- •Теорема сложения скоростей.
- •Ускорение составного движения точки м, или абсолютное ускорение этой точки, равно, очевидно, производной от абсолютной скорости точки м по времени t
- •Поэтому, дифференцируя равенство по времени, получим
- •Разделим слагаемые правой части этого равенства на три группы.
- •К первой группе отнесем слагаемые, содержащие только производные от относительных координат X,y и z, но не содержащие производные от векторов :
- •Ко второй группе отнесем слагаемые, которые содержат только производные от векторов , но не содержащие производных от относительных координат X,y,z:
- •Каждая из выделенных групп представляет собой, по крайней мере по размерности, некоторое ускорение. Выясним физический смысл всех трех ускорений: .
- •Зависимости (1) называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.
- •Если движение точки происходит в плоскости ху, то задаются только два уравнения движения:
- •При прямолинейном движении точки достаточно задать одно уравнение движения:
- •Если принять, что ось х совпадает с прямой, по которой движется точка.
- •Скорость точки представляет собой вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данный момент времени.
- •При задании движения точки уравнениями (1) проекции скорости на оси декартовых координат равны:
- •Центр масс в мс и атт.
- •Масса системы. Центр масс.
- •Осевые моменты инерции мс, атт
- •Центробежные моменты инерции мс, атт.
Центр масс в мс и атт.
Масса системы. Центр масс.
Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему
.
В однородном поле тяжести, для которого , вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести:
, , . (1)
В полученные равенства входят только массы материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты этих точек. Следовательно, положение точки С (xC, yC, zC) действительно характеризует распределение масс в теле или в любой механической системе, если под , понимать соответственно массы и координаты точек этой системы.
Геометрическая точка С, координаты которой определяются указанными формулами, называется центром масс или центром инерции системы.
Положение центра масс определяется его радиус-вектором
,
где - радиус-векторы точек, образующих систему.
Хотя положение центра масс совпадает с положением центра тяжести тела, находящегося в однородном поле тяжести, понятия эти не являются тождественными. Понятие о центре тяжести, как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс, как о характеристике распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, причем, это понятие сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли данная система под действием каких-нибудь сил или нет.
Осевые моменты инерции мс, атт
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
где:
mi — масса i-й точки,
ri — расстояние от i-й точки до оси.
Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
где:
dm = ρdV — масса малого элемента объёма тела dV,
ρ — плотность,
r — расстояние от элемента dV до оси a.
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Центробежные моменты инерции мс, атт.
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.
Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.