Признак Лейбница.

Если для знакочередующегося ряда b1-b2+b3-b4+…(bn 0) выполняются условия:

1. b1 b2 b3 b4…;

2. , - то данный ряд сходится условно.

При этом 0 , а остаток

Ряд, удовл. Условию теоремы Лейбница, наз рядом Лейбница. Неравенство дает оценку остатка ряда Лейбница. В частности он определяет число слогаемых, необходимых для того, чтобы найти мумму данного ряда с заданной точностью .

21. Ряд U₁+U₂+..+Un+..= (1) называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U₁(Х)+U₂(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Признаки Д’Аламбера и Коши:

L(x)

Фун-ый ряд (1)сх-ся абс., если L(x) .

Фун-ый ряд (1) наз равномерно сх-ся в некоторой обл Д ф-ии S(x) , если для сущ. завис. от только и не завис. от х такой, что неравенство n .

Признак Вейерштрасса:если ряд (1) удовл. Неравенству при любых из области сх-ти и знакопол. ряд сх-ся. То ряд (1) сх-ся равномерно.

Свойства: Если ряд (1) с непрер. Членами сх-ся на множестве Д , то нго сумма S(x) непрерывна на Д. Если ряд (1) с непрерыв.фун-ми S(x) равномерно на отр. Ab то его можно почленно интег-ть .

. Если ряд (1) с непрер. Диф-ми на отр. ab фун-ми сх-ся к сумме S(x), а ряд из производных сх-ся на этом отрезке равномерно, то и сам ряд (1) сх-ся на ab равномерно, а его сумма S(x) –непрер.диф-ая ф-ия, для кот. выпол. (x)= .

22. Ряд вида наз степенным рядом. наз коэф. степ. ряда. При =0 получаем ряд .

Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X₀≠0, то он сходится при всех значениях Х таких что |Х|<|X₀|,2)Если степенной ряд расходится при Х=Х₁, то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х₁|.

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.

Свойства: степенной ряд сх-ся абс. и равномерно на любом отрезке внутри его интервала сх-ти. На любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R) степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке. Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

23. Ряд вида наз рядом Тейлора f(x) в окрест.т . Если , то получаем ряд Маклорена:

РядТейлора представляет данную ф-цию тогда и только тогда, когда где -остаточный член ф-лы Тейлора и . Если для любых все призв. ф-ции ограничены одной и той же константой M , то ряд Тейлора сходится к ф-ции в интервале Если степенной ряд по степеням сходится к ф-ции f(x) в окрестности точки то он является рядом Тейлора ф-ции f(x) в oкрестности этой точки.

Разложение в ряд Маклорена ф-ции e_­­^x, cos x, sin x

24. Периодическая ф-ия- ф-ия, описыв. период. процесс представ-ся каксумма конеч. или бескон. числа простых период. ф-ий (гармоник). Asin( ). Каждый гармоник можно предс. в виде acos . Сумма, разность, произвед. част. период-их ф-ий также явл. период. ф-ями.

Две ф-ии пространстве L2 наз ортогональным на отр.ab, если их скалярное произведение на отр.=0

( )=

Ортог.с-ма ф-ии на отр.ab наз. нормированной. если норма =1.

Полное. Бесконечное эвклидово простр.наз.Гильберттовым, т.е.гил-во простр.Н есть совокуп.элементов …любой природы, удовл.усл.:1.Н есть эвклидово простр.Н-полно в смысле метрики

Пусть f(x) заданоина промежутке

f(x) = Будем полагать, что правая састь уравн.сх-ся равномерно, тогда: ,

Достат. усл разлож. ф-ии ряда Фурье явл. теорема Дирихле: если 2 - период.ф-ия кусочногл.на (- ), то ее ряд Фурье сх-ся к f(x) в каждой точке ее непрер. и к значению , где х- точка первого рода, т.е. , при х= сумма ряда Фурье равна:

. Если же f(x) кусочногл.и непрерыв., то ряд Фурье сх-ся к f(x) равномерно. cosk .

26. Если f(x)-четное, то f(x)coskx- четное,а f(x)sinkx-нечетное. В этом случае , .

F(x)-нечетное, тогда f(x)sinkx-четное,а f(x)coskx-нечетное.

, .

Может оказаться, что ф-ия f(x) задана на отр.[0, ]и требуется разл.эту ф-ию в ряд Фурье на отр .Тогда зад-ую ф-ию f(x)на .[0, ] тем или иным образом доопределяют на отр. . Ряды по cos-ам и sin-ам.

27.Устоновим, что для 2 период. ф-ии среди всех тригономет. многочленов

найменшее сред. ариф. отклонение от f(x) имеют многочлен коэф.кот. есть коэф. Фурье для ф-ии f(x). Это св-во наз. экстремальным св-ом коэф. Фурье испол.для приближ.представ.период-их ф-ий в виде тригонометрич.многочленов.

f(x) .

Аналог ряда Фурье- интеграл Фурье, который дает разложение ф-ии по непрерыв.спектру частот.С помощью интег.Ф-ье, ряд Ф-ье переходит в преобразование Ф-ье и ф-ию f(x) предст. в виде непрерыв.совокуп.простейших ф-ий.

Достаточные условия предст.Ф-ье в ряд Ф-ье явл.след.ф-ии:

1-f(x) определена на всей оси OX и кусочнонепрер.на всех Ox.

2.f(x) абс-но интег-ма на всей числовой прямой (- ). .

3. На любом конеч. отрезке [-l,l] ф-ия кусочногл.

4.В точках непрерыв.интеграл Ф-ье определяется самой ф-ией f(x). А в точках разрыва полусуммой левосторон. и правостор. предела ф-ии в этих точках.

На любом конечном отрезке [-l,l] f(x) предс-ся рядом Ф-ье: f(x)= ,

f(x)=

наз. интегралом косинус преобр.Ф-ье для f(x), а Ф( )= наз.синус преобразования Ф-ье.

28. Комп.числом z наз.упорядоченную пару чисел z=(x,y) если y=0, то z=(x,0)=0 получ.действит.числа, при x=0 получ.z=(0,y), эти числа наз.мнимыми числами.

Алгебраичная форма:z=x+iy.Знаки не прииен-ся.

Тригонометр.форма:z=x+iy=rcos

Показательная форма: z=r .

Плоскость на кот.изоьр.компл-ые числа наз.компл.плоскостью и обознач.буквой С.

29.Множ.,состоящее из внутр.точек,наз.открытым. Множество,состоящее из внутр. и грнич.точек наз.замкнутым и обознач. буквой Д. Множество наз.связным, если любая нго точка А может быть соединена с др.т В непрерывной кривой или ломаной полностью располож.в этом множестве.Областью на комп.плоск.наз.всякое открытое связанное множество.

КП w=f(z) наз.ф-ей КП z опрелен-ой на множ. Д. если по некот.правилу и закону каждому знач.z принадл-ему, Д ставится в соответ.одно или некот. совокуп. значение w .

Число А=a+bi наз. пределом ф-ии f(z) точки если для любого сущ. т.что для всех z выпол.неравенсто: , A= . Ф-ия f(z) определ-ая в некот. окрестности наз.непрерыв.в т. если .

30.Степенная ф-ия это однознач. ф-ия опред-ая и непрерыв.на всей расширенной плоскости .

Целая рац-ая ф-ия w=f(z)= , также однозн.ф-ия определ., непрерыв.на .

Дробно-рац-ая: w=f(z)= однозн.,определ и непрерыв. На всей за исключ.точек, в кот.знамен.оьращ.в ноль.

Показательная: w= = .

Тригонометрическая: sinz= cosz= , .

Гиперболич.:sinz= .

31.Логприфм-ая, w=Lnz,обратная для показательной ф-ии. W= Lnz=ln|z|+i(argz+2k )-многозначная ф-ия.

Степен.w= где z –ком.перем., -ком.число. w= .

Показат.:w= -многозн.ф-ия.

Обр.тригоном.:z=sinw= , w=Arcsinz=-iLn(iz ),w=Arccosz=iLn(z ).

Обр.гипербол.ф-ии:w=Arcshz=Ln(z+ ),w=Arcchz=Ln(z+ ) ,w=Atcthz= ,w=Arccthz= .

32.Ф-ию f(z), имеющуу в т. Z0 производ.наз. диф-ой (монотонной)

F(z0+ )-f(z0)= ,

-необх. и достаточ. Условие диф-ти ф-ии f(z)в т. Z0.A=

= , Условие Коши-Римона: = , , для показ-ой формы:z=r .

Ф-ия w=f(z) наз.аналит. т.z0 ,если она диф-ема в самой т.z0 и в некот.окрестн.этой точки. Уравнение Лапласа: . Ф-ии, удовлет. Уравн.Лапласа, наз. гармонические.

33.Производная ф-ии f(z) в т.z0 наз.число если этот предел сущ-ет.

K=| |= . Геометр-ий смысл модуля в том, что он равен коэф-ту растяж.бесконечномалых векторов в т.z0 при отображ.w=f(z) и не зависит от вида и направл.кривой, но кот.перемещ.т.z в плоскости z.Если то угол поворота в т. Z0 не зависит от кривой и равен arg , т.е. все кривые, прох-ие через т.z0 на плоск.z повор-сяпри отобр.w=f(z)на один и тот же угол= arg -в этом состоит геометр.смысл аргумента произв.аналит.ф-ии.

34.Ф-ия w=f(z)отобр-ет плоск.обл.Д на комп.плоск.в некотор.множ.точек комп.плоск.w.Отображение одной плоск.на другую наз.комформным в т.z, если все бесконечномалые дуги,вых-ие из этой точки при отображ.поворач-ся на один и тот же угол и получают одно и то же растяжение.

Линейная ф-ия w= 1-z1=

2-z2=rz1,3-z3=z2+

Дробнолин-ая ф-ия w= , .

–окружность, y =const-лучи,

35.Если сущ.конеч.предел интег-ой сумм Sn при незав-ый ни от способа разбиения кривой, ни от выбора точек то этот предел наз.интегралом ф-ии f(z)по кривой l. ,интеграл по разамкнутому контуру: = .

Св-ва:Линейность Адетивность: если l= то .

36. Теорема Коши для односв.обл.:Если f(z)-аналит.ф-ия в односв.обл.Д, то интеграл, взятый вдоль любого замк-го кусочногл.контура целиком принадл-го обл.Д=0. =0.Для любой внут.т.z0 f(z0)=

Для многосв.обл.:Пусть f(z) аналит.ф-ия в замк.многосв.обл.Д с границей Г где Г-внеш.контур обл.Д, а , тогда . Для любой внут.т.z0 f(z0)=

37. Исслед-ие рядов можно свести к исслед-ию соответ.числовых рядов действител.чисел.

,

функц-ый ряд. Ряд наз.сх-мся, если сущ. .Функ-ый ряд наз.равномерносх-мся в обл.д его сх-сти к сумме f(z), если можно указать номер N=N( ) что при всех n выпол.неравен.

|f(z)- =| || для

Числовой ряд:

Степенной ряд: . Степ.ряд сх-ся при |z-z0| при |z-z0| . R=

38. f(z)= =f(z0)+ - ряд Тейлора. Ряд справа сх-ся в круге |z-z0| , если z0=0. То получим ряд Маклорена. Ряд Лорана содержит и полож.и отриц.степ.z-z0 и в которой расклад.аналит. в кольце R , f(z)= -ряд Лорана. - правильная часть р.Лорана, кот.сх-ся в круге|z-z0| и главная часть р.Лорана, кот сх-ся во внеш.части круга |z-z0| .

Ln(1+z)=z- -…(

39. Нули, особые точки f(z) наз.изолиров., если каж. из них мож.окружить непересек-ся окружн.сколь малыми они бы не были.Изолир.особые точки:1-устраним. особая точ. 2-полюс. 3-существенноособая точка. z0- устран.точка,если сущ.конеч.предел , z наз. полюсом, если , z0 наз.сущест.особой точкой.если не сущ-ет.

Ряд Лорана : f(z)= )= .

40. Вычетом ф-ии f(z) относ-но особой точки z0 наз.коэф-т при слогаемом, содержащ. разложение ф-ии в ряд Лорана. Resf(z)при z=z0 равен . отличен от нуля, только если z0полюс или сущ.лслбая точка. Т. образом Resf(z)= . Устранимая особая точка вычет имеет: Resf(z)при z=z0= . Если z0- полюс порядка kто вычет опред. так: Resf(z)=

41. Пусть f(z) –аналит. ф-ия в односв.обл.Д за исключ.конеч. числа точек z1,z2… -замк-ыый положительноориен. Контур, распол-ый в обл.Д внутри которого содер.все особые точки, тогда:

2 .

42. F(p) = , завис-ий от комп.параметра P= .Этот интеграл наз.интегралом или преобр. Лапласа ф-ии f(t). F(p)наз. изобр.ф-ии по Лапласу, а f(t)наз. оригиналом. или F(p)=L .

Теорема сущест-ия изобр.: любой ориг.имеет изобр. Изобр.явл.аналит-ой ф-ей полуплоскости Rep .

Теорема смещения:если f(t)≓F(p), то для комплексных , где запаздывание изобр.на .

Теорема запаздывания:если f(t) оригинал. То f(t- ), тоже оригинал с элемент.,запаздыв=им на велич. и если f(t)≓F(p)

43. Если же f(t) с периодом T , то его изобр. Имеет вид f(t) ≓ .

Сверткой 2-х оригин. f1(t) и f2(t)наз.ф-ию,кот.запис.так: f1(t)* f2(t)= . Свертка облад.св-ми комутат-ти. линейности и осоциоц-ти.

Теорема смещения:если f(t)≓F(p), то для комплексных , где запаздывание изобр.на .

44.Теорема Бореля: Если f1(t) имеет изобр.F1(t) и f2(t) ≓ F2(t),то свертка f1(t) f2(t) ≓ F1(p) F2(p) и эта формула наз. ф-лой умножения изобр.

Интеграл Дюамеля: Если f1(t) непрерыв.. а f2(t) –непрерыв.диф. оригинал и М1(p) и М2(p)- их изобр., то pF1(p)F2(p) ≓ .

Сверткой 2-х оригин. f1(t) и f2(t)наз.ф-ию,кот.запис.так: f1(t)* f2(t)= . Свертка облад.св-ми комутат-ти. линейности и осоциоц-ти.