КР2 / Задание / с1.кр2-0

Содержание контрольной работы №2

1. Неопределённость , отношение алгебраических функций.

2. Неопределённость , отношение алгебраических функций.

3. Неопределённость , отношение трансцентдентных функций.

4. . Неопределённость 1^∞.

5. Сравнение бесконечно малых. Определение порядка одной бесконечно малой относительно другой. Выделение главной части бесконечно малой.

6. Исследование на непрерывность функции одной переменной.

Вариант 0

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Сравнить бесконечно малые и при .

6. Исследовать на непрерывность .

Решение варианта 0

1. Вычислить .

►

Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т. е. на . В результате получим

поскольку при функции 3/x и 9/x² являются бесконечно малыми. ◄

2). Вычислить .

►Выражение под знаком предела представляет собой неопределённость в отношении алгебраических иррациональных функций при хa, aR. Метод раскрытия таких неопределённостей состоит в перенесении иррациональности из одного члена дроби в другой. В данном случае перенесём иррациональность из знаменателя дроби в числитель:

.

Многочлен разложим на множители, используя теорему: “если число х = а

является корнем многочлена , то этот многочлен делится на разность х – а без остатка”. Число х = 2 – корень многочлена 4, поэтому он делится на разность х – 2 без остатка. Выполнив это деление, получим: . Таким образом,

, поэтому . Здесь произведено деление обоих членов дроби под знаком предела на разность х – 2, поскольку при вычислении предела х принадлежит проколотой окрестности точки х = 2 (т.е. х ≠ 2). Выражение из правой части последнего равенства не даёт неопределённости при х2, его предел можно найти по теореме о пределе суммы и произведения. Окончательно получаем: .◄

3). Вычислить .

►Для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида применяется теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении наряду с использованием таблицы эквивалентных бесконечно малых функций, следующей из замечательных пределов.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Пусть функция при x → а. Тогда

.

Так как , при , то в силу упомянутой теоремы находим

.◄

4). Найти .

► Функция под знаком предела является степенно-показательной и представляет собой неопределённость , так как , . С помощью основного логарифмического тождества она может быть представлена в виде:

.

В силу свойства непрерывности показательной функции на R имеем равенство:

.

Таким образом, задача сведена к вычислению предела: . С помощью основного логарифмического тождества и свойства непрерывности показательной функции неопределённость трансформирована в неопределённость , которую, после некоторых преобразований, раскроем с помощью теоремы о замене эквивалентными в отношении и сотношения: при . Имеем

и = е.◄

5) Сравнить бесконечно малые и при .

►

1. поэтому α(x) и β(x) бесконечно малые одного порядка при .

6. Исследовать на непрерывность следующие функции:

1) ; 2)

►1) Данная функция определена при всех действительных значениях х, кроме х = ± 1. На каждом из промежутков, входящих в область определения функция она является элементарной и, следовательно, непрерывной по теореме о непрерывности элементарной функции. В точках х = ± 1 функция терпит разрыв непрерывности. Для классификации разрывов, рассмотрим односторонние пределы данной функции в этих точках:

, так как 1/(x+1) → – ∞ при х→ – 1 – 0; , так как 1/(x+1) → + ∞ при х→ – 1 + 0. Итак, один из односторонних пределов в точке х = – 1 является бесконечным, поэтому в этой точке функция имеет разрыв второго рода.

2) Данная функция определена на всей вещественной оси, на каждом из промежутков

(– ∞,1), (1, 4), (4,  + ∞) она задана как элементарная и, следовательно, является непрерывной. “Подозрительными на разрыв” являются точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, т. е. точки х = 1 и х = 4. Вычислим односторонние пределы в этих точках.

Для точки х = 1 имеем:

; .

Односторонние пределы функции в точке х = 1 существуют, но не равны между собой, поэтому эта точка является точкой разрыва первого рода.

Для точки х = 4 получаем

.

Односторонние пределы функции при равны между собой и равны частному значению функции: . Следовательно, исследуемая точка является точкой непрерывности. ◄

4