Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
15
Добавлен:
24.04.2014
Размер:
473.09 Кб
Скачать

Лабораторные работы по колебаниям и волнам

Лабораторная работа №4

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Цель работы

Определить частоту колебаний системы и частоту бие-ний в случае свободных колебаний. Построить амплитудно-частотную характеристику и определить резонансные час-тоты для вынужденных колебаний двух маятников, связан-ных упругой пружиной. Выполнить статистическую обра-ботку полученных экспериментальных данных и провести анализ результатов работы.

Методические и теоретические основы работы Свободные колебания маятников

Свободными называются колебания, происходящие в системе в отсутствии внешних сил. Два маятника, связан-ные упругой связью и обладающие двумя степенями свобо-ды, представляют собой колебательную систему, в которой может происходить перераспределение энергии. Число сте-пеней свободы – это минимальное число независимых ко-ординат, с помощью которых можно полностью описать состояние системы. В данной работе такая система реали-зована (рис. 4.1.а,б) в виде двух маятников 13, 14 с регу-лируемыми параметрами (длина, вес груза), связанных с по-мощью двух одинаковых пружин 17 и C-образной обоймы 11, закрепленной на стержне второго (более удаленного от наблюдателя) маятника 6. Пружины соединяют оконечные участки обоймы 11 со стержнем первого (более близкого к наблюдателю) маятника 12. Углы отклонения обоих маят-ников от положения равновесия будем считать положи-тельными при смещении маятников против движения часо-вой стрелки.

Каждый маятник участвует в периодическом вращатель-ном движении, которое может быть описано уравнением движения вращающегося тела (второй закон Ньютона):

, (4.1)

где – суммарный момент сил;

–момент инерции маятника;

–угловое ускорение;

–угловое смещение;

–текущее время.

Учитывая схему опыта (рис. 4.2), запишем уравнения движения в скалярном виде:

Учтем, что при малых углах и;и. Момент силы натяжения нитиравен нулю.

Тогда сила упругости равна

.

Заметим, что ошибки здесь нет, т.к. второй маятник от-клонен в противоположную сторону, .

Тогда взаимосвязь между моментами сил, действующими на первый и второй маятники, описывается следующими со-отношениями:

(4.2)

где ; ; ;

, – массы грузов первого и второго маятников соот-ветственно (13, 14);

, – расстояния от оси вращения до центров масс пер-вого и второго грузов;

– ускорение свободного падения тел;

– коэффициент жесткости одной из двух одинаковых пружин (17);

– расстояние от оси вращения до точки крепления пружин на стержне первого (12) маятника (А). На таком же расстоянии от оси должна быть укреплена обойма на стерж-не второго (6) маятника (В); ,,–определяются массой и геометрией каждого маятника.

Уравнения движения маятников, учитывая соотношение (4.1), имеют следующий вид:

(4.3)

Решение системы уравнений (4.3) существенно упро-щается, если ограничиться следующими условиями прове-дения опытов:

; .

При этом

; .

С учетом принятых обозначений, складывая и вычитая уравнения системы (4.3), получаем:

(4.4)

Каждое из уравнений (4.4) описывает гармонические ко-лебания с частотами ,.

Решения уравнений (4.4) имеют вид:

(4.5)

где ,,, – постоянные коэффициенты, определяе-мые из начальных условий. Меньшую из частот ,на-зывают основной. Именно с такой частотой будет колебать-ся каждый из маятников при отсутствии связи между ними. Величины частот и соответствующих им периодов коле-баний ,рассчитываются по следующим формулам:

; . (4.6)

Рассмотрим три основных случая колебаний: синфазные (первая мода), когда в начальный период оба маятника от-клонены на одинаковый угол относительно положения равновесия; встречные колебания (вторая мода), когда в ис-ходном положении оба маятника отклонены от положения равновесия на одинаковые углы (), но в разные стороны; и биения, когда начальное смещение одного из маятников равно нулю, а величины собственных частот маятников име-ют близкие значения, т.е.

.

При синфазных колебаниях начальные условия при имеют следующий вид:

(4.7)

Подставляя (4.7) в формулу (4.5) и решая систему урав-нений, находим:

; ;

; .

Таким образом, влияние связи при данном виде колеба-ний исчезает и длительности периодов колебаний маятни-ков имеют одинаковую величину и приближаются, в преде-лах точности эксперимента, к длительности периода мате-матического маятника такой же длины:

. (4.8)

Встречные колебания характеризуются следующими на-чальными условиями (при ):

,

. (4.9)

Подставляя (4.9) в (4.5), находим:

; .

Наличие связи между маятниками в этом случае уже су-щественно, как следует из анализа соотношения (4.6) для . Таким образом, каждый из маятников совершает гармо-нические колебания, период которых равен:

. (4.10)

Биения возникают при следующих начальных условиях:

;

. (4.11)

В этом случае решение системы уравнений (4.5) имеет вид:

; ;

(4.12)

Введем следующие обозначения:

–средняя частота колебаний маятника;

–частота "модуляции".

Тогда соотношения (4.12) принимают следующий вид:

(4.13)

Из анализа соотношений (4.13) следует, что они пред-ставляют собой гармонические колебания с частотой, ам-плитуда и фаза которых не остаются постоянными через про-межутки времени, равные произвольному целому числу пе-риодов. Колебания подобного типа широко используются в электросвязи, где их называют модулированными. Модуля-ция – это изменение параметров колебаний с частотами, зна-чительно меньшими частоты самих колебаний (). В зависимости от вида основного измеряемого параметра раз-личают амплитудную, частотную и фазовую модуляции. В рассматриваемом случае имеют место амплитудно-модули-рованные колебания, что представляется более наглядным при следующей форме записи соотношений (4.13):

(4.14)

где

(4.15)

При соблюдении условия

амплитуды колебаний иотносительно медленно изменяются в течение нескольких колебаний с частотой , т.е. уравнения (4.14) соответствуют почти гармоническим колебаниям. При этом каждый из маятников совершает колебания с периодом

(4.16)

а амплитудные значения колебаний изменяются в пределах от до , причем фазы изменений амплитуд, как показано на рис. 4.3, отличаются на .

Так как энергия гармонических колебаний пропорцио-нальна квадрату амплитуды, то, как показано на рис. 4.3, происходит периодическая передача энергии от одного маят-ника к другому. Длительность одного цикла передачи энер-гии от одного маятника к другому и обратно называется пе-риодом биений ().

Найдем зависимости, определяющие энергию каждого из маятников, полагая амплитуды и практически постоянными в течение одного цикла колебаний с частотой . С учетом данного упрощения, основанного на пренебре-жении энергией, передаваемой пружиной маятнику за один период колебаний, значения кинетических энергий маят-ников имеют следующий вид:

. (4.17)

, (4.17')

где иописываются соотношениями (4.14), а зна-чения иполагаются практически постоянными ве-личинами, т.е.

(4.18)

Потенциальная энергия каждого из маятников определя-ется следующими соотношениями:

(4.19)

Полная энергия каждого из маятников равна соответст-венно:

(4.20)

Cложив соотношения (4.20), получим выражение для полной энергии двух маятников:

. (4.21)

Разность энергий двух маятников с учетом соотношения

равна

(4.22)

Система уравнений (4.21) и (4.22) позволяет представить соотношение для полной энергии каждого из маятников в следующем виде:

(4.23)

Из анализа соотношений (4.21) и (4.23) следует, что пол-ная энергия системы остается с течением времени постоян-ной. Вместе с тем, имеет место передача энергии от одного маятника к другому с частотой биений, равной

(4.24)

Соотношение (4.24) можно записать в следующем виде:

,

следовательно,

. (4.25)

При прочих начальных условиях движение маятников опи-сывается сложными формулами, вид которых существенно зависит от условий связи маятников.

Вынужденные колебания

Вынужденные гармонические колебания возникают в тех случаях, когда колебательная система подвергается дейст-вию внешней силы, изменяющейся по закону:

. (4.26)

где – амплитуда внешней силы;

– частота вынуждающей силы.

Амплитуда колебаний системы зависит от частоты вы-нуждающей силы. Частота , при которой амплитуда коле-баний системы принимает наибольшее значение, называ-ется резонансной:

, (4.27)

где – частота собственных колебаний системы;

– коэффициент затухания.

В исследуемой колебательной системе величина отно-сительно мала и резонанс возникает на частотах, близких по величине к частотам ,,определяемым по формулам (4.6). При этом будет наблюдаться "двугорбый" резонанс, амплитудно-частотная характеристика которого имеет вид, изображенный на рис. 4.4, где – амплитуда колебаний на текущей частоте, а – наибольшая из амплитуд во всем диапазоне измерений.

При первом резонансе маятники будут иметь одинаковые фазы, но амплитуда колебаний первого маятни-ка будет больше, чем у второго. При втором резонансе ма-ятники будут иметь противоположные фазы, а частота бу-дет близкой к собственной частоте второго маятника.

Для проведения исследований вынужденных колебаний необходимо (см. рис. 4.1) с помощью двух одинаковых пру-жин 18 соединить обойму 10, укрепленную на вынуждаю-щем стержне 5 (третьем по счету от наблюдателя), со вто-рым стержнем 6 и включить прибор. Высота установки обоймы определяет амплитуду вынуждающей силы, а ско-рость вращения двигателя – частоту ее изменений.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Общий вид прибора FPM-13 для исследования свободных и вынужденных механических колебаний с двумя степеня-ми свободы представлен на рис. 4.1. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками, обеспечивающие выравнивание прибора. В основании прибора закреплена колонка 2. На колонке закреплена втулка 7 и кронштейн 3. На стержне 8 втулки находятся три подвески 9 на которых посредством шариковых подшипников установлены два маятника и стер-жень 5, возбуждающий колебания. Маятники состоят из стержней 6, 12 и перемещаемых грузов 13, 14.

Маятники сопряжены друг с другом при помощи двух пружин 17, закрепленных в специальной С-образной обой-ме 11, которую можно перемещать вдоль стержней маятни-ков. Возбуждение колебаний осуществляется при помощи приводного диска, закрепленного на вале электродвигателя, который, двигая стержень 5, сопряженный при помощи двух пружин 18 со стержнем маятника 6, возбуждает его колеба-ния. Электродвигатель находится в блоке управления и из-мерения 15. К нижнему кронштейну 3 прикреплена угловая шкала 16, при помощи которой определяется амплитуда ко-лебаний маятников. К нему также прикреплен фотоэлектри-ческий датчик 4, световой поток которого пересекает стер-жень 6 одного из совершающих колебания сопряженных ма-ятников. На лицевой панели приборов установлены пере-ключатели режимов работы, счетчики времени и числа пол-ных колебаний, а также регулятор скорости двигателя.

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Для проведения исследований связанных колебаний с по-мощью прибора FPM-13 необходимы 4 одинаковые пружи-ны и два груза, которые входят в комплект прибора. Перед началом работ необходимо убедиться, что прибор выровнен относительно несущей поверхности и стержни маятников параллельны друг другу. Регулировка положения стержней и выравнивание положения прибора могут выполняться только с разрешения лаборанта. Во время измерений нельзя сотрясать установку, т.к. это приводит к искажению резуль-татов эксперимента. Оба маятника при отсутствии связи между ними должны иметь равные периоды колебаний, что достигается установкой на стержне одинаковых грузов, удаленных на равные расстояния от оси вращения.

Свободные колебания маятников