ВВЕДЕНИЕ В ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ / s2lma5

\vspace{0.5in}

%\noindent ‹…Љ–€џ 2.5. {\it €­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ а жЁ®­ «м­ле
%ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄЁе ўла ¦Ґ­Ё©. €­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ Єў ¤а вЁз­ле
%Ёаа жЁ®­ «м­®б⥩. €­вҐЈаЁа㥬®бвм ў н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁпе.}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.6. {\it ‡ ¤ зЁ, ЇаЁў®¤пйЁҐ Є Ї®­пвЁо
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа « . ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­­л© Ё­вҐЈа «, ҐЈ® бў®©бвў .
€­вҐЈаЁа㥬®бвм ­ҐЇаҐалў­ле, Єгб®з­®-­ҐЇаҐалў­ле дг­ЄжЁ©. ”®а¬г« 
Ќмов®­ -‹Ґ©Ў­Ёж , ҐҐ ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ ¤«п ўлзЁб«Ґ­Ёп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­ле
Ё­вҐЈа «®ў.}\\ Џгбвм $f(x)\in C[a,b]$ -- ­ҐЇаҐалў­ п дг­ЄжЁп,
$a<b$. €­вҐЈа «м­®© б㬬®© $S_n(f,a,b)$, $n\in\NN$, Ўг¤Ґ¬ ­ §лў вм
$$S_n(f,a,b)=\frac 1n\sum_{\frac in\in [a,b],\
i\in\ZZ}f\left(\frac in\right)$$ (ЇаЁ н⮬ бзЁв Ґ¬, зв® б㬬  Ї®
Їгб⮬㠭 Ў®аг Ё­¤ҐЄб®ў а ў­  ­г«о). ‘зЁв Ґ¬ в Є¦Ґ, зв®
$S_n(f,b,a)=-S_n(f,a,b)$. Њ®¦­® Ї®Є § вм, зв® ¤«п ­ҐЇаҐалў­®© ­ 
$[a,b]$ дг­ЄжЁЁ $f$ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм зЁбҐ« $S_n(f,a,b)$,
$n\in\NN$, пў«пҐвбп б室п饩бп. …Ґ ЇаҐ¤Ґ« ЇаЁ­Ё¬ ов §  §­ зҐ­ЁҐ
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа «  $f$ Ї® ®в१Єг $[a,b]$
$$\int_a^bf(t)\,dt=\lim_{n\to\infty}S_n(f,a,b).$$ Џгбвм ⥯Ґам $c$
-- ў­гв७­пп в®зЄ  Ё­вҐаў «  $(a,b)$. Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо ¤«п «оЎ®Ј®
$n\in\NN$ ўҐ«ЁзЁ­л $S_n(f,a,b)$ Ё $S_n(f,a,c)+S_n(f,c,b)$ Ё«Ё
б®ўЇ ¤ ов, Ё«Ё ®в«Ёз овбп ­  ®¤­® б« Ј Ґ¬®Ґ ўЁ¤  $\frac
1nf\left(\frac in\right)$. Џ®н⮬г а §­®бвм
$S_n(f,a,b)-S_n(f,a,c)-S_n(f,c,b)$ б а®б⮬ $n$ бв६Ёвбп Є ­г«о.
ќв® ®§­ з Ґв, зв® $$\int_a^bf(t)\,dt=\int_a^бf(t)\,dt+
\int_c^bf(t)\,dt\eqno (1)$$ (бў®©бвў®  ¤¤ЁвЁў­®бвЁ Ї® ®в१Єг
Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп). €§ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп б«Ґ¤гҐв в Є¦Ґ, зв®
$$\int_a^b\alpha f(t)\,dt=\alpha\int_a^bf(t)\,dt,\quad
\int_a^b(f(t)+g(t))\,dt=\int_a^bf(t)\,dt+\int_a^bg(t)\,dt,\quad
\alpha\in\RR,\ g\in C[a,b]\eqno (2)$$(бў®©бвў® «Ё­Ґ©­®бвЁ
Ё­вҐЈа « ). Ља®¬Ґ в®Ј®, Ґб«Ё $f(t)\leqslant g(t)$ ЇаЁ ўбҐе $t\in
[a,b]$, в®\\ $S_n(f,a,b)\leqslant S_n(g,a,b)$ Ё, §­ зЁв,
$$\int_a^bf(t)\,dt\leqslant\int_a^bg(t)\,dt\eqno (3)$$ (бў®©бвў®
¬®­®в®­­®бвЁ Ё­вҐЈа « ). ЌҐЇ®б।б⢥­­л¬ б«Ґ¤бвўЁҐ¬ (3) пў«пҐвбп
$$|\int_a^bf(t)\,dt|\leqslant\int_a^b|f(t)|\,dt.\eqno (3')$$ Џ®
дг­ЄжЁЁ $f$ Ї®бва®Ё¬ ­®ўго дг­ЄжЁо $$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,\quad
x\in(a,b],\quad F(a)=0.$$ Џгбвм $x_0\in [a,b]$. ђ бᬮваЁ¬
а §­®бв­®Ґ ®в­®иҐ­ЁҐ
$$\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x
f(t)\,dt.$$ Џа®ўҐаЁ¬, зв® ЇаҐ¤Ґ« нв®Ј® а §­®бв­®Ј® ®в­®иҐ­Ёп а ўҐ­
$f(x_0)$. „Ґ©б⢨⥫쭮, § ¤ ¤Ё¬бп Їа®Ё§ў®«м­л¬ $\varepsilon>0$ Ё
Ї®¤ЎҐаҐ¬ $\delta>0$ в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, зв®Ўл $|f(x)-f(x_0)|<
\varepsilon$ Ґ¤ў  «Ёим $|x-x_0|<\delta$. Џ®бЄ®«мЄг $\int_{x_0}^x
1\,dt=x-x_0$, в® ¤«п $|x-x_0|<\delta$
$$|\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x f(t)\,dt-f(x_0)|=
|\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x (f(t)-f(x_0))\,dt|\leqslant
\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\,dt<\varepsilon.$$ ’Ґ¬
б ¬л¬ ¬л Їа®ўҐаЁ«Ё, зв® $F'(x)=f(x)$ ¤«п ўбҐе $x\in[a,b]$ Ё зв®
$F$ -- ®¤­  Ё§ ЇҐаў®®Ўа §­ле ¤«п $f$. Џгбвм $F_1=F+d$ -- «оЎ п
¤агЈ п ЇҐаў®®Ўа §­ п. ’®Ј¤  $$\int_a^b
f(t)\,dt=F_1(b)-F_1(a)=F_1(t) \Bigr |_a^b.$$ ќв  д®а¬г« 
­ §лў Ґвбп д®а¬г«®© Ќмов®­ -‹Ґ©Ў­Ёж .

ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа «  бўп§ ­ б Ї®­пвЁҐ¬
Ї«®й ¤Ё дЁЈгал. ђ бᬮваЁ¬ Ї«®й ¤м $S(x)$ ЇҐаҐ¬Ґ­­®© ЄаЁў®«Ё­Ґ©­®©
ва ЇҐжЁЁ, ®Ја ­ЁзҐ­­®© ᢥаег ­ҐЇаҐалў­®© ЄаЁў®© $y=f(x)\geqslant
0$, б­Ё§г -- Є®®а¤Ё­ в­®© ®бмо $y=0$, бЇа ў  Ё б«Ґў  -- Їап¬л¬Ё
$x=a$ Ё $x=b$. Џгбвм $x$ Ї®«гз Ґв ЇаЁа йҐ­ЁҐ $\Delta x$ (¤«п
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®бвЁ Їгбвм $\Delta x>0$). ’®Ј¤  Ї«®й ¤м Ё§¬Ґ­Ёвбп ­ 
ўҐ«ЁзЁ­г $\Delta S$, ®Ја ­ЁзҐ­­®© ¤гЈ®© ЄаЁў®© $y=f(x)$, Їап¬л¬Ё
$y=0$, $x=x_0$ Ё $x=x_0+\Delta x$. ‘а ў­Ёў п Ї«®й ¤Ё Ї®«гзЁ¬
­Ґа ўҐ­бвў  $$m\Delta x\leqslant\Delta S\leqslant M\Delta x,\quad
m=\min_{x\in[x_0,x_0+\Delta x]}f(x),\ M=\max_{x\in[x_0,x_0+\Delta
x]}f(x)$$ (Ґб«Ё $\Delta x<0$, §­ ЄЁ ­Ґа ўҐ­бвў Ўг¤гв
Їа®вЁў®Ї®«®¦­л). ЏаЁ $\Delta x\to 0$ §­ зҐ­Ёп $m$ Ё $M$ бв६пвбп
Є $f(x_0)$. Џ® ⥮६Ґ ®Ў ®Ја ­ЁзҐ­­®© б室Ё¬®бвЁ
$S'(x_0)=f(x_0)$.

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­л© Ё­вҐЈа « ®в ­ҐЇаҐалў­®©
­Ґ®ваЁж вҐ«м­®© дг­ЄжЁЁ ЇаЁ $a\leqslant b$ а ўҐ­ Ї«®й ¤Ё
ᮮ⢥вбвўго饩 ЄаЁў®«Ё­Ґ©­®© ва ЇҐжЁЁ. ‚ ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ Ї«®й ¤м
ЄаЁў®«Ё­Ґ©­®© ва ЇҐжЁЁ а ў­  $$\int_a^b|f(t)|\,dt.$$

”Ё§ЁзҐбЄЁ© б¬лб« ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа «  а бᬮваЁ¬ ­  ЇаЁ¬ҐаҐ
б«Ґ¤го饩 § ¤ зЁ: ‡­ п бЄ®а®бвм $v=v(t)\geqslant 0$ Їаאַ«Ё­Ґ©­®Ј®
¤ўЁ¦Ґ­Ёп в®зЄЁ, ­ ©вЁ Їа®©¤Ґ­­л© Ґо Їгвм §  Їа®¬Ґ¦гв®Є ўаҐ¬Ґ­Ё
$0\leqslant t\leqslant T$. ‚®бЇ®«м§гҐ¬бп д®а¬г«®© $v(t)=x'(t)$,
Ј¤Ґ $x(t)$ -- га ў­Ґ­ЁҐ ¤ўЁ¦Ґ­Ёп в®зЄЁ Ї® ®бЁ $Ox$. ’®Ј¤ 
$$s=x(T)-x(0)=\int_0^Tv(t)\,dt.\eqno (4)$$ …б«Ё бЄ®а®бвм ¬Ґ­пҐв
§­ Є, в® нв  д®а¬г«  ¤ Ґв «Ёим Ё§¬Ґ­Ґ­ЁҐ  ЎбжЁббл в®зЄЁ §  ўаҐ¬п
$T$. —в®Ўл ­ ©вЁ Їа®©¤Ґ­­л© Їгвм ў н⮬ б«гз Ґ а бб¬ ваЁў ов
$$\int_0^T|v(t)|\,dt.$$ €§ д®а¬г«л (4) «ҐЈЄ® Ї®«гзЁвм § Є®­
¤ўЁ¦Ґ­Ёп в®зЄЁ $$x(T)=x(0)+\int_0^Tv(t)\,dt.$$

{\bf ’Ґ®аҐ¬ } (® б।­Ґ¬). ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­­л© Ё­вҐЈа « ®в ­ҐЇаҐалў­®©
дг­ЄжЁЁ а ўҐ­ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёо ¤«Ё­л Їа®¬Ґ¦гвЄ  Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп ­ 
§­ зҐ­ЁҐ Ї®¤л­вҐЈа «м­®© дг­ЄжЁЁ ў Їа®¬Ґ¦гв®з­®© в®зЄҐ.\\ $\lhd:$
ЏаЁ¬Ґ­пҐ¬ д®а¬г«г Ќмов®­ -‹Ґ©Ў­Ёж  Ё ⥮६㠮 б।­Ґ¬ ¤«п
ЇҐаў®®Ўа §­®© $F(x)$ $$\int_a^bf(t)\,dt=F(b)-F(a)=(b-a)F'(c)=
(b-a)f(c).\ \rhd$$ —Ёб«® $f(c)=\mu$ Ё§ нв®© вҐ®аҐ¬л Ё­®Ј¤ 
­ §лў ов б।­Ё¬ §­ зҐ­ЁҐ¬ дг­ЄжЁЁ $f$ ­  $[a,b]$ $$\mu=\frac
1{b-a} \int_a^bf(t)\,dt.$$

Џ®­пвЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа «  ҐбвҐб⢥­­® а бЇа®бва ­пҐвбп ­ 
Єгб®з­®-­ҐЇаҐалў­лҐ дг­ЄжЁЁ. ’ Є ­ §лў ов дг­ЄжЁЁ Ё«Ё ­ҐЇаҐалў­лҐ
­  $[a,b]$, Ё«Ё Ё¬ҐойЁҐ ­  $[a,b]$ Є®­Ґз­®Ґ зЁб«® в®зҐЄ а §алў 
ЇҐаў®Ј® த . ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ Ё бў®©бвў  ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа « 
Ї®«­®бвмо ­  ­Ёе ЇҐаҐ­®бпвбп.