3 семестp / Лекции / 2(Elektrostatika) / 20
.DOCИмеем закон полного тока в интегральной форме или в дифф. форме . Получим этот закон из 2-го фундам. св-ва Максвелла : (взяли div от обеих частей). «Очень формально» запишем (т. к то ; т.к , ) . ,
ÞÞ
-
Система уравнений (великого) Максвелла. Материальные соотношения
-
по 3 скалярных уравнения
-
-
-
Первый столбец- уравнения в интегральной форме, второй- в дифференциальной . Это не просто уравнения, а система уравнений, описывающих ЭМ поле. Итого имеем 8 скалярных уравнений с 12 переменными.
Т.к уравнения описывают ЭМ поле в материальной среде, необходимо добавить к ним материальные соотношения , , Теперь имеем 17 скал. ур-й с 12 неизв. Для полного счастья добавим еще ур-е непрерывности . Итого 18 ур-й с 16 неизвестными.
Покажем, что система уравнений может быть полностью замкнута и представлена в виде математ. задачи Коши (т. е. дифф. ур.+ начальные условия). Установим, что (4) - следствие (2), а (3)- следствие (1)
Итак, (взяли div от (1)) ÞÞ, т.к (из физики) Þ при t=0 Þур-е (3) явл. начальным . условием. для (1)
Аналогично берем div от (2) ур-я Þ . Сопоставляя это ур-е с , получаем
Þ. Т.к Þпри t=0 Þ ур-е (4) явл. начальным условием. для (2)
В итоге получена задача Коши для - 15 скал. ур-й с 15 неизвестными
при начальных данных :
при этом
-
Теорема о сохранении энергии Э/М поля (Пойнтинга)
Энергия . Т.к Þ имеются тепловые потери, их мощность .
или (ЗСЭ в интегральной форме) . При Þ(ЗСЭ в дифф. форме). Найдем физический смысл вектора :
. Т.к. и Þ
. Т.к (св-во rot)ÞÞ
. Сравнивая с Þ- вектор Пойнтинга.
Замечание. Аналогично теорема о сохранении импульса ЭМ поля была доказана великим Максвеллом :
-вектор импульса.