Скачиваний:
9
Добавлен:
19.07.2019
Размер:
424.45 Кб
Скачать

Глава 2. Геометрия и кинематика механизмов

    1. Геометрический анализ механизмов

Пусть задан некоторый механизм (рис.2.1): его структура и размеры звеньев, а также входная обобщенная координата q. Целью геометрического анализа является определение зависимостей выходных параметров (например, углов поворота 2 и 3 звеньев 2 и 3 или координат некоторой точки К) от координаты q. Зависимость выходных параметров от входных обобщенных координат механизма называется функцией положения механизма.

Для механизма, показанного на рис.2.1, функции положения могут быть записаны в общем виде:

(2.1)

Определение функций положения механизма составляет прямую задачу геометрического анализа. Если известен закон изменения входной координаты q1(t), то, решив прямую задачу, можно найти законы изменения выходных параметров хК(t)Хк[q1(t)], yK(t)Yk[q1(t)] и т.д. Рассмотрим последовательность составления функции положения.

  1. Проводится структурный анализ механизма. В шарнирном четырехзвеннике, как уже отмечалось, можно выделить однозвенную одноподвижную группу I, включающую в себя кривошип 1 и вращательную пару 0, и группу Ассура II типа ВВВ, содержащую звенья 2 и 3 и три вращательные пары А, В и С.

  2. В каждой структурной группе вводятся входные и выходные координаты. Входными координатами группы являются входные обобщенные координаты механизма, попавшие в данную группу (например, координата q1 в группе I на рис.2.1), и координаты, определяющие положение кинематических пар предыдущих групп, к которым присоединяется рассматриваемая группа (например, для группы II на рис.2.1 это координаты точек А и С: хА, уА, хС, уС).

Выходные координаты группы – координаты, определяющие положение кинематических пар, к которым присоединяются последующие группы, а также выходные координаты механизма (для группы I на рис.2.1 это координаты точки А: хА, уА; для группы II это, например, координаты точки К: хК, уК.

  1. Путем размыкания некоторых кинематических пар структурные группы приводят к открытым кинематическим цепям типа «дерево». Группа I на рис.2.1, присоединенная к стойке, уже образует структуру «дерева», поэтому в ней ничего размыкать не надо. В группе II размыкание можно провести, например, в шарнире В. Тогда, присоединив звено 3 к стойке или звено 2 к группе I, мы получим открытые кинематические цепи типа «дерево». При размыкании кинематических пар происходит размыкание связей; в частности, в плоских механизмах в одноподвижных парах размыкаются две связи, а в двухподвижных – одна. Таким образом, при размыкании шарнира В размыкаются две связи (хВ, уВ).

  2. Вводятся групповые координаты, определяющие, вместе с входными, положение звеньев «дерева». Число групповых координат должно быть равно числу разомкнутых связей (на рис.2.1 это углы 2 и 3).

  3. Составляются условия замыкания ранее разомкнутых связей и функции положения. Например, координаты точки В, принадлежащей звену 2, должны быть равны координатам точки В, принадлежащей звену 3: хВ2=хВ3, уВ2=уВ3. На основе этих условий получаются групповые уравнения, связывающие входные, выходные и групповые координаты структурной группы.

Введем обозначение: l1, l2, l3 – длины звеньев 1, 2 и 3. Тогда получим следующие соотношения для механизма на рис.2.1.

Функции положения для группы I:

(2.2)

Групповые уравнения для группы II:

(2.3)

Функции положения точки К группы II:

(2.3’)

Уравнения (2.3) получены из условия замыкания связей в шарнире В.

Уравнения (2.2) можно назвать функцией положения точки А. В этих уравнениях известны длина l1 и входная обобщенная координата q1; неизвестными являются координаты точки А. Таким образом, функция положения точки А получена в явном виде. К сожалению, это удается сделать только для некоторых самых простых механизмов и структурных групп. В уравнениях (2.3) заданными являются размеры звеньев l2 и l3 и координаты точек А и С; неизвестными являются выходные координаты 2 и 3; следовательно, уравнения (2.3) – это функции положения звеньев 2 и 3, полученные в неявном виде.

Если механизм обладает не одной, а W степенями подвижности, то входных обобщенных координат у него также W: q1, q2, … qW. Функции положения записываются в виде:

s=1, …, m, (2.4)

где m – число выходных координат.

Рассмотрим составление функций положения на примере плоской платформы (рис. 2.2). В главе 1 (п.5) было установлено, что число степеней подвижности платформы равно 3, следовательно, надо задать три входные обобщенные координаты: q1, q2, q3. Если это сделать так, как показано на рис.2.2, то механизм распадается на три структурные группы: однозвенные одноподвижные I и II и трехзвенную одноподвижную III. Введем входные и выходные координаты.

Группа I: входные координаты х0, у0, q1, выходные координаты хА, уА;

Группа II: входные координаты хЕ, уЕ, q2, выходные координаты xD, yD;

Группа III: входные координаты хА, уА, хD, yD, q3, выходные координаты хМ, уМ, 3.

Произведем размыкание группы III в шарнире C и введем групповые координаты: 2, 3, и 4. Запишем условия замыкания: xC3 = xC4, уC3 = yC4. Далее составим групповые уравнения:

Группа I:

Группа II:

Группа III: (2.5)

Дополнительное уравнение для углов получим из рис.2.2:

3 + q3 = 4. (2.6)

Часто в инженерной практике закон движения выходного звена уже задан в техническом задании; требуется определить закон изменения входных координат. Это вынуждает решать обратную задачу геометрического анализа: определение обобщенных входных координат в зависимости от выходных, т.е. отыскание функций:

qк = Фк(х1,…, хm), к = 1,…,W. (2.7)

Если число выходных координат m равно числу степеней подвижности W, то задача может иметь одно или несколько дискретных значений, т.е. функции Фк существуют как однозначные или многозначные. Если m>W, то задача в общем случае не имеет решения; при m<W некоторое число координат (а именно W-m) можно задать произвольно.

Рассмотрим решение обратной задачи геометрии на примере трехподвижной платформы. Заданными являются все размеры звеньев и выходные координаты: хМ, уМ, 3. Надо определить входные обобщенные координаты q1, q2, q3. Применим структурную инверсию, т.е. входными координатами будем считать хМ, уМ, 3, а выходными координатами – q1, q2, q3 (рис.2.3). В этом случае, как отмечалось в главе 1, механизм разбивается на три группы: I – однозвенная трехподвижная, II и III – двухзвенные группы Ассура типа ВВВ.

Составим уравнения для группы I:

(2.8)

Для группы II :

(2.9)

Для группы III:

(2.10)

Дополнительное уравнение для углов: 3 + q3 = 4.

    1. Решение групповых уравнений

Если групповые уравнения имеют решение, то оно, как правило, является не единственным. Рассмотрим пример (рис.2.4). Для точки А справедливы соотношения (2.2). Для точки В несложно получить групповые уравнения в виде:

Решаются эти уравнения достаточно просто: из второго уравнения находим sin2, потом находим , подставляем в первое выражение и находим xB. Двум значениям (положительному и отрицательному) соответствуют два значения xB и, соответственно, две конфигурации механизма: ползун находится либо справа от точки А, либо слева. Два решения можно найти и чисто графически, если провести дугу окружности радиуса АВ из центра А до пересечения с линией перемещения ползуна: АВ1 и АВ2.

Таким образом, одному значению входной обобщенной координаты q1 соответствуют два решения, из которых надо оставить одно, а второе отбросить. В рассматриваемом примере это сделать достаточно просто: надо выбрать нужный знак косинуса угла . Причем оказывается, что сделать это надо всего лишь один раз, и для любого положения механизма этот знак сохраняется. Механизм не может перескочить из одной конфигурации (ползун справа от точки А) в другую (ползун слева от точки А). Для того, чтобы это произошло, надо разобрать механизм, переставить звенья и собрать механизм снова. Поэтому такие конфигурации механизма называют сборками. В данном примере одной сборке соответствует знак «+» перед косинусом угла , а другой – знак «–». Выражение для косинуса угла при автоматизированном расчете удобно представлять в виде: , где способ сборки. Отметим, что в рассматриваемом механизме все-таки возможен переход из одного способа сборки в другой без разборки механизма, но только при одном соотношении параметров: ОА + е = АВ.

Для механизма, показанного на рис.2.1, уравнения (2.2) и (2.3) также могут иметь при одном и том же значении q1 два решения. Второму решению соответствует положение механизма АВ2С (рис.2.5). Положение механизма АВ1С соответствует одной сборке, а положение АВ2С – другой сборке того же механизма (и, соответственно, двум решениям групповых уравнений). Способ сборки назначается следующим образом. Условно было принято, что положение группы типа ВВВ, при котором обход шарниров в последовательности А,В,С происходит против часовой стрелки, соответствует способу сборки М=1 (положение АВ2С на рис.2.5); при обходе этих же шарниров по часовой стрелке способ сборки М=-1 (положение АВ1С на рис.2.5). Из рисунка можно видеть, что в случае, когда АВ+ВС=ОА+ОС, существует положение, при котором возможна утрата первоначального способа сборки и переход в положение с другим способом сборки. Такое положение называют особым или сингулярным. В механизме, в котором оно существует, после прохождения особого положения возможна перемена способа сборки и, следовательно, реализация побочного решения групповых уравнений. Соответственно, механизмом реализуется не та функция положения, которая ожидается. Поэтому при проектировании механизмов следует избегать такого сочетания размеров, при котором возможно особое положение. Далее будет показано, что в особом положении у механизма проявляются и другие негативные факторы. В тех редких случаях, когда все-таки приходится проектировать механизм с особым положением, следует предусмотреть конструктивные меры, однозначно определяющие способ сборки в каждом положении механизма.

В многоподвижных механизмах два неодинаковых решения групповых уравнений, соответствующих одному и тому же значению входных обобщенных координат, могут реализовываться без разборки механизма. Например, на рис.2.6 изображена трехподвижная платформа, в которой одному и тому же значению координат q1, q2 и q3 соответствует две разные конфигурации группы АВСD: АВ1С1D и АВ2С2D. Из рисунка нетрудно видеть, что для перехода из одной конфигурации в другую не требуется разбирать механизм; достаточно несколько раздвинуть шарниры А и D, варьируя координаты q1 и q2. Это означает, что выбор правильного решения и отбрасывание побочного нельзя осуществить простым заданием способа сборки. Каким же образом можно решить данную проблему при автоматизированном решении групповых уравнений на ЭВМ?

Возможное решение указанной проблемы рассмотрим на следующем примере. Пусть одно решение групповых уравнений (2.5) механизма, показанного на рис.2.2, каким-то образом уже получено. Координаты, соответствующие этому положению, обозначим знаком (*): q1=q1*, q2=q2*, q3=q3*, 2=2*, 3=3*. Дадим малые приращения входных координат q1, q2, q3. Получим новые значения входных координат: q1=q1*+q1, q2=q2*+q2, q3=q3*+q3. Новому положению механизма соответствуют новые значения выходных координат: 2=2*+2, 3=3*+3. Потребуем, чтобы новое положение было близким к исходному, т.е. чтобы 2 и 3 были малыми величинами. Тогда решение 2 и 3 будет единственным, поскольку второе положение механизма, соответствующее тем же приращениям координат q1, q2 и q3, окажется далеким от исходного положения механизма.

Определим малые приращения 2 и 3 из уравнений (2.5) и (2.6). При этом предположим, что приращения хА, уА, хD, уD уже получены решением групповых уравнений групп I и II. Уравнение (2.5) может быть записано в следующем виде:

и ли в обобщенной форме:

, (2.11)

где – векторы-столбцы:

При этом

;

. (2.12)

Мы ищем решение векторного уравнения

(2.13)

где и q3 – заданные малые приращения, а удовлетворяют уравнению (2.11). Для определения можно использовать, по предложению проф. М.З. Коловского, рекуррентную вычислительную процедуру, известную как метод Ньютона или метод касательных. В соответствии с этим методом (k+1)-е приближение для связывается с k-м приближенным соотношением

k = 1, 2, ... . (2.14)

Доказано, что в достаточно малой окрестности исходного решения последовательность (2.14) сходится, причем обеспечивается квадратичная сходимость. Выражение

.

представляет собой матрицу Якоби для системы (2.11), имеющую в рассматриваемом случае следующий вид:

. (2.15)

Определитель этой матрицы (якобиан) определяется выражением

. (2.16)

Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет простой геометрический смысл: оно представляет собой проекцию ломаной ВСD на направление, перпендикулярное звену АВ (рис.2.7). Можно показать также, что в двух положениях механизма, соответствующих одним и тем же значениям q1, q2, q3 (см. рис.2.6), значения якобиана (2.16) одинаковы по значению и противоположны по знаку.

На рис.2.8 дана условная геометрическая интерпретация метода Ньютона, относящаяся к случаю, когда векторы и – одномерные. Для того, чтобы избежать многократного вычисления матрицы , обратной матрице Якоби, можно пользоваться модифицированным методом Ньютона (методом секущих), при котором используется процедура, соответствующая формуле

k=1,2, … . (2.17)

где .

Положение механизма, близкое к исходному, не может быть получено описанным выше способом, если определитель матрицы Якоби обращается в ноль. В рассматриваемом примере якобиан (2.16) обращается в ноль в тех положениях, при которых точки А, В и D располагаются на одной прямой (рис.2.9). Это – особое (сингулярное) положение группы АВСD. Основываясь на данном примере, можно дать следующее определение: особое положение группы – такое, в котором якобиан обращается в ноль.

В особом положении два решения уравнения (2.11) сливаются в одно. Естественно, что в окрестностях особого положения оба решения этого уравнения оказываются близкими, и выбор одного из них становится затруднительным. Чем ближе к нулю значение якобиана, тем хуже сходятся последовательные приближения. Однако это еще не все неприятные факторы, связанные с особыми положениями. О них разговор пойдет при рассмотрении других раздел

Рис.

ов.

23

Соседние файлы в папке ТММ