Добавил:
Studfiles2
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ВВЕДЕНИЕ В ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ / s2lma3
.tex\vspace{0.5in}
\noindent ‹…Љ–€џ 2.3. {\it Њ®Ј®з«Ґл. ’Ґ®аҐ¬ ЃҐ§г. Ћб®ў п
⥮६ «ЈҐЎал. ђ §«®¦ҐЁҐ ¬®Ј®з«Ґ «ЁҐ©лҐ ¬®¦ЁвҐ«Ё ў
Ї®«Ґ Є®¬Ї«ҐЄбле зЁбҐ«. Џа®бвлҐ Ё Єа влҐ Є®аЁ ¬®Ј®з«Ґ .
ђ §«®¦ҐЁҐ ¬®Ј®з«Ґ б ¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё Є®нддЁжЁҐв ¬Ё «ЁҐ©лҐ
Ё Єў ¤а вЁзлҐ ¬®¦ЁвҐ«Ё. ђ жЁ® «млҐ дгЄжЁЁ. „Ґ«ҐЁҐ
¬®Ј®з«Ґ®ў, ўл¤Ґ«ҐЁҐ 楫®© з бвЁ а жЁ® «м®© дгЄжЁЁ.
Џа ўЁ«млҐ а жЁ® «млҐ дгЄжЁЁ, Ёе а §«®¦ҐЁҐ Їа®б⥩訥.}
Њ®Ј®з«Ґл ( «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ) ЇҐаҐ¬Ґ®© $x\in\RR$ ®в®бпв Є зЁб«г
Їа®б⥩иЁе дгЄжЁ© ®¤®© ¤Ґ©б⢨⥫쮩 ЇҐаҐ¬Ґ®©. ЋЎйЁ© ўЁ¤
в Є®© дгЄжЁЁ б«Ґ¤гойЁ©:
$$p(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\dots+a_{m-1}x+a_m,\eqno (1)$$ Ј¤Ґ
$m\in\NN$, Є®нддЁжЁҐвл $a_0,a_1,\dots,a_m\in\RR$ -- Ї®бв®плҐ
зЁб« , $a_0\ne 0$ (¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ $m$). …Ґ ®Ў« бвмо ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп
пў«пҐвбп ўбп зЁб«®ў п ®бм, ®Ў« бвмо § 票© -- ¤Ґ©б⢨⥫млҐ
зЁб« . Ћ¤ Є® Ї®б«Ґ в®Ј® Є Є ¬л а бᬮв५Ё Ї®пвЁҐ Є®¬Ї«ҐЄб®Ј®
зЁб« , бв ®ўЁвбп ҐбвҐбвўҐл¬ а бЇа®бва Ёвм ®Ў« бвм ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп
дгЄжЁЁ (1) ¬®¦Ґбвў® $\CC$ Є®¬Ї«ҐЄбле зЁбҐ«. ЏаЁ н⮬
®Ў« бвмо § 票© (1) бв ®ўЁвбп ¬®¦Ґбвў® $\CC$, б ¬Ё
¬®Ј®з«Ґл Ё®Ј¤ §лў ов дгЄжЁп¬Ё Є®¬Ї«ҐЄб®© ЇҐаҐ¬Ґ®© $z$.
‘«Ґ¤гойЁ© и Ј, Є®в®ал© Ґ®Ўе®¤Ё¬® ᤥ« вм ЇаЁ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁЁ
¬®Ј®з«Ґ , -- а биЁаЁвм ®Ў« бвм § ¤ Ёп Є®нддЁжЁҐв®ў
$a_0,a_1,\dots,a_m$ б $\RR$ ¬®¦Ґбвў® $\CC$. ЏаЁ в Є®¬
а биЁаҐЁЁ Ё®Ј¤ бв а овбп ®Ў®§ з вм Є ЄЁҐ б®Ўб⢥® ¬®Ј®з«Ґл
а бб¬ ваЁў овбп ў в®© Ё«Ё Ё®© § ¤ зҐ, ЇаЁў«ҐЄ п ¤«п нв®Ј®
®Ў®§ 票п:
¬®Ј®з«Ґ ¤Ґ©б⢨⥫쮣® ЇҐаҐ¬Ґ®Ј® б ¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё
Є®нддЁжЁҐв ¬Ё,
¬®Ј®з«Ґ Є®¬Ї«ҐЄб®Ј® ЇҐаҐ¬Ґ®Ј® б ¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё
Є®нддЁжЁҐв ¬Ё,
¬®Ј®з«Ґ Є®¬Ї«ҐЄб®Ј® ЇҐаҐ¬Ґ®Ј® б Є®¬Ї«ҐЄбл¬Ё Є®нддЁжЁҐв ¬Ё Ё
в. Ї.\\ Ћб®ў п § ¤ з , б Є®в®а®© ЇаЁе®¤Ёвбп Ё¬Ґвм ¤Ґ«® ЇаЁ
а Ў®вҐ б «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁ¬Ё ¬®Ј®з«Ґ ¬Ё, -- нв® § ¤ з Ї®ЁбЄ Є®аҐ©
нв®Ј® ¬®Ј®з«Ґ . Љ®аҐ¬ «ЈҐЎа ЁзҐбЄ®Ј® ¬®Ј®з«Ґ $p(z)$ ўЁ¤
(1) §лў ов зЁб«® $z_0\in\CC$, ¤«п Є®в®а®Ј® $p(z_0)=0$. …б«Ё
г¤ Ґвбп ©вЁ в Є®Ґ $z_0$, в® Ёбе®¤л© ¬®Ј®з«Ґ (1) ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ЇЁб ў ўЁ¤Ґ $$p(z)=q(z)\cdot(z-z_0),\eqno (2)$$ Ј¤Ґ
$q(z)=b_0z^{m-1}+b_1z^{m-2}+\dots+b_{m-1}$ -- ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ
$(m-1)$ б Є®¬Ї«ҐЄбл¬Ё, ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, Є®нддЁжЁҐв ¬Ё. ‚®§¬®¦®бвм
в Є®© § ЇЁбЁ ®ЎҐбЇҐзЁў Ґвбп е®а®и® Ё§ўҐбвл¬ «Ј®аЁв¬®¬ ¤Ґ«ҐЁп
¬®Ј®з«Ґ $p(z)$ «ЁҐ©л© ¬®Ј®з«Ґ $(z-z_0)$ "ў бв®«ЎЁЄ". ‘
нвЁ¬ «Ј®аЁв¬®¬ вҐб® бўп§ ⥮६ "®Ў ®бв вЄҐ" ¤Ґ«ҐЁп
¬®Ј®з«Ґ $p(z)$ Їа®Ё§ў®«мл© «ЁҐ©л© ¬®Ј®з«Ґ $(z-z_1)$:\\
’Ґ®аҐ¬ 1. (ЃҐ§г) Ћбв в®Є ®в ¤Ґ«ҐЁп ¬®Ј®з«Ґ $p(z)$ б⥯ҐЁ $m$
Ё§ (1) $(z-z_1)$ а ўҐ $p(z_1)$. ќв® ў в®з®бвЁ ®§ з Ґв, зв®
$$\frac{p(z)}{z-z_1}=r(z)+\frac{p(z_1)}{z-z_1},$$ Ј¤Ґ $r(z)$ --
ҐЄ®в®ал© ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ $(m-1)$.\\ $\lhd$: ђ бᬮваЁ¬ а §®бвм
$$p(z)-p(z_1)=a_0(z^m-z_1^m)+a_1(z^{m-1}-z_1^{m-1})+\dots+
a_{m-1}(z-z_1).\eqno (3)$$ €§ нв®Ј® ЇаҐ¤бв ў«ҐЁп ўЁ¤®, зв®
®в®иҐЁҐ $(p(z)-p(z_1))/(z-z_1)$ § ЇЁблў Ґвбп Є Є б㬬 ¤а®ЎҐ©
$(z^k-z_1^k)/(z-z_1)$ б Є®нддЁжЁҐв ¬Ё $a_k$, $k=0,\dots, m-1$. €§
д®а¬г«л ¤«п бг¬¬л ЇҐаўле з«Ґ®ў ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®© Їа®ЈаҐббЁЁ (Ё«Ё
Їа®ўҐаЁў ҐЇ®б।б⢥®) «ҐЈЄ® Ї®«гзЁвм а ўҐбвў®
$$\frac{z^k-z_1^k}{z-z_1}=z_1^{k-1}+z_1^{k-2}z+z_1^{k-3}z^2+\dots
+z_1^{2}z^{k-3}+z_1z^{k-2}+z^{k-1},\quad k>1, \quad k\in\NN.\eqno
(4)$$ Џ®б«Ґ Ї®¤бв ®ў®Є (4) ў $(p(z)-p(z_1))/(z-z_1)$ Ї®«гзЁ¬, зв®
$$r(z)=\frac{p(z)-p(z_1)}{z-z_1}$$ -- ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ $(m-1)$,
зв® ¤®Є §лў Ґв ⥮६г. $\rhd$
Ћ¤®© Ё§ ®б®ўле ¤«п ¬®Ј®з«Ґ®ў пў«пҐвбп\\ ’Ґ®аҐ¬ 2. (®б®ў п
⥮६ «ЈҐЎал) ‚бпЄЁ© «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁ© ¬®Ј®з«Ґ (1) Ё¬ҐҐв е®вп Ўл
®¤Ё Є®аҐм ¬®¦Ґб⢥ Є®¬Ї«ҐЄбле зЁбҐ«. (ЎҐ§ ¤®Є § ⥫мбвў ).
ЏаЁ¬Ґпп Ї®ЇҐаҐ¬Ґ® нв®в १г«мв в Ё а §«®¦ҐЁҐ (2) Ї®«гзЁ¬\\
‘«Ґ¤бвўЁҐ. ‚бпЄЁ© «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁ© ¬®Ј®з«Ґ (1) ¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб
ў ўЁ¤Ґ $$p(z)=a_0(z-z_1)\cdot(z-z_2)\cdot\dots\cdot(z-z_m),\eqno
(5)$$ Ј¤Ґ $z_1,z_2,\dots,z_m\in\CC$ -- m Є®аҐ© ¬®Ј®з«Ґ $p(z)$,
б।Ё Є®в®але ¬®Јгв Ўлвм Ё б®ўЇ ¤ ойЁҐ. ’ Є®Ґ а §«®¦ҐЁҐ
§лў Ґвбп а §«®¦ҐЁҐ¬ «ЁҐ©лҐ ¬®¦ЁвҐ«Ё ¬®Ј®з«Ґ $p(z)$ ў
Їа®бва б⢥ Є®¬Ї«ҐЄбле зЁбҐ«.
ЏаҐ®Ўа §гҐ¬ (5), ЈагЇЇЁагп ®¤Ё Є®ўлҐ ᮬ®¦ЁвҐ«Ё, Ґб«Ё в ЄЁҐ
©¤гвбп: $$p(z)=a_0(z-z_1)^{m_1}\cdot(z-z_2)^{m_2}\cdot\dots$$ ‚
н⮬ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁЁ Є®аҐм б Ё¤ҐЄб®¬ $j$ §лў Ґвбп Їа®бвл¬, Ґб«Ё
$m_j=1$ Ё §лў Ґвбп Єа вл¬, Ґб«Ё $m_j>1$. €®Ј¤ в Є®© Є®аҐм
§лў ов ҐйҐ Є®аҐ¬ Єа в®бвЁ $m_j$.
‘¤Ґ« Ґ¬ ў ¦®Ґ § ¬Ґз ЁҐ ® а §«®¦ҐЁЁ ¬®¦ЁвҐ«Ё ¬®Ј®з«Ґ (1)
б ¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё Є®нддЁжЁҐв ¬Ё. …б«Ё ўбҐ Є®аЁ (1) ®Є § «Ёбм
¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё, в® (5) -- а §«®¦ҐЁҐ (1) «ЁҐ©лҐ ¬®¦ЁвҐ«Ё
¬®Ј®з«Ґ $p(z)$ ў Їа®бва б⢥ ¤Ґ©б⢨⥫мле зЁбҐ«. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬
б।Ё Є®аҐ© (1) Ё¬Ґовбп Є®¬Ї«ҐЄблҐ Ё $z_1$ -- ®¤Ё Ё§ Ёе. ’®Ј¤
$$p(z_1)=0.$$ ’ Є Є Є $p(z)$ -- ¬®Ј®з«Ґ б ¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё
Є®нддЁжЁҐв ¬Ё, в® Ї® Їа ўЁ« ¬ ¤Ґ©бвўЁ© б Є®¬Ї«ҐЄбл¬Ё зЁб« ¬Ё
$$0=\bar{0}=\overline{p(z_1)}=
\overline{a_0z_1^m+a_1z_1^{m-1}+\dots+a_{m-1}z_1+a_m}=
a_0(\bar{z}_1)^m+a_1(\bar{z}_1)^{m-1}+\dots+a_{m-1}\bar{z}_1+a_m.$$
Џ®н⮬г $p(\bar{z}_1)=0$ Ё $\bar{z}_1$ -- в Є¦Ґ пў«пҐвбп Є®аҐ¬
¬®Ј®з«Ґ (1). ќв® ®§ з Ґв, зв® $p(z)$ ¤Ґ«Ёвбп ЎҐ§ ®бв вЄ
Єў ¤а вл© ваҐез«Ґ $$s(x)=(x-z_1)(x-\bar{z}_1)= x^2-(2{\rm
Re}\,z_1)x+|z_1|^2$$ б ¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё Є®нддЁжЁҐв ¬Ё $1$, $-2{\rm
Re}\,z_1$, $|z_1|^2$. ЏаЁ¬Ґпп «Ј®аЁв¬ ¤Ґ«ҐЁп ¬®Ј®з«Ґ $p(x)$
Ё§ (1) $s(x)$ "ў бв®«ЎЁЄ" Ї®«гзЁ¬, зв® $p(x)=s(x)\cdot r(x)$,
Ј¤Ґ $r(x)$ -- ¬®Ј®з«Ґ б⥯ҐЁ $(m-2)$ б ¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё
Є®нддЁжЁҐв ¬Ё. Џ®ўв®апп нвг Їа®жҐ¤гаг Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м® ҐбЄ®«мЄ®
а § ¬л ЇаЁ©¤Ґ¬ Є б«Ґ¤го饬г १г«мв вг\\ ’Ґ®аҐ¬ . ‚бпЄЁ© ¬®Ј®з«Ґ
$p(x)$, $a_0=1$, ўЁ¤ (1) б ўҐйҐб⢥묨 Є®нддЁжЁҐв ¬Ё
а бЄ« ¤лў Ґвбп Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ «ЁҐ©ле ᮬ®¦ЁвҐ«Ґ© ўЁ¤ $(x-a)$,
$a\in\RR$, Ё«Ё Єў ¤а вЁзле ᮬ®¦ЁвҐ«Ґ© ўЁ¤ $(x^2+ax+b)$, $\
a,b\in\RR$, $a^2-4b<0$. ЏаЁ н⮬ б।Ё в ЄЁе ᮬ®¦ЁвҐ«Ґ© ¬®Јгв
Ўлвм Ё б®ўЇ ¤ ойЁҐ.
‘®ў®ЄгЇ®бвм «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁе ¬®Ј®з«Ґ®ў б⥯ҐЁ {\bf Ґ ўлиҐ} $m$
ЇаЁпв® ®Ў®§ з вм бЁ¬ў®«®¬ ${\cal P}_m$. ‘Ё¬ў®«®¬ ${\cal
R}_{m,n}$, $\ m,n\in\ZZ_+$, ЇаЁпв® ®Ў®§ з вм б®ў®ЄгЇ®бвм ¤а®ЎҐ©
ўЁ¤ $p(x)/q(x)$, $p(x)\in{\cal P}_m$, $q(x)\in{\cal P}_n$. ќв
а жЁ® «м п ¤а®Ўм §лў Ґвбп Їа ўЁ«м®©, Ґб«Ё $m<n$. Ћ
§лў Ґвбп ¤Ґ©б⢨⥫쮩, Ґб«Ё ¬®Ј®з«Ґл $p(x)$, $q(x)$ пў«повбп
¬®Ј®з«Ґ ¬Ё б ¤Ґ©б⢨⥫мл¬Ё Є®нддЁжЁҐв ¬Ё. ђ жЁ® «млҐ ¤а®ЎЁ
ўЁ¤ $$\frac{A}{(x-a)^k},\quad \frac{Mx+N}{(x^2+ux+v)^s},$$ Ј¤Ґ
$k,s\in\NN$, $A,M,N\in\RR$, $a,u,v\in\RR$, $u^2-4v<0$, §лў овбп
н«Ґ¬Ґв ал¬Ё ¤а®Ўп¬Ё.
Џгбвм ⥯Ґам $p(x)/q(x)$ -- Їа®Ё§ў®«м п ¤Ґ©б⢨⥫м п ¤а®Ўм Ё§
${\cal R}_{m,n}$, $p(x)$ Ё $q(x)$ Ґ Ё¬Ґов ®ЎйЁе ¬®¦ЁвҐ«Ґ©. …б«Ё
® Ґ пў«пҐвбп Їа ўЁ«м®©, в®, ®бгйҐбвў«пп ¤Ґ«ҐЁҐ ¬®Ј®з«Ґ
$p(x)$ $q(x)$, ЇаЁўҐ¤Ґ¬ ҐҐ Є ўЁ¤г
$$p(x)/q(x)=r(x)+p_1(x)/q(x),$$ Ј¤Ґ $r(x)$ -- ¬®Ј®з«Ґ,
$p_1(x)/q(x)$ -- Їа ўЁ«м п а жЁ® «м п ¤а®Ўм (¬®Ј®з«Ґ $p_1(x)$
ЇаЁ н⮬ §лў ов ®бв вЄ®¬ ®в ¤Ґ«ҐЁп). Џгбвм $a$ --
¤Ґ©б⢨⥫мл© Є®аҐм Єа в®бвЁ $k$ ¬®Ј®з«Ґ $q(x)=(x-a)^k
q_1(x)$. ’®Ј¤ ¤«п ҐЄ®в®а®Ј® $A\in\RR$ $$\frac{p_1(x)}{(x-a)^k
q_1(x)}= \frac{A}{(x-a)^k} +\frac{p_2(x)}{(x-a)^{k-1} q_1(x)}\eqno
(6)$$ Ё ў н⮬ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁЁ $\frac{p_2(x)}{(x-a)^{k-1} q_1(x)}$
-- Їа ўЁ«м п а жЁ® «м п ¤а®Ўм. „Ґ©б⢨⥫м®, Є Є®ў® Ўл Ё Ўл«®
$A\in\RR$ $$\frac{p_1(x)}{(x-a)^k q_1(x)}= \frac{A}{(x-a)^k}
+\frac{p_1(x)-Aq_1(x)}{(x-a)^{k} q_1(x)}$$ Ё
$\frac{p_1(x)-Aq_1(x)}{(x-a)^{k} q_1(x)}$ -- Їа ўЁ«м п ¤а®Ўм.
‚롥६ $A=p_1(a)/q_1(a)$. ’®Ј¤ зЁб«ЁвҐ«м Ё § ¬Ґ вҐ«м ¤а®ЎЁ
$\frac{p_1(x)-Aq_1(x)}{(x-a)^{k} q_1(x)}$ Ё¬Ґов ®ЎйЁ© ¬®¦ЁвҐ«м
$(x-a)$ (Ё, Ўлвм ¬®¦Ґв, ¤агЈЁҐ), зв® ¤®Є §лў Ґв (6).
Џгбвм ⥯Ґам $q(x)=(x^2+ux+v)^s q_1(x)$. ’®Ј¤
$$\frac{p_1(x)}{(x^2+ux+v)^s q_1(x)}= \frac{Mx+N}{(x^2+ux+v)^s}
+\frac{p_2(x)}{(x^2+ux+v)^{s-1} q_1(x)}\eqno (7)$$ Ё ў н⮬
ЇаҐ¤бв ў«ҐЁЁ $\frac{p_2(x)}{(x^2+ux+v)^{s-1} q_1(x)}$ --
Їа ўЁ«м п а жЁ® «м п ¤а®Ўм. „®Є § ⥫мбвў® (7) Їа®ў®¤Ёвбп Ї®
в®© ¦Ґ б奬Ґ, зв® Ё ¤®Є § ⥫мбвў® (6). (6) Ё (7) ў б®ў®ЄгЇ®бвЁ
Ї®§ў®«пов бд®а¬г«Ёа®ў вм в Є®© १г«мв в\\ ’Ґ®аҐ¬ 3. ‚бпЄ п
Їа ўЁ«м п ¤Ґ©б⢨⥫м п ¤а®Ўм а бЄ« ¤лў Ґвбп б㬬г
н«Ґ¬Ґв але ¤а®ЎҐ©.\\ ЏаЁўҐ¤Ґ¬ ЇаЁ¬Ґа ЁбЇ®«м§®ў Ёп нв®© ⥮६л.
Џгбвм $$\frac{p(x)}{q(x)}= \frac{2x-7}{(x+2)^2(x^2+x+1)^3}.$$
’®Ј¤ $$\frac{2x-7}{(x+2)^2(x^2+x+1)^3}=\frac{A_1}{(x+2)^2}+
\frac{A_2}{x+2}+ \frac{M_1x+N_1}{(x^2+x+1)^3}+
\frac{M_2x+N_2}{(x^2+x+1)^2}+ \frac{M_3x+N_3}{x^2+x+1}.\eqno (8)$$
—в®Ўл ©вЁ ҐЁ§ўҐбвлҐ $A_1$, $A_2$, $M_1,N_1$, $M_2,N_2$,
$M_3,N_3$ Ё§ $\RR$, Їа ўго з бвм нв®Ј® а ўҐбвў ЇаЁў®¤пв Є ®ЎйҐ¬г
§ ¬Ґ вҐ«о Ё а бЄалў ов бЄ®ЎЄЁ ў зЁб«ЁвҐ«Ґ. Џ®б«Ґ нв®Ј®
ўлЇЁблў ов бЁб⥬㠫ЁҐ©ле га ўҐЁ© $A_1$, $A_2$, $M_1$,
$N_1$, $M_2$, $N_2$, $M_3$, $N_3$, Ї®«гз ойгобп ЇаЁа ўЁў ЁҐ¬
Є®нддЁжЁҐв®ў ЇаЁ ®¤Ё Є®ў®© б⥯ҐЁ ЇҐаҐ¬Ґ®© $x$ ў зЁб«ЁвҐ«пе
«Ґў®© Ё Їа ў®© з бвЁ (8). ‘®Ј« ᮠ⥮६Ґ 3 нв бЁб⥬ Ё¬ҐҐв
аҐиҐЁҐ. €§«®¦Ґл© ¬Ґв®¤ 宦¤ҐЁп ЇаҐ¤бв ў«ҐЁп (8) (Ё Ґ¬г
Ї®¤®ЎлҐ) ®бпв §ў ЁҐ ¬Ґв®¤ Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґле Є®нддЁжЁҐв®ў. ‘ ¬®
¦Ґ а §«®¦ҐЁҐ ¤а®ЎЁ н«Ґ¬Ґв алҐ ЁЈа Ґв ў ¦го а®«м ЇаЁ
宦¤ҐЁЁ Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґле ЁвҐЈа «®ў ®в а жЁ® «мле дгЄжЁ©.
Соседние файлы в папке ВВЕДЕНИЕ В ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ