќ® Їа®Ё§ў®¤­ п $f'(x)$ б ¬ 
пў«пҐвбп дг­ЄжЁҐ©, Є®в®а п в Є¦Ґ ¬®¦Ґв Ё¬Ґвм Їа®Ё§ў®¤­го.

{\it Џа®Ё§ў®¤­®© $n$-­®Ј® Ї®ап¤Є } ­ §лў Ґвбп Їа®Ё§ў®¤­ п ®в Їа®Ё§ў®¤­®©
$(n-1)$-Ј® Ї®ап¤Є .

ЋЎ®§­ зҐ­ЁҐ Їа®Ё§ў®¤­ле: $f''(x)$ -- {\it ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є } (Ё«Ё {\it ўв®а п
Їа®Ё§ў®¤­ п}),  $f'''(x)$ -- {\it ваҐв쥣® Ї®ап¤Є } (Ё«Ё {\it ваҐвмп
Їа®Ё§ў®¤­ п}).

„«п ®Ў®§­ зҐ­Ёп Їа®Ё§ў®¤­ле Ў®«ҐҐ ўлб®Є®Ј® Ї®ап¤Є  ЁбЇ®«м§говбп  а ЎбЄЁҐ жЁдал
ў бЄ®ЎЄ е Ё«Ё аЁ¬бЄЁҐ жЁдал, ­ ЇаЁ¬Ґа, $f^{(4)}(x),\cdots,f^{(n)}(x)$ Ё«Ё
$f^{\vee}(x)$ Ё в.¤.

‚лпб­Ё¬ {\it ¬Ґе ­ЁзҐбЄЁ© б¬лб« ўв®а®© Їа®Ё§ў®¤­®©}. ‚лиҐ Ўл«® Ї®Є § ­®, зв®
Ґб«Ё в®зЄ  ¤ўЁ¦Ґвбп Ї® § Є®­г $s=s(t)$, Ј¤Ґ $s$ -- Їгвм, $t$ -- ўаҐ¬п,
в® $s'(t)$ ЇаҐ¤бв ў«пҐв бЄ®а®бвм в®зЄЁ ў ¬®¬Ґ­в ўаҐ¬Ґ­Ё $t$. ‘«Ґ¤®ў вҐ«м­®,
{\it ўв®а п Їа®Ё§ў®¤­ п ЇгвЁ Ї® ўаҐ¬Ґ­Ё $s''(t)=v'(t)$ бЄ®а®бвм Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп
бЄ®а®бвЁ Ё«Ё {\bf г᪮७ЁҐ} в®зЄЁ ў ¬®¬Ґ­в ўаҐ¬Ґ­Ё $t$}.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤­лҐ ¤® $n$-­®Ј® Ї®ап¤Є  ўЄ«озЁвҐ«м­® ®в
дг­ЄжЁЁ $y=\ln x$.

$$y'=\frac1x;\;\;y''=-\frac{1}{x^2};\;\;y'''=\frac{2}{x^3};\;\;
y^{(4)}=-\frac{2\cdot 3}{x^4}\cdots$$
ЋзҐўЁ¤­®, зв® Їа®Ё§ў®¤­ п $n$-­®Ј® Ї®ап¤Є 
$$y^{(n)}=-\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}.$$

\ss{„ЁддҐаҐ­жЁ « дг­ЄжЁЁ}

Џгбвм дг­ЄжЁп $y=f(x)$  ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $•$ Ё
¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  ў ­ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $x\in X$.
’®Ј¤  бгйҐбвўгҐв Є®­Ґз­ п Їа®Ё§ў®¤­ п
$\di{\lim_{\D x\to 0}\frac{\D y}{\D x}}=f'(x)$.

Ќ  ®б­®ў ­ЁЁ вҐ®аҐ¬л ® бўп§Ё ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «ле ўҐ«ЁзЁ­ б ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё дг­ЄжЁ©
®в­®иҐ­ЁҐ ЇаЁа йҐ­Ё© $\di{\frac{\D y}{\D x}}$ ¬®¦­® § ЇЁб вм Є Є
$$\frac{\D y}{\D x}=f'(x)+\a(\D x),$$
 Ј¤Ґ $\a(\D x)$ - ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ « п ўҐ«ЁзЁ­  ЇаЁ $\D x\to 0$.

’®Ј¤  ЇаЁа йҐ­ЁҐ
$$\D y=f'(x)\D x+\a(\D x)\D x.$$

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ЇаЁа йҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $\D y$  б®бв®Ёв Ё§ ¤ўге
б« Ј Ґ¬ле: 1) -- «Ё­Ґ©­®Ј® ®в­®бЁвҐ«м­® $\D x$;
 2) -- ­Ґ«Ё­Ґ©­®Ј®, ЇаҐ¤бв ў«по饣® ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «го Ў®«ҐҐ ўлб®Є®Ј® Ї®ап¤Є ,
祬  $\D x$, ЁЎ®
$$\lim_{\D x\to 0}\frac{\a(\D x)\D x}{\D x}=\lim_{\D x\to 0}\a(x)=0.$$

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ.} {\it {\bf „ЁддҐаҐ­жЁ «®¬ дг­ЄжЁЁ}
­ §лў Ґвбп Ј« ў­ п «Ё­Ґ©­ п ®в­®бЁвҐ«м­® $\D x$
  з бвм ЇаЁа йҐ­Ёп дг­ЄжЁЁ, а ў­ п
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёо Їа®Ё§ў®¤­®© ­  ЇаЁа йҐ­ЁҐ ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®©}
$$dy=f'(x)\D x.$$
(б¬. аЁб.~4).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(115,140){\special{em:graph F9.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаЁа йҐ­ЁҐ Ё ¤ЁддҐаҐ­жЁ « $y=2x^2-3x$
ЇаЁ $x=10$ Ё $\D x=0.1$.

$$\D y=f(x+\D x)-f(x)=$$
$$=[2(x+\D x)^2-3(x+\D x)]-(2x^2-3x)=\D x[4x+2\D x-3]$$
’®Ј¤  $$dy=f'(x)\D x=(4x-3)\D x.$$
Џ®«гз Ґ¬ $\D y=3.72$,   $dy=3.70$.


{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ¤ЁддҐаҐ­жЁ « дг­ЄжЁЁ $y=x$.
$$y=x; dx=\D x$$
„ЁддҐаҐ­жЁ « ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© а ўҐ­ ЇаЁа йҐ­Ёо нв®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®©.

Џ®н⮬г д®а¬г«г ¤«п ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп дг­ЄжЁЁ ¬®¦­® § ЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ
$$dy=f'(x)dx,$$
®вЄг¤  $f'(x)=\di{\frac{dy}{dx}}$. Ћв¬ҐвЁ¬, з⮠⥯Ґам $\di{\frac{dy}{dx}}$
­Ґ Їа®бв® бЁ¬ў®«ЁзҐбЄ®Ґ ®Ў®§­ зҐ­ЁҐ Їа®Ё§ў®¤­®©,   ®Ўлз­ п ¤а®Ўм б зЁб«ЁвҐ«Ґ¬
$dy$ Ё §­ ¬Ґ­ вҐ«Ґ¬ $dx$.

\sss{ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« ¤ЁддҐаҐ­жЁ « }
‚®§м¬Ґ¬ ­  Ја дЁЄҐ дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ Їа®Ё§ў®«м­го в®зЄг $M(x,y)$.
„ ¤Ё¬  аЈг¬Ґ­вг $x$ ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D x$. ’®Ј¤  дг­ЄжЁп $y=f(x)$ Ї®«гзЁв
ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D y=f(x+\D x)-f(x)$ (б¬. аЁб. 4).

Џа®ўҐ¤Ґ¬ Є б вҐ«м­го Є ЄаЁў®© $y=f(x)$ ў в®зЄҐ $M$, Є®в®а п ®Ўа §гҐв гЈ®«
$\a$ б Ї®«®¦ЁвҐ«м­л¬ ­ Їа ў«Ґ­ЁҐ¬ ®бЁ $Ox$, в.Ґ. $f'(x)=\tg \a$.
€§ Їаאַ㣮«м­®Ј® ваҐгЈ®«м­ЁЄ  $MKN$
$$KN=MN\cdot \tg\a=\D x\tg\a=f'(x)\D x=dy,$$
Ё в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $dy=KN$.

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, {\it ¤ЁддҐаҐ­жЁ « дг­ЄжЁЁ Ґбвм ЇаЁа йҐ­ЁҐ ®а¤Ё­ вл Є б вҐ«м­®©,
Їа®ўҐ¤Ґ­­®© Є Ја дЁЄг дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ў ¤ ­­®© в®зЄҐ, Є®Ј¤  $x$
Ї®«гз Ґв ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\D x$}.

‡ ¬ҐвЁ¬, зв® Ё§ аЁб. 4 б«Ґ¤гҐв, зв® $dy<\D y$. ќв® ®Ўкпб­пҐвбп ў®Ј­гв®бвмо
Ја дЁЄ  дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$. …б«Ё Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$, Ўл« ўлЇгЄ«л©, ў н⮬
б«гз Ґ $\D y>dy$.



\sss{‘ў®©бвў  ¤ЁддҐаҐ­жЁ « }
‘ў®©бвў  ¤ЁддҐаҐ­жЁ «    ­ «®ЈЁз­л бў®©бвў ¬ Їа®Ё§ў®¤­®©.
ЏаЁўҐ¤Ґ¬ Ёе ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў .

1.$$dc=0.$$

2.$$d(cu)=cu.$$

3.$$d(u\pm v)=du\pm dv.$$

4.$$d(uv)=vdu+udv.$$

5.$$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}.$$



\sss{€­ў аЁ ­в­®бвм д®а¬л ¤ЁддҐаҐ­жЁ « }
ђ бᬮваЁ¬ бў®©бвў®, Є®в®ал¬ ®Ў« ¤ Ґв ¤ЁддҐаҐ­жЁ « дг­ЄжЁЁ, ­® ­Ґ ®Ў« ¤ Ґв
ҐҐ Їа®Ё§ў®¤­ п.

ђ бб¬ ваЁў п ўлиҐ $y=f(x)$ Є Є дг­ЄжЁо ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $x$, ¬л Ї®«гзЁ«Ё,
зв® $dy=f'(x)dx$.



ђ бᬮваЁ¬ дг­ЄжЁо  $y=f(u)$, Ј¤Ґ  аЈг¬Ґ­в $u=\f(x)$ б ¬ пў«пҐвбп
дг­ЄжЁҐ© ®в $x$, в.Ґ. а бᬮваЁ¬ б«®¦­го дг­ЄжЁо $y=[\f(x)]$. …б«Ё дг­ЄжЁЁ
$y=f(u)$ Ё $u=\f(x)$ ¤ЁддҐаҐ­жЁагҐ¬лҐ дг­ЄжЁЁ ®в бў®Ёе  аЈг¬Ґ­в®ў,
в® Їа®Ё§ў®¤­ п б«®¦­®© дг­ЄжЁЁ   а ў­  $y'=f'(u)u'$.

’®Ј¤  ¤ЁддҐаҐ­жЁ « дг­ЄжЁЁ
$$dy=f'(x)dx=f'(u)\cdot u'dx.$$
Ќ® $u'dx=du$, Ё Ї®н⮬г
 $$dy=f'(u)du.$$

Џ®б«Ґ¤­ҐҐ а ўҐ­бвў® ®§­ з Ґв, зв® д®а¬г«  ¤ЁддҐаҐ­жЁ « 
­Ґ Ё§¬Ґ­пҐвбп, Ґб«Ё ў¬Ґбв® дг­ЄжЁЁ ®в
­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $x$ а бб¬ ваЁў вм дг­ЄжЁо ®в § ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $u$.
ќв® бў®©бвў® ¤ЁддҐаҐ­жЁ «  Ї®«гзЁ«® ­ §ў ­ЁҐ {\it Ё­ў аЁ ­в­®бвЁ }
(в.Ґ. ­ҐЁ§¬Ґ­­®бвЁ) {\it д®а¬л (Ё«Ё д®а¬г«л  ¤ЁддҐаҐ­жЁ « )}.

\sss{ЏаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ ¤ЁддҐаҐ­жЁ «  ў ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­ле ўлзЁб«Ґ­Ёпе}
‚лиҐ Ўл«® Ї®«г祭®, зв® ЇаЁа йҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $\D y=dy+\a(\D x)\D x$
®в«Ёз Ґвбп ®в ¤ЁддҐаҐ­жЁ «  $dy$ ­  ЎҐбЄ®­Ґз­® ¬ «го ўҐ«ЁзЁ­г Ў®«ҐҐ
ўлб®Є®Ј® Ї®ап¤Є , 祬 $dy=f'(x)\D x$. Џ®н⮬㠯ਠ¤®бв в®з­® ¬ «ле
§­ зҐ­Ёпе $\D x$ ¬®¦­® Ї®«м§®ў вмбп ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­®© д®а¬г«®© $\D y\approx dy$ Ё«Ё
$$f(x+\D x)\approx f(x)+f'(x)\D x.$$
—Ґ¬ ¬Ґ­миҐ $\D x$, ⥬ в®з­ҐҐ нв  д®а¬г« .

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} ‚лзЁб«Ёвм ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­® $\sqrt[4]{16.64}$.

‚ ¤ ­­®¬ б«гз Ґ $f(x)=\sqrt[n]{x}$,   $f'(x)=\di{\frac{\sqrt[n]{x}}{nx}}$.
—Ёб«Ґ­­лҐ §­ зҐ­Ёп:  $n=4$, $x=16$, $\D x=0.64$. Џ®«гз Ґ¬
$$\sqrt[4]{16.64}\approx \sqrt[4]{16}+
\frac{\sqrt[4]{16}}{4\cdot 16}\cdot 0.64=2.02.$$


\sss{„ЁддҐаҐ­жЁ «л ўлбиЁе Ї®ап¤Є®ў}

„«п ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ҐҐ ¤ЁддҐаҐ­жЁ « $dy=f'(x)dx$
Ўг¤Ґ¬ а бб¬ ваЁў вм Є Є дг­ЄжЁо ¤ўге  аЈг¬Ґ­в®ў: $x$ Ё $dx$.

’®Ј¤  {\it ¤ЁддҐаҐ­жЁ «®¬ ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є } (Ё«Ё {\it ўв®ал¬ ¤ЁддҐаҐ­жЁ «®¬})
   $d^2y$
дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$ ­ §лў Ґвбп ¤ЁддҐаҐ­жЁ «
®в ¤ЁддҐаҐ­жЁ «  ЇҐаў®Ј® Ї®ап¤Є  нв®© дг­ЄжЁЁ, в.Ґ.
$$d^2y=d(dy).$$

Ђ­ «®ЈЁз­® {\it ¤ЁддҐаҐ­жЁ «®¬ $n-$®Ј® Ї®ап¤Є } (Ё«Ё
{\it $n$-­л¬ ¤ЁддҐаҐ­жЁ «®¬}) $d^ny$
­ §лў Ґвбп ¤ЁддҐаҐ­жЁ « ®в
¤ЁддҐаҐ­жЁ «   $(n-1)$-®Ј® Ї®ап¤Є  нв®© дг­ЄжЁЁ
$$d^ny=d(d^{n-1}y).$$
Ќ ©¤Ґ¬ ўла ¦Ґ­ЁҐ ¤«п $d^2y$.

 Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо
$d^2y=d(dy)$; $dy=f'(x)dx$; $d^2y=d(f'(x)dx)$;
Ќ® $dx$ ­Ґ § ўЁбЁв ®в $x$, в.Ґ. Ї® ®в­®иҐ­Ёо Є ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $x$
пў«пҐвбп Ї®бв®п­­®© ўҐ«ЁзЁ­®©, в® ¬­®¦ЁвҐ«м $\D x$ ¬®¦­® ўл­ҐбвЁ §­ Є
¤ЁддҐаҐ­жЁ « , в.Ґ.
$$d^2y=dx\cdot df'(x)=dx\cdot [f'(x)]'dx=f''(x)(dx)^2.$$
€в Є,
$$d^2y=f''(x)dx^2,$$
Ј¤Ґ $dx^2=(dx)^2$.

‚ ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ
$$d^ny=f^{(n)}(x)dx^n,$$
в.Ґ.{\it ¤ЁддҐаҐ­жЁ « ўв®а®Ј® (Ё ў®®ЎйҐ $n$-­®Ј®) Ї®ап¤Є  а ўҐ­ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёо
Їа®Ё§ў®¤­®© ўв®а®Ј® ($n$-­®Ј®) Ї®ап¤Є  ­  Єў ¤а в ($n$-о c⥯Ґ­м) ¤ЁддҐаҐ­жЁ « 
­Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®©}.

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® ¤ЁддҐаҐ­жЁ «л ўв®а®Ј® Ё Ў®«ҐҐ ўлб®ЄЁе Ї®ап¤Є®ў ­Ґ ®Ў« ¤ ов
бў®©бвў®¬ Ё­ў аЁ ­в­®бвЁ д®а¬л ў ®в«ЁзЁҐ ®в ¤ЁддҐаҐ­жЁ « 
ЇҐаў®Ј® Ї®ап¤Є .


\end{document}