Чужое / Otchyot_6_Makarov

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Институт Металлургии, машиностроения и транспорта

Кафедра «Компьютерные технологии в машиностроении»

Отчет

О лабораторной работе №6

Дисциплина: «Вычислительная математика»

Тема: «Численное дифференцирование функций»

Студент гр.23332/1	С. А. Макаров
Преподаватель	Ю. В. Кожанова

«____»___________2018 г.

Санкт-Петербург

2018 г.

Задание

Найти приближенные значения производных первого и второго порядка от заданной функции на промежутке с шагом в Excel, MathCAD и MATLAB и сравнить с точными значениями. При выполнении работы в MATLAB составить файл-программу.

Определить в MathCAD оптимальное значение шага, обеспечивающее минимальную погрешность приближенных расчетов производной первого порядка в середине заданного промежутка.

Вариант	Функция	a	b
3		0,5	0,9

Цель работы

Целью работы является закрепление знаний, полученных в лекционном курсе «Вычислительная математика» по разделу «Численное дифференцирование», приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.

Краткие теоретические сведения

Задача приближенного дифференцирования возникает для сложных аналитических функций или функций, заданных дискретными данными. Функция приближенно описывается интерполяционным полиномом Ньютона, дифференцирование которого не вызывает трудностей.

Представим любую исходную функцию в виде таблицы соответствующих значений , и конечных разностей различного порядка.

x	y

В таблице конечные разности различных порядков рассчитываются по формулам:

Запишем интерполяционный полином в форме Ньютона:

Дважды продифференцируем его по x:

При

Ограничиваясь только первым членом в разложениях, получим:

При уменьшении величины шага погрешность расчетов уменьшается. Наилучшая точность, которая может быть достигнута при уменьшении шага, определяется погрешностью округления, зависящей от используемого программного и аппаратного обеспечения.

Если при расчетах производных не ограничиваться только первыми членами суммы, то можно получить более точные формулы для расчета производных, учитывающие информацию не только о соседней, но и о более удаленных точках.

Если в формуле для первой производной учитывать два члена разложения (трехточечная схема), она примет вид:

Можно получить ещё более точные формулы, использую информацию о большем количестве точек. В этих случаях интерполяционный полином удобнее записывать в форме Лагранжа.

Выполненные задания

Выполнение задания в Excel

Расчет конечных разностей

Точные значения производных

Определение погрешностей вычисления первой производной

Определения погрешностей вычисления второй производной

Графики точных и приближенных значений производных

Погрешности определения первой производной с помощью первой конечной разности и второй производной достаточно велики. Для их снижения необходимо уменьшить шаг h. Вычисление первой производной по трехточечной схеме дает более точный результат.

Выполнение задания в MathCAD

Начальные данные для расчета

Вычисление производных

Вычисление узловых значений

Вычисление первой производной с помощью первой конечной разности и по трехточечной схеме

Вычисление второй производной с помощью конечной разности второго порядка

Сравнительный график для первой производной

Сравнительный график для второй производной

Расчет в MathCAD зависимости погрешности вычисления первой производной от величины шага h в середине промежутка

Из графика видно, что производная заданной функции в середине промежутка может быть определена по формуле первой конечной разности с максимальной точностью при шаге .

Выводы

В ходе лабораторной работы я приобрела навыки использования численных методов дифференцирования с применением программных средств автоматизации вычислений. Наиболее точным является метод вычисления по трехточечной схеме, так как относительная ошибка не выходит за пределы 0,16%. Так же точность зависит от величины взятого шага дифференцирования.