А.Н.Евграфов, г.Н.Петров. Теория механизмов и машин. Лекция 11.

4. Кинематика планетарных механизмов

С уществуют зубчатые механизмы, которые позволяют получать большие передаточные отношения при малых габаритах – это планетарные механизмы. Планетарными механизмами называют зубчатые механизмы с подвижными осями колес. Свое название они получили по аналогии с планетами Солнечной системы, которые вращаются вокруг светила. Рассмотрим механизм, представленный на рис. 3.29. Колесо с числом зубьев z₁ – центральное или солнечное. Вокруг него вращается колесо с числом зубьев z₂, называемое сателлитом (или планетным колесом). Его вынуждает вращаться вокруг солнечного колеса звено Н, называемое водилом. Сателлит зацепляется также с колесом внутреннего зацепления, имеющим число зубьев z₃.

Найдем число степеней подвижности этого механизма. Поскольку все звенья движутся в параллельных плоскостях, применим формулу Чебышева. Число звеньев N = 5, число низших кинематических пар р_н = 4, число высших кинематических пар р_в = 2:

Это означает, что для того, чтобы механизм был нормальным, надо задать два входа. Если одно из колес жестко связать со стойкой (например, ₃ = 0), то в механизме останется одна степень подвижности (W_пл = 3(4-1)-23-12=1). Планетарные механизмы с неподвижным зубчатым колесом называют эпициклическими. Если в планетарном механизме все колеса подвижные, то такие механизмы называют дифференциальными. В дифференциальных механизмах ведомое звено можно вращать, например, двумя двигателями.

В планетарных механизмах уже нельзя использовать формулы, полученные для определения передаточного отношения ряда зубчатых колес, т.е.

.

При определении передаточного отношения удобно пользоваться методом обращения движения: всем звеньям механизма, включая стойку, сообщается угловая скорость, равная угловой скорости водила _н и направленная в противоположную сторону. В таком обращенном механизме водило оказывается неподвижным, оси всех колес, включая сателлиты, также неподвижны, т.е. обращенный планетарный механизм стал рядом зубчатых колес. Для него можно записать:

(3.59)

Здесь - передаточное отношение от первого колеса к третьему при неподвижном водиле Н. В формуле (3.59) важно правильно определить знак. Правило следующее: в паре цилиндрических зубчатых колес внешнего зацепления направление вращения ведущего и ведомого колес противоположны, поэтому перед отношением ставится знак «минус»; в паре цилиндрических зубчатых колес внутреннего зацепления направление вращения ведущего и ведомого колес совпадает, поэтому перед отношением чисел зубьев ставится знак «плюс».

Используя выражение (3.59), найдем угловую скорость первого колеса:

(3.60)

Из (3.60), в частности, следует, что для определения угловой скорости ₁ надо задать две угловые скорости: _н и ₃. В эпициклическом механизме ₃ = 0 (или ₁ = 0).

В общем случае при кинематическом исследовании планетарных механизмов пользуются соотношением, известным под названием формулы Виллиса:

(3.61)

Р ассмотрим схему эпициклического механизма, известного под названием редуктора Давида (рис. 3.30). В нем 4 зубчатых колеса внешнего зацепления и водило Н. Колесо с числом зубьев z₄ неподвижное. Числа зубьев: z₁ = z₃ = 100, z₂ = 101, z₄ = 99. Найдем передаточное отношение от водила Н к колесу 1. Для этого воспользуемся соотношением (3.61):

Учитывая, что ₄ = 0, найдем отношение (т.е. при неподвижном 4-м колесе):

,

т.е. для того, чтобы 1-е колесо сделало 1 оборот, надо повернуть водило 10 000 раз. Если немного изменить условие: z₂ = z₄ = 100, тогда , т.е. ведомое колесо 1 остается неподвижным. На практике такие большие передаточные отношения трудно получить из-за высоких требований к точности изготовления зубчатых колес. Даже небольшие погрешности при высоких передаточных отношениях приводят к тому, что ведомое колесо ведет себя нестабильно и непредсказуемо: двигается рывками, останавливается и даже начинает вращаться в противоположную сторону! Поэтому обычно передаточное отношение в планетарных механизмах не превышает 150.