коллоквиум 2 / Тест по математическому анализу (тренировочный)
.pdfТест по математическому анализу № 1 для студентов I курса ММФ преподаватель – доц. Лагунова М. В. ВАРИАНТ 0
Внимание! Если правильный ответ отсутствует, то выбирайте букву Е).
1.X R, M : x R x M
A)множество Х ограничено снизу
B)множество Х неограниченно
C)множество Х ограничено сверху
D)множество Х ограничено
2.Найдите sup X , если X 0,2 1,3 .
3. |
Найдите 3-ий член последовательности |
xn |
|
n ( 1)n |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
def |
A) 0 N ( ) : n N ( ) |
xn A |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
B) 0 N ( ) : n N ( ) |
|
|
xn A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim xn A |
C) 0 N ( ) : n N ( ) |
|
|
A xn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D) 0 N ( ) : n N ( ) |
|
xn A |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
Найдите |
lim |
3n 4 n |
, если он . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
5n 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Бесконечно малой ЧП является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
A) |
|
n |
B) |
sin n3 |
C) log 1 n D) 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
sin n |
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7. |
0 N ( ) : n N ( ) |
xn |
|
, тогда lim x |
n |
A) B) C) D) 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
8. |
x |
n |
( 1)n n и |
y |
n |
n2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А) lim(xn yn ) B) lim xn yn |
0 |
C) lim |
xn |
|
D) lim |
|
xn |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
n y |
n |
|
|
|
n y |
n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
def
9.lim f (x) A
x0x
A) 0 ( ) : 0 x x0 ( ) f (x) A
B) 0 ( ) : 0 x0 x ( ) f (x) A
C) 0 ( ) : 0 x x0 ( ) f (x) A
D) 0 ( ) : 0 x x0 ( ) f (x) A
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) f (x) , тогда |
|
|||
0 ( ) : 0 |
x x0 |
lim f (x) A) B) C) D) 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
Вычислите пределы: |
|
|
|||||||||||
11. |
lim |
1 1 |
n |
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. |
lim |
sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
arctg2 |
|
|
|
|
|
||||||
13. |
lim |
|
x . |
|
|
||||||||
|
|
|
e2x 1 |
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
lim |
|
|
|
x 1 1 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
2 x |
||
|
15. |
sin 2x |
|
ctg x |
|
||
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|||||
|
x 0 |
x |
|
16. |
lim |
f (x) 1 |
2 |
, |
lim g(x) |
lim f (x) g ( x) =… |
||
|
x x |
|
|
x x |
x x |
0 |
||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
17. |
Функция y |
|
sin x непрерывна на множестве …. |
|||||
18. |
Известно, что |
|
f (x0 0) 5, f (x0 |
0) 3, а в точке x0 функция f (x) не определена, тогда в точке |
||||
|
x0 |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
A)Имеет устранимый разрыв
B)Не имеет разрыва
C)Имеет разрыв первого рода
D)Имеет разрыв второго рода
19.Справедливо утверждение:
A)Если функция непрерывна в точке x0 , то она непрерывна и в любой окрестности этой точки
B)Если функция непрерывна на интервале, то она ограничена на нем
C)Если f (x) C [a,b] , f (a) 5, f (b) 2, то (a,b) : f ( ) 1
D)Если функция ограничена на отрезке, то она непрерывна на нем
20.Производная функции y 2 x равна…..
21.Изобразите схематично график функции y ln x .
22. |
Выведите |
|
lim (1 x) 1x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
Докажите теорему о единственности предела ЧП. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Тест по дифференциальному исчислению для студентов I курса ММФ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лектор – доц. Лагунова М. В. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 0 |
|
|
||||
ВНИМАНИЕ! Если правильный ответ отсутствует, то выбирайте букву Е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
Вычислите |
|
|
lim |
|
ln(1 |
|
x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найдите d 2 f (x |
0 |
, x), |
если f (x) arcsin x, |
x 1 |
2 |
, x 0,2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
3. |
Найдите 17-ю производную функции y sin 5x. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Найдите коэффициент при xe2x в 5-ой производной функции y (x2 |
3x 2)e2x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Многочлен |
|
|
P(x) x6 |
8x2 13x 1 |
|
разложен по |
степеням |
(x 1) . |
Найдите коэффициент при |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
(x 1)3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Разложите по формуле Тейлора в точке x |
0 |
1 до |
o((x 1)3 ) |
функцию y ln x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Разложением по формуле Маклорена функции y ex является |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A) |
|
x2 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
n x2n |
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1) |
|
|
|
|
|
|
o(x |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2! |
|
4! |
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
B) |
1 x |
x2 |
... |
xn |
o(xn ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C) |
x |
|
x3 |
|
|
x5 |
... ( 1)n |
|
|
x2n 1 |
|
o(x2n 2 ). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
D) |
x |
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
... ( 1) |
n 1 xn |
o(x |
n |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
Известно, что x0 1 |
стационарная точка функции y f (x) , f (1) 4 , тогда |
A)В точке x0 функция y f (x) имеет локальный минимум.
B)В точке x0 функция y f (x) имеет локальный максимум.
C)Функция y f (x) возрастает в некоторой окрестности точки x0 .
D)Функция y f (x) убывает в некоторой окрестности точки x0 .
9. Известно, что |
f (n) (x |
0 |
) 0 |
при n 1, 2,...,15; |
f (16) (x |
0 |
) 5 |
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
A)В точке x0 функция y f (x) имеет локальный минимум.
B)В точке x0 функция y f (x) имеет локальный максимум.
C)Функция y f (x) возрастает в некоторой окрестности точки x0 .
D)Функция y f (x) убывает в некоторой окрестности точки x0 .
10.Найдите наибольшее значение функции y x3 3x 5 на отрезке [ 2, 1].
11.Найдите промежуток, на котором график функции y x3 3x2 3x имеет выпуклость вверх.
12. |
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику |
функции y x3 3x2 6x 5 в точке |
||||
|
перегиба. |
|
|
|
|
|
13. |
Найдите наклонную асимптоту графика функции |
y |
x3 |
3x2 4 |
. |
|
|
x2 |
5 |
||||
|
|
|
|
|
14. Сколько асимптот имеет график функции y
15. При каком значении параметра α прямая
графика функции y x2 2x 3 ? x
x3 arctg (x 1) ? Укажите их.
(x 1)(x 2)
y x 2 является левой наклонной асимптотой
16.Справедливо утверждение:
A)График функции не может пересекать свою асимптоту.
B)График периодической функции не может иметь наклонной асимптоты.
C)График функции не может касаться своей асимптоты.
D)График функции может иметь две наклонные и одну горизонтальную асимптоту.
17.Найдите экстремум функции y x 1 и определите его тип.
18.Функция y 1 x2 является А) четной; В) нечетной; С) периодической; D) функцией общего вида
19.Изобразите на рисунке геометрический смысл дифференциала.
20.Изобразите схематично график гиперболического косинуса.
21.Сформулируйте и докажите теорему Ферма.