-
Геометрический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов
Рассмотрим пространственный механизм со структурой «дерева». Такие модели используется для описания исполнительных механизмов промышленных роботов, грузоподъемных механизмов и т.п. (см., например, рис. 1.11 ).
Для построения функции положения воспользуемся следующим методом. Свяжем с некоторым s-м звеном исполнительного механизма систему координат 0sxsyszs, а со звеном (s–1) – систему координат 0s-1xs-1ys-1zs-1 (рис.2.13). Составим вспомогательную табличку, в которой укажем косинусы углов между осями s-й и (s–1)-й системами координат (табл. 2.1):
Таблица 2.1
|
Xs |
Ys |
Zs |
Xs-1 |
Cos(Xs-1,Xs) |
Cos(Xs-1,Ys) |
Cos(Xs-1,Zs) |
Ys-1 |
Cos(Ys-1,Xs) |
Cos(Ys-1,Ys) |
Cos(Ys-1,Zs) |
Zs-1 |
Cos(Zs-1,Xs) |
Cos(Zs-1,Ys) |
Cos(Zs-1,Zs) |
Обычно для краткости эти косинусы обозначают буквами (табл. 2.2):
Таблица 2.2
|
Xs |
Ys |
Zs |
Xs-1 |
11 |
12 |
13 |
Ys-1 |
21 |
22 |
23 |
Zs-1 |
31 |
32 |
33 |
Элементы этой таблицы имеют следующие свойства:
-
Сумма квадратов косинусов в каждой строке равна единице, т.е.
211 + 212 + 213 = 1;
221 + 222 + 223 = 1;
231 + 232 + 233 = 1;
-
Сумма попарных произведений равна 0, т.е.
11 21+ 1222 + 1323 = 0;
21 31+ 2232 + 2333 = 0;
11 31+ 1232 + 1333 = 0.
Таким образом, все элементы таблицы не являются независимыми, и их можно выразить через три параметра, например, через углы Эйлера.
Положение s-й системы координат относительно (s–1)-й определяется вектором , связывающим начала систем координат, и матрицей направляющих косинусов Аs-1,s, полученной из таблицы направляющих косинусов:
. (2.39)
Матрицы Аs-1,s обладают важным свойством. Если Аs-1,s и Аs,s+1 – матрицы направляющих косинусов между осями соответственно (s–1)-й и s-й (первая) и s-й и (s+1)-й (вторая) систем координат, то
Аs-1,s+1 = Аs-1,s Аs,s+1 . (2.40)
Пусть на s-м звене имеется некоторая точка М. Соединив ее с точками 0s-1 и 0s, построим векторы и . Для них можно записать следующее векторное равенство:
. (2.41)
Вектор может быть задан проекциями на оси какой-либо системы координат, например, (s–1)-й:
. (2.42)
Аналогично можно задать вектор проекциями на оси s-й системы координат:
, (2.43)
а вектор – проекциями на оси (s–1)-й системы координат:
. (2.44)
Используя представления (2.42–2.44), можно записать выражение (2.41) в проекциях на оси (s–1)-й системы координат:
(2.45)
Из (2.45) следует, что, если нам известно положение точки М на s-м звене и положение s-го звена относительно (s–1)-го, то можно получить координаты точки М на (s–1)-м звене. Перемещаясь далее к (s–2)-му , (s–3)-му и т.д. звеньям, можно дойти до стойки и получить координаты точки М в неподвижной системе.
В соотношении (2.45) есть некоторое неудобство, заключающееся в том, что операция умножения матриц чередуется с операцией сложения. Для того, чтобы оставить только операции умножения матриц, обычно вводят четырехмерные векторы-столбцы координат:
, , (2.46)
а также блочные матрицы 4х4:
. (2.47)
Матрицы Hs-1,s называются матрицами перехода от s-й системы координат к (s–1)-й системе. Тогда соотношение (2.45) можно записать в виде:
(2.48)
и т.д.
Перемножая последовательно матрицы перехода, можно дойти до неподвижной системы координат:
. (2.49)
Здесь – вектор-столбец координат точки М в системе, связанной со звеном n, а – вектор-столбец координат точки М в неподвижной системе. Таким образом, выражение (2.49) дает возможность построить функцию положения некоторой точки в явном виде. Для того, чтобы это сделать, нужно составить матрицы перехода. Рассмотрим подробнее матрицы перехода для двух наиболее часто встречающихся видов кинематических пар – вращательной и поступательной.