Добавил:
Studfiles2
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ВВЕДЕНИЕ В ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ / s2lma4
.tex\vspace{0.5in}
\noindent ‹…Љ–€џ 2.4. {\it €вҐЈаЁа®ў ЁҐ Їа®б⥩иЁе Ё
Їа®Ё§ў®«мле Їа ўЁ«мле ¤а®ЎҐ©. €вҐЈаЁа®ў ЁҐ Їа®Ё§ў®«мле
а жЁ® «мле дгЄжЁ©. €вҐЈаЁа®ў ЁҐ ¤а®Ў®-«ЁҐ©ле
Ёаа жЁ® «м®б⥩.}
Ќ Ї®¬Ё ЁҐ. ‚ Їа®и«л© а § Ўл« гбв ®ў«Ґ ⥮६ ® ⮬, зв®
ўбпЄ п Їа ўЁ«м п а жЁ® «м п ¤а®Ўм ¬®¦Ґв Ўлвм ЇаҐ¤бв ў«Ґ Є Є
б㬬 н«Ґ¬Ґв але. ќ«Ґ¬Ґв ал¬Ё Ўл«Ё §ў л ¤а®ЎЁ ўЁ¤
$$\frac{A}{(x-a)^k},\quad \frac{Mx+N}{(x^2+ux+v)^s},$$ Ј¤Ґ
$k,s\in\NN$, $A,M,N\in\RR$, $a,u,v\in\RR$, $u^2-4v<0$. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, 宦¤ҐЁҐ Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®Ј® ЁвҐЈа « ®в Їа®Ё§ў®«м®©
а жЁ® «м®© ¤а®ЎЁ бў®¤Ёвбп Є 宦¤ҐЁо ЁвҐЈа « ®в Їа ўЁ«м®©
з бвЁ ¤а®ЎЁ (в. Ґ. ®в ¬®Ј®з«Ґ ) Ё ®в Є ¦¤®© Ё§ н«Ґ¬Ґв але
¤а®ЎҐ© Ї® ®в¤Ґ«м®бвЁ.
€вҐЈаЁа®ў ЁҐ ¬®Ј®з«Ґ®ў Ё н«Ґ¬Ґв а®© ¤а®ЎЁ ўЁ¤
$\frac{A}{(x-a)^k}$ Ґ ўл§лў Ґв § ва㤥Ё©. ’ Є, Ґб«Ё $k\ne 1$,
в® $$\int\frac{A}{(x-a)^k}\,dx =\int\frac{A}{(x-a)^k}\,d(x-a)=
-\frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}}+C,$$ Ґб«Ё $k=1$, в®
$$\int\frac{A}{x-a}\,dx =A\ln|x-a|+C.$$
€вҐЈаЁа®ў ЁҐ н«Ґ¬Ґв а®© ¤а®ЎЁ ўЁ¤ $\frac{Mx+N}{(x^2+ux+v)^s}$
Їа®ў®¤пв ў ҐбЄ®«мЄ® нв Ї®ў. ‘ з « , ¤«п гЇа®йҐЁп, ўл¤Ґ«пов
Ї®«л© Єў ¤а в ў § ¬Ґ ⥫Ґ ¤а®ЎЁ Ё ¤Ґ« ов § ¬Ґг ЇҐаҐ¬Ґ®©:
$$\int\frac{Mx+N}{(x^2+ux+v)^s}\,dx
=\int\frac{M(x+u/2)+(N-Mu/2)}{\bigl((x+u/2)^2+(v-u^2/4)\bigr)^s}
\,d(x+u/2)=\int\frac{M_1t+N_1}{(t^2+v_1)^s}\,dt,$$ Ј¤Ґ $t=(x+u/2)$
-- ®ў п Ґ§ ўЁбЁ¬ п ЇҐаҐ¬Ґ п, $M_1=M$, $N_1=(N-Mu/2)$,
$v_1=(v-u^2/4)>0$ -- ®Ў®§ зҐЁп Є®нддЁжЁҐв®ў, ᤥ« лҐ ¤«п
б®Єа йҐЁп ўлЄ« ¤®Є. Џ®«гзҐго ¤а®Ўм а §¤Ґ«пов ¤ўҐ Ё Є ¦¤го
ЁвҐЈаЁаго⠮⤥«м®. €вҐЈа « ®в ЇҐаў®© Ё§ Ёе «ҐЈЄ® бў®¤Ёвбп Є
в Ў«Ёз®¬г: $$\int\frac{M_1t}{(t^2+v_1)^s}\,dt=
\int\frac{(M_1/2)}{(t^2+v_1)^s}\,d(t^2+v_1).$$ …б«Ё $s=1$, в®
ЁвҐЈа « ®в ўв®а®© ¤а®ЎЁ пў«пҐвбп в Ў«Ёзл¬. ‘«гз © $s>1$ бў®¤Ёвбп
Є б«гз о $s=1$ Ї®б«Ґ¤®ў ⥫мл¬ г¬Ґм襨Ґ¬ Ї а ¬Ґва $s$:
$$I(s)=\int\frac{1}{(t^2+v_1)^s}\,dt=
\frac{1}{v_1}\int\frac{v_1+t^2-t^2}{(t^2+v_1)^s}\,dt=
\frac{1}{v_1}\bigl(I(s-1)-
\int\frac{t^2}{(t^2+v_1)^s}\,dt\bigr).$$ ЏаҐ®Ўа §гҐ¬ Ї®б«Ґ¤Ё© Ё§
Ї®«гзҐле ЁвҐЈа «®ў ¬Ґв®¤®¬ ЁвҐЈаЁа®ў Ёп Ї® з бвп¬:
$$\int\frac{t^2}{(t^2+v_1)^s}\,dt=\int\frac t{2(t^2+v_1)^s}
\,dt^2=\int \frac {-t}{2(s-1)}\,d\frac 1{(t^2+v_1)^{s-1}}=
-\frac{1}{2(s-1)}(\frac t{(t^2+v_1)^{s-1}}-I(s-1)).$$ ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬ ўлзЁб«ҐЁҐ $I(s)$ ᢥ«®бм Є ўлзЁб«ҐЁо $I(s-1)$. Џ®б«Ґ
®Є®з ⥫쮣® ўла ¦ҐЁп ЁвҐЈа « ў н«Ґ¬Ґв але дгЄжЁпе
Ґ®Ўе®¤Ё¬® Їа®Ё§ўҐбвЁ ®Ўа вго § ¬Ґг ЇҐаҐ¬Ґ®©: Ї®¤бв ўЁвм
ў¬Ґбв® $t$ ўҐ«ЁзЁг $(x+u/2)$.
ђ бᬮваЁ¬ ҐйҐ зҐвлॠўЁ¤ Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґле ЁвҐЈа «®ў, ®в®бпйЁебп
Є ўлзЁб«ҐЁо ЁвҐЈа «®ў ®в а жЁ® «мле дгЄжЁ© Ё Їа®б⥩иЁе
Ёаа жЁ® «м®б⥩. ЏҐаўл© ЇаЁ¬Ґа:
$$\int\frac{dx}{\sqrt{2x-1}-\sqrt[4]{2x-1}}=//2x-1=t^4//=
\int\frac{2t^3\,dt}{t^2-t}=2\int(t+1+\frac 1{t-1})dt=$$
$$=(t+1)^2+2\ln|t-1|+C=(\sqrt[4]{2x-1}+1)^2+
\ln(\sqrt[4]{2x-1}-1)^2+C.$$ ђ бᬮваҐл© ЁвҐЈа « ®в®бЁвбп Є
ЁвҐЈа « ¬ ўЁ¤ $$\int R\bigl [x, \left (\frac{ax+b}{cx+d}\right
)^{p_1/q_1},\left (\frac{ax+b}{cx+d}\right )^{p_2/q_2},\dots\bigr
]\,dx,$$ $R\,[x,y,z,\dots]$ -- дгЄжЁп, а жЁ® «м® § ўЁбпй п ®в
Є ¦¤®Ј® Ё§ бў®Ёе аЈг¬Ґв®ў $x,y,z,\dots$ Ї® ®в¤Ґ«м®бвЁ,
$p_1,q_1,p_2,q_2,\dots$$\in\NN$. „«п ў§пвЁп ЁвҐЈа « ЁбЇ®«м§гов
§ ¬Ґг ЇҐаҐ¬Ґ®© $$\frac{ax+b}{cx+d}=t^n,$$ $n$ -- Ё¬Ґм襥
®ЎйҐҐ Єа ⮥ $q_1,q_2,\dots$ ‚ १г«мв ⥠Ї®«гз ов ЁвҐЈа « ®в
ҐЄ®в®а®© а жЁ® «м®© дгЄжЁЁ ЇҐаҐ¬Ґ®© $t$. €вҐЈа «л
$$\int\frac{p_n(x)} {\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx,$$ $p_n\in{\cal P}_n$
-- § ¤ л© ¬®Ј®з«Ґ, ўлзЁб«пов, Ї®«м§гпбм ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ¬
$$\int\frac{p_n(x)}
{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx=q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+
\lambda\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}},$$ $q_{n-1}\in{\cal
P}_{n-1}$, $\lambda$ -- ҐЁ§ўҐбвлҐ ¬®Ј®з«Ґ Ё зЁб«®, Є®в®алҐ
¬®¦® ©вЁ ¤ЁддҐаҐжЁа®ў ЁҐ¬ ўлЇЁб ®© д®а¬г«л. Џ®б«Ґ
宦¤ҐЁп Є®нддЁжЁҐв®ў $q_{n-1}$ Ё $\lambda$, § ¤ з бў®¤Ёвбп Є
ўлзЁб«ҐЁо в Ў«Ёз®Ј® Ї® бгвЁ ЁвҐЈа « . €вҐЈа «л $$\int\frac{dx}
{(x-\alpha)^n\sqrt{ax^2+bx+c}},\quad n\in\NN,$$ ЇаЁў®¤пв Є
ЁвҐЈа « ¬ ЇаҐ¤л¤г饣® ўЁ¤ , Ї®«м§гпбм Ї®¤бв ®ўЄ®© $\frac
1{x-\alpha}=t$. €вҐЈа «л ®в ¤ЁддҐаҐжЁ «мле ЎЁ®¬®ў $$\int
x^m(a+bx^n)^p\,dx,$$ $m,n,p$ -- а жЁ® «млҐ зЁб« . “б«®ўЁп, ЇаЁ
Є®в®але нвЁ ЁвҐЈа «л ўла ¦ овбп ў н«Ґ¬Ґв але дгЄжЁпе, Ўл«Ё
Ї®«гзҐл агббЄЁ¬ ¬ ⥬ вЁЄ®¬ Џ.‹. —ҐЎлиҐўл¬ Ё ®бпв ҐЈ® Ё¬п:\\ 1.
$p$ -- 楫®Ґ.\\ 2. $\frac {m+1}{n}$ -- 楫®Ґ. Џ®¤бв ®ўЄ
$a+bx^n=t^s$, $s$ -- § ¬Ґ ⥫м $p$, бў®¤Ёв ЁвҐЈа « Є
Ё§ўҐбвл¬.\\ 3. $\frac {m+1}{n}+p$ -- 楫®Ґ. €бЇ®«м§гҐвбп
Ї®¤бв ®ўЄ $ax^{-n}+b=t^s$, $s$ -- § ¬Ґ ⥫м $p$.\\ 4. „агЈЁҐ
б®®в®иҐЁп ¬Ґ¦¤г $m$, $n$ Ё $p$ ЇаЁў®¤пв Є ЁвҐЈа « ¬, Є®в®алҐ
Ґ«м§п ўла §Ёвм ў ўЁ¤Ґ Є®Ґз®© Є®¬ЎЁ жЁЁ н«Ґ¬Ґв але дгЄжЁ©.
Соседние файлы в папке ВВЕДЕНИЕ В ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ