ВВЕДЕНИЕ В ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ / s2lma1

\vspace{0.5in}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.1. {ЏҐаў®®Ўа §­ п. ЌҐ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­л© Ё­вҐЈа « Ё
ҐЈ® бў®©бвў . ’ Ў«Ёз­лҐ Ё­вҐЈа «л. ‡ ¬Ґ­  ЇҐаҐ¬Ґ­­®© Ё
Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ Ї® з бвп¬ ў ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®¬ Ё­вҐЈа «Ґ.}

…б«Ё ®б­®ў­®© § ¤ зҐ© ¤ЁддҐаҐ­жЁ «м­®Ј® ЁбзЁб«Ґ­Ёп пў«пҐвбп
ўлзЁб«Ґ­ЁҐ Їа®Ё§ў®¤­®© $f'$ ­ҐЄ®в®а®© дг­ЄжЁЁ $f$, в® ®б­®ў­®©
§ ¤ зҐ© Ё­вҐЈа «м­®Ј® ЁбзЁб«Ґ­Ёп пў«пҐвбп ®Ўа в­ п § ¤ з : Ї®
§ ¤ ­­®© Їа®Ё§ў®¤­®© $F'$ ­ ©вЁ Ёб室­го дг­ЄжЁо $F$. ќвг ®Ўа в­го
§ ¤ зг ­ §лў ов ҐйҐ § ¤ зҐ© ­ е®¦¤Ґ­Ёп ЇҐаў®®Ўа §­®© ¤«п дг­ЄжЁЁ
$F'$.

ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ. ЏҐаў®®Ўа §­®© ¤«п $f:\langle a,b\rangle\to\RR$
­ §лў Ґвбп «оЎ п ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 п дг­ЄжЁп $F:\langle
a,b\rangle\to\RR$, 㤮ў«Ґвў®апой п ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $t\in\langle
a,b\rangle$ а ўҐ­бвўг $$F'(t)=f(t).$$ ЏаЁ¬Ґа. ЏҐаў®®Ўа §­®©
дг­ЄжЁҐ© ¤«п $3t^2$ Ўг¤Ґв дг­ЄжЁп $t^3$. ”г­ЄжЁп $t^3+1$ в Є¦Ґ
Ўг¤Ґв ЇҐаў®®Ўа §­®© ¤«п $3t^2$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ў ®в«ЁзЁҐ ®в
Їа®Ё§ў®¤­®© дг­ЄжЁЁ г ®¤­®© дг­ЄжЁЁ ¬®¦Ґв Ўлвм ­ҐбЄ®«мЄ®
ЇҐаў®®Ўа §­ле. ‘вагЄвга  ¬­®¦Ґбвў  ЇҐаў®®Ўа §­ле Їа®пб­пҐвбп
б«Ґ¤го饩 ⥮६®©

’Ґ®аҐ¬ . /$f:\langle a,b\rangle\to\RR$, $F_1$, $F_2$ -- ¤ўҐ
ЇҐаў®®Ўа §­лҐ ¤«п $f$/ $\Rightarrow$ $(F_1(t)-F_2(t))$ Ї®бв®п­­ 
­  $\langle a,b\rangle$.

\noindent $\vartriangleleft$: Џ® гб«®ўЁо
$(F_1(t)-F_2(t))'=f(t)-f(t)=0$ ЇаЁ «оЎ®¬ $t\in\langle
a,b\rangle$. “⢥তҐ­ЁҐ вҐ®аҐ¬л ўл⥪ Ґв, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ё§
б«Ґ¤бвўЁп Є ⥮६Ґ ‹ Ја ­¦  ® ⮬, зв® Ґб«Ё Їа®Ё§ў®¤­ п ­ҐЄ®в®а®©
дг­ЄжЁЁ а ў­  ­г«о ­  ­ҐЄ®в®а®¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ, в® ®­  ­  н⮬
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ Ї®бв®п­­ . $\vartriangleright$

‘«Ґ¤бвўЁҐ. …б«Ё $F$ -- Є Є п-«ЁЎ® ЇҐаў®®Ўа §­ п ¤«п $f:\langle
a,b\rangle\to\RR$, в® ¤®Ў ў«пп Є $F$ ўбҐў®§¬®¦­лҐ Ї®бв®п­­лҐ $C$,
¬л Ї®«гзЁ¬ ўбҐ ЇҐаў®®Ўа §­лҐ ¤«п $f$.

ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ. ‘®ў®ЄгЇ­®бвм ўбҐе ЇҐаў®®Ўа §­ле дг­ЄжЁЁ $f:\langle
a,b\rangle\to\RR$ ­ §лў Ґвбп ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­л¬ Ё­вҐЈа «®¬ $f$ Ё
®Ў®§­ з Ґвбп бЁ¬ў®«®¬ $\int f(t)\,dt$. ”г­ЄжЁо $f$ ЇаЁ н⮬
­ §лў ов Ї®¤л­вҐЈа «м­®©. Џгбвм $F$ -- ­ҐЄ®в®а п ЇҐаў®®Ўа §­ п
дг­ЄжЁп ¤«п $f$. — бв® гЇ®вॡ«пов в Єго д®а¬г § ЇЁбЁ
­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа «  $$\int f(t)\,dt=F(t)+C,\eqno (1)$$
Ї®­Ё¬ п Ї®¤ нвЁ¬ Ё бЇа ў  Ё б«Ґў  ®в §­ Є  а ўҐ­бвў  ®¤­® Ё ⮦Ґ
¬­®¦Ґбвў® дг­ЄжЁ©, ®в«Ёз ойЁебп ®в $F$ ­  Є®­бв ­вг. ‘¬лб«
ЁбЇ®«м§®ў ­­®Ј® ®Ў®§­ зҐ­Ёп Ё (1) б®бв®Ёв ў б«Ґ¤го饬: б®Ј« б­®
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо ¤«п «оЎ®© $F\in\int f(t)\,dt$ ўлЇ®«­Ґ­® а ўҐ­бвў®
$F'(t)=f(t)$ Ё, §­ зЁв, $d F(t)=F'(t)\,dt=f(t)\,dt$. Џ®н⮬㠯Ёигв
$$d\int f(t)\,dt=f(t)\,dt,\eqno(2)$$ Ї®­Ё¬ п Ї®¤ нвЁ¬ в®, зв®
¤ЁддҐаҐ­жЁ « «оЎ®© дг­ЄжЁЁ Ё§ $\int f(t)\,dt$ ­  н«Ґ¬Ґ­вҐ $dt$
а ўҐ­ $f(t)\,dt$. Ља®¬Ґ нв®Ј® (1) ¬®¦­® § ЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ $$\int d
F(t)=F(t)+C.\eqno(3)$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ў ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®¬ б¬лб«Ґ,
®ЇҐа жЁЁ $\int$ Ё $d$ пў«повбп ў§ Ё¬­® ®Ўа в­л¬Ё.

Ћ¤­® Ё§ ®б­®ў­ле бў®©бвў ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа «  пў«пҐвбп
б«Ґ¤бвўЁҐ¬ нв®© ў§ Ё¬­®© ®Ўа вЁ¬®бвЁ. ќв® бў®©бвў® -- «Ё­Ґ©­®бвм
­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа « : Їгбвм дг­ЄжЁЁ $f$ Ё $g$ ®Ў« ¤ ов
ЇҐаў®®Ўа §­л¬Ё. ’®Ј¤ 

1) $\int a f(t)\,dt=a\int f(t)\,dt$, $a\in\RR$, $a\ne 0$,

2) $\int (f(t)+g(t))\,dt=\int f(t)\,dt+\int g(t)\,dt$.\\ „«п
¤®Є § вҐ«мбвў  ¤®бв в®з­® § ¬ҐвЁвм, зв® Ґб«Ё $F$ Ё $G$ --
ЇҐаў®®Ўа §­лҐ ¤«п $f$ Ё $g$, в® $F+G$ -- ЇҐаў®®Ўа §­ п ¤«п $f+g$,
$aF$ -- ЇҐаў®®Ўа §­ п ¤«п $af$.\\ ‘«Ґ¤гойЁҐ ЇаЁ¬Ґал ўла ¦Ґ­Ёп
­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­ле Ё­вҐЈа «®ў ®в Ё§ўҐбв­ле дг­ЄжЁ© ў вҐа¬Ё­ е
н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁ© ­®бпв ­ §ў ­ЁҐ в Ў«Ёз­ле Ё­вҐЈа «®ў. €е
­Ґ®Ўе®¤Ё¬® §­ вм ­ Ё§гбвм.

1). $(t^{m+1}/(m+1))'=t^m$, $\Rightarrow$ $\quad\int
t^m\,dt=t^{m+1}/(m+1)+C$, $m\in\RR$, $m\ne -1$,

2). $(\ln |t|)'=\frac{1}{t}$, $\Rightarrow$ $\quad\int
\frac{1}{t}\,dt=\ln |t|+C$,

3). $(e^t)'=e^t$, $\Rightarrow$ $\quad\int e^t\,dt=e^t+C$,

4). $(\frac{a^t}{\ln a})'=a^t$, $\Rightarrow$ $\quad\int
a^t\,dt=\frac{a^t}{\ln a}+C$, $a>0$, $a\ne 1$,

5). $(\sin t)'=\cos t$, $\Rightarrow$ $\quad\int \cos t\,dt=\sin
t+C$,

6). $(-\cos t)'=\sin t$, $\Rightarrow$ $\quad\int \sin t\,dt=-\cos
t+C$,

7). $({\rm tg}\,t)'=\frac{1}{(\cos t)^2}$, $\Rightarrow$
$\quad\int \frac{1}{(\cos t)^2}\,dt={\rm tg}\,t+C$,

8). $(-{\rm ctg}\,t)'=\frac{1}{(\sin t)^2}$, $\Rightarrow$
$\quad\int \frac{1}{(\sin t)^2}dt=-{\rm ctg}\,t+C$,

9). $(\arcsin t)'=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$, $\Rightarrow$
$\quad\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\arcsin t+C$,

10). $({\rm arctg} t)'=\frac{1}{1+t^2}$, $\Rightarrow$ $\quad\int
\frac{1}{1+t^2}dt={\rm arctg} t+C$,

11). $\int \frac{1}{1-t^2}dt=1/2\ln |\frac{1+t}{1-t}|+C$ (ўлб®ЄЁ©
«®Ј аЁд¬),

12). $\int \frac{1}{\sqrt{a+t^2}}dt=\ln|t+\sqrt{a+t^2}|+C$
(¤«Ё­­л© «®Ј аЁд¬).

…йҐ ®¤­Ё¬ ў ¦­л¬ бў®©бвў®¬ ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа « , пў«пойЁ¬бп
б«Ґ¤бвўЁҐ¬ ў§ Ё¬­®© ®Ўа вЁ¬®бвЁ ®ЇҐа жЁ© Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп Ё
¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп, пў«пҐвбп в Є ­ §лў Ґ¬ п ­Ґ§ ўЁбЁ¬®бвм ўЁ¤ 
­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа «  ®в ўлЎ®а   аЈг¬Ґ­в  Ё«Ё д®а¬г«  § ¬Ґ­л
ЇҐаҐ¬Ґ­­®©. Џ® бгйҐбвўг нв® бў®©бвў® пў«пҐвбп ®ва ¦Ґ­ЁҐ¬ бў®©бвў 
Ё­ў аЁ ­в­®бвЁ ўЁ¤  1-Ј® ¤ЁддҐаҐ­жЁ «  ®в ўлЎ®а   аЈг¬Ґ­в .
‚бЇ®¬­Ё¬ Є Є ўлЈ«п¤Ёв нв  Ё­ў аЁ ­в­®бвм: Їгбвм $F\in D\langle
a,b\rangle$, $\phi:\langle c,d\rangle\to\langle a,b\rangle$ --
¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 п дг­ЄжЁп. ЋЎа §гҐ¬ б«®¦­го дг­ЄжЁо $G:\langle
c,d\rangle\to\RR$, $G(x)=F(\phi(x))$. ’®Ј¤ 
$$dG(x)=F'(\phi(x))\phi'(x)\,dx=F'(\phi(x))\,d\phi(x)=
F'(t)\,dt,$$ Ј¤Ґ $t=\phi(x)$. Џ®н⮬г $G(x)$ -- ЇҐаў®®Ўа §­ п ¤«п
дг­ЄжЁЁ $F'(\phi(x))\phi'(x)$ Ё ўлЇ®«­повбп а ўҐ­бвў  $$\int
G'(x)\,dx=\int F'(\phi(x))\phi'(x)\,dx= \int
F'(t)|_{t=\phi(x)}(dt)|_{t=\phi(x)}=F(t)|_{t=\phi(x)}+C.$$ ќв 
д®а¬г«  Ё ­ §лў Ґвбп д®а¬г«®© § ¬Ґ­л ЇҐаҐ¬Ґ­­®©. ђ бᬮваЁ¬ ЇаЁ¬Ґа
ҐҐ ЁбЇ®«м§®ў ­Ёп: $$\int\sin x\cos x\,dx=\int\sin x\,d\sin x= \int
t\,dt=t^2/2|_{t=\sin x}+C=1/2\sin^2 x+C.$$ „агЈЁҐ ЇаЁ¬Ґал, б ­Ґ©
бўп§ ­­лҐ, ¬®Јгв Ўлвм ®б­®ў ­л ­  а ўҐ­бвў е

1). $dx=d(x+b)=dt$, $b$ -- Є®­бв ­в , $t=x+b$,

2). $dx=\frac 1a d(ax)=dt$, $a\ne 0$ -- Є®­бв ­в , $t=ax$,

3). $dx=\frac 1a d(ax+b)=dt$, $a\ne 0$, $t=ax+b$,

4). $x\,dx=1/2\,d(x^2)=dt$, $t=x^2$,

5). $\sin x\,dx=-d(\cos x)=dt$, $t=\cos x$,

6). $\cos x\,dx=d(\sin x)=dt$, $t=\sin x$.\\ Љ ®б­®ў­л¬ ЇаЁҐ¬ ¬
­ е®¦¤Ґ­Ёп ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­ле Ё­вҐЈа «®ў ®в­®бпвбп, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,

1. ЊҐв®¤ а §«®¦Ґ­Ёп. …б«Ё $f=f_1+f_2$, $f_1$, $f_2$ Ё¬Ґов
ЇҐаў®®Ўа §­лҐ ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $\langle a,b\rangle$, в® $$\int
f\,dt=\int f_1\,dt+\int f_2\,dt.$$

2. ЊҐв®¤ Ї®¤бв ­®ўЄЁ (§ ¬Ґ­л ЇҐаҐ¬Ґ­­®©). Џгбвм $f$ Ё¬ҐҐв
ЇҐаў®®Ўа §­го ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $\langle a,b\rangle$, $\phi:\langle
c,d\rangle\to\langle a,b\rangle$ -- ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 п дг­ЄжЁп.
’®Ј¤  $$\int f(t)\,dt=\int f(\phi(x))\phi'(x)\,dx,$$ $$\int
t\sqrt{t-5}\,dt=\int (x^2+5)x(2x)\,dx=
(2x^5/5+10x^3/3+C)|_{t=x^2+5}=
\frac{2(t-5)^{5/2}}5+\frac{10(t-5)^{3/2}}3+C.$$

3. ЊҐв®¤ Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп Ї® з бвп¬. Џгбвм $f$, $g$ -- ­ҐЇаҐалў­®
¤ЁддҐаҐ­жЁагҐ¬лҐ ­  $\langle a,b\rangle$ дг­ЄжЁЁ. Џ® Їа ўЁ«г
¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп дг­ЄжЁ© $d(f\cdot g)=g\, df+f\,dg$.
Џ®н⮬г $$\int f\,dg=\int d(f\cdot g)-\int g\,df=f\cdot g-\int
g\,df.$$ ќв  д®а¬г«  ­®бЁв ­ §ў ­ЁҐ д®а¬г«л Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп Ї®
з бвп¬. ЏаЁ¬Ґа ҐҐ ЁбЇ®«м§®ў ­Ёп: $$\int\ln t\,dt=t\ln t-\int
t\cdot \frac 1t\,dt= t\ln t-t+C.$$