Глава 2. Эконометрика

В данной главе мы дадим характеристику зависимости размера стоимости потребительской корзины (в процентах) от размера прожиточного минимума (в процентах). Мы располагаем следующими исходными данными:

1997-1998 гг	X	Y
октябрь	99	100
ноябрь	101	100,5
декабрь	101	100,7
январь	100,7	101,1
февраль	100,4	100,8
март	100,7	100,4
апрель	101,2	99,7
май	100,7	100,2
июнь	100,2	100,3
июль	100,4	99,9
август	102,7	102,2
сентябрь	122,6	114,8
октябрь	103,8	104,8
ноябрь	108	103,1
декабрь	115,8	109,1

X – Темп роста прожиточного минимума (в процентах к предыдущему периоду)

Y – Темп роста стоимости потребительской корзины (в процентах к предыдущему периоду)

Мы рассчитаем параметры следующих функций:

1. Линейная – y= β0+ β1*X+ε

2. Равносторонняя гипербола - y= β0+ β1*1/X+ε

3. Полулогарифмическая - y= β0+ β1*ln X+ε

4. Полукорень - y= β0+ β1*√Х+ε

5. Степенная - y= β0+Х^ β1*ε

6. Показательная - y= β0*β1^X+ε

7. Экспонанта - y= β0*е^ β1*X+ε

8. Обратная - y=1/ β0+ β1*X+ε

Далее найдем показатели тесноты связи по каждой модели. Затем оценим для каждой модели показатели детерминации, оценим значимость модели при помощи F критерия. Найдем для каждой модели ошибку аппроксимации. И в конце наших расчетов и анализа выберем наилучшую модель.

1. Линейная – y= β0+ β1*X+ε

Приведем данное уравнение к эмпирическому виду: ŷ =b0+b1*X

b1	0,612403126	38,89022999	b0
Sb1	0,04006721	4,170229913	Sb0
R^2	0,947285781	1,002948776	S
F	233,6127775	13	n-2
Qr	234,9925521	13,0767812	Qe

Запишем эмпирическое уравнение регрессии: ŷ =38.89+0.612*Х

Для оценки тесноты связи найдем коэффициент корреляции:

rx y = 0,97

Можем сделать вывод, что связь обратная, стахостическая (вероятностная), линейная и тесная.

Найдем коэффициент детерминации:

R= rxy^2= 0,947

Изменение размера стоимости потребительской корзины на 94,7% изменением размера прожиточного минимума.

Оценим значимость модели при помощи F критерия:

H0: R=0 α=0,05 (надежность)

Н1: R≠0 n=15; m=2

F= 233,6 > F0,05;1;13=4.67

Связь существует, гипотеза Н1 принимается.

Найдем ошибку аппроксимации:

Ā=1/n*∑│ (YI – ŷi) / YI│* 100%

Ā=0.65%

То же самое проделаем и для остальных моделей.

2. Равносторонняя гипербола - y= β0+ β1*1/X+ε

b1	-7324,522951	173,2609168	b0
Sb1	520,969521	5,04031346	Sb0
R^2	0,938291222	1,08514641	S
F	197,6669479	13	n-2
Qr	232,7612778	15,30805551	Qe

ŷ =b0+b1*1/X

ŷ =173-7324.52*1/Х

r1/x y=0.969

R= r1/x y^2=0,938

H0: R=0 α=0,05 (надежность)

Н1: R≠0 n=15; m=2

F= 197.67 > F0,05;1;13=4.67

Связь существует, гипотеза Н1 принимается.

Ā=0.72%

3. Полулогарифмическая - y= β0+ β1*ln X+ε

ŷ =b0+b1*lnX

b1	67,11342933	-208,9962465	b0
Sb1	4,564339786	21,18680925	Sb0
R^2	0,943281869	1,040341252	S
F	216,2036028	13	n-2
Qr	233,9993044	14,07002898	Qe

ŷ =-209+67.1*lnХ

rlnx y=0,971

R= rlnx y^2=0,943

H0: R=0 α=0,05 (надежность)

Н1: R≠0 n=15; m=2

F= 216.2 > F0,05;1;13=4.67

Связь существует, гипотеза Н1 принимается.

Ā=0.69%

4. Полукорень - y= β0+ β1*√Х+ε

ŷ =b0+b1*√X

b1	12,82863266	-28,18492776	b0
Sb1	0,854978612	8,714073544	Sb0
R^2	0,945409975	1,020637476	S
F	225,1387437	13	n-2
Qr	234,5272222	13,54211114	Qe

ŷ =-28.18 + 12.83 *√Х

r√x y=0,972

R= r√x y^2=0,945

H0: R=0 α=0,05 (надежность)

Н1: R≠0 n=15; m=2

F= 165.44 > F0,05;1;10=6,61

Связь существует, гипотеза Н1 принимается.

Ā=0.67%

5. Степенная - y= β0+Х^ β1*ε

lnŷ =lnb0+b1*lnX

b1	0,630399325	1,703219413	b0
Sb1	0,042888174	0,199078862	Sb0
R^2	0,94324409	0,00977542	S
F	216,0510377	13	n-2
Qr	0,020645585	0,001242265	Qe

lnŷ =1.7 + 0.63*lnХ

ŷ=e^1.7 *x^-0.63

r lnx lny=0.971

R=0.943

H0: R=0 α=0,05 (надежность)

Н1: R≠0 n=15; m=2

F=216.05 > F0,05;1;10=4.67

Связь существует, гипотеза Н1 принимается.

Ā=0.67%

6) Показательная - y= β0*β1^X+ε

lnŷ =lnb0+X*b1

b1	0,005749857	4,031884474	b0
Sb1	0,000379389	0,039487128	Sb0
R^2	0,946434044	0,009496735	S
F	229,6914583	13	n-2
Qr	0,020715406	0,001172444	Qe

ŷ=e^4,03*(e^-0,006)^X

r x lny=0,973

R= 0,946

H0: R=0 α=0,05 (надежность)

Н1: R≠0 n=15; m=2

F= 229.69 > F0,05;1;10=4.67

Связь существует, гипотеза Н1 принимается.

Ā=0.63%

7. Экспонанта - y= β0*е^ β1*X+ε

Ln y=ln β0+ β1*X*ln e+ln ε → lne=1 → lnŷ =lnb0+X*b1

Идентично с показательной функцией: lnb0*n+lnb1*∑XI=∑ lnYI;

lnb0*∑XI+ lnb1*∑Xi ^2=∑ lnYI XI.

b1	0,005749857	4,031884474	b0
Sb1	0,000379389	0,039487128	Sb0
R^2	0,946434044	0,009496735	S
F	229,6914583	13	n-2
Qr	0,020715406	0,001172444	Qe

ŷ=e^4,03*(e^-0,006)^X

r x lny=0,973

R= 0,946

H0: R=0 α=0,05 (надежность)

Н1: R≠0 n=15; m=2

F= 229.69> F0,05;1;10=4.67

Связь существует, гипотеза Н1 принимается.

Ā=0.63%

7. Обратная - y=1/ β0+ β1*X+ε

1/ŷ=b0+X*b1

b1	-0.0001	0,015385603	b0
Sb1	3,62193E-06	0,000376974	Sb0
R^2	0,94486581	9,0663E-05	S
F	222,7883543	13	n-2
Qr	1,83127E-06	1,06857E-07	Qe

ŷ=1/( -0.015 +0.0001*X)

r x 1/y=0.97

R= 0,945

H0: R=0 α=0,05 (надежность)

Н1: R≠0 n=15; m=2

F= 222.79 > F0,05;1;10=4.67 Связь существует, гипотеза Н1 принимается.

Ā=0.62%

Таблица моделей

n	Тип модели	R²	F	Ā (%)
Линейная	ŷ =38.89+0.612*Х	0,947	233,6	0.65
Равносторонняя Гипербола	ŷ =173-7324.52*1/Х	0,938	197.67	0.72
Полулогарифмическая	ŷ =-209+67.1*lnХ	0,943	216.2	0.69
Полукорень	ŷ =-28.18 +12.83*√Х	0,945	165.44	0.67
Степенная	ŷ=e^1.7 *x^-0.63	0,946	216.05	0.67
Показательная	ŷ=e^4,03*(e^-0,006)^X	0,946	229.69	0.63
Обратная	ŷ=e^4,03*(e^-0,006)^X	0,946	229.69	0.63
Линейная	ŷ=1/(-0.015+0.0001*X)	0,945	222.79	0.62

Составим таблицу для выявления наилучшей модели:

Вывод: Проведя расчеты и анализ, мы можем констатировать то, что зависимость размера стоимости потребительской корзины от размера прожиточного минимума существует и она очень значима и велика.

Самая лучшая модель – это линейная модель, так как там мы получили самый большой коэффициент детерминации (0,947), то есть в данной модели изменение размера стоимости потребительской корзины на 94,7 % объясняется изменением размера прожиточного минимума.

Далее используем критерий Дарбина-Уотсона для проверки гипотезы о наличии автокорреляции в остатках.

где y_t+1 и y_t — соответствующие уровни динамического ряда.

H0 – в остатках нет автокорреляции;

H1 – в остатках есть положительная автокорреляция;

H*1 - в остатках есть отрицательная автокорреляция.

Из таблицы значений констант Дарбина - Уотсона dU и dL на 5% уровне соответственно равны 1,08 и 1,36. Таким образом, отрезок [0;4] делится на 5 интервалов, и фактическое значение d = 1,95 попадает в интервал между 1,36 и 2,92. Нет оснований отклонять гипотезу H0 (автокорреляция остатков отсутствует).

Коэффициент корреляции Пирсона

Рассчитаем коэффициент корреляции Пирсона, чтобы оценить линейную зависимость между темпом роста прожиточного минимума и темпом роста стоимости потребительской корзины.

Коэффициент корреляции Пирсона рассчитывается по формуле:

где

- средние значения выборок x и y;

- среднеквадратичные отклонения;

− называют также теснотой линейной связи.

• , тогда - линейно зависимы.

• , тогда - линейно независимы.

rxy = 0,973286073,

что говорит о высокой степени зависимости между данными показателями.

t - критерий Стьюдента

1. X* = 103,88 ; Y* = 102,51

2. Вычислим выборочную ковариацию:

K (X;Y) = 1/15 * [ (99-103.88) * (100-102.51) + … + (115.8-103.88) * (109.1-102.51) ] = 25,58

3) Найдем выборочные дисперсии:

D*x = 1/15 * [ (99-103.88)² + (101-103.88)² + … + (115.8-103.88)²] = 41,97

D*y = 3980,81

4) Вычислим выборочный коэффициент корреляции:

r (X;Y) = K (X;Y) / √ D*x* D*y = 25.58/ √41.97*3980.81 = 0,063

5) Вычислим наблюдаемое значение критерия:

tэмп = (r*√n-2) / √1-r² = (0.063*√13) / √(1-0.063)² = 0.23

6) tкр (0,05;13) = 2,16

7) Поскольку, |tэмп| = 0.23 < tкр = 2.16, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу H0: r = 0.

Таким образом, выясняем, что степень зависимости между данными показателями - темп роста прожиточного минимума и темп роста стоимости потребительской корзины – высокая.