коллоквиум 2 / Вопросы по анализу
.pdf
Определения, которые НЕОБХОДИМО знать:
▪Определения супремума и инфимума.
▪Определение функции и числовой последовательности.
▪Определение предела числовой последовательности.
▪2 определения предела функции (по Гейне и по Коши).
▪2 определения функции, непрерывной в точке.
▪Определение функции, непрерывной на интервале
ина отрезке.
▪Определение производной.
▪Определения функции, дифференцируемой в точке,
идифференциала функции.
Формулировки именных теорем и геометрический смысл основных понятий:
▪Первая теорема Больцано-Коши (с иллюстрацией).
▪Вторая теорема Больцано-Коши (с иллюстрацией).
▪Первая теорема Вейерштрасса (с иллюстрацией).
▪Вторая теорема Вейерштрасса (с иллюстрацией).
▪Геометрический смысл производной.
▪Геометрический смысл дифференциала.
▪Теорема Ферма (с иллюстрацией).
▪Теорема Ролля (с иллюстрацией).
▪Теорема Лагранжа (с иллюстрацией).
Вопросы по математическому анализу.
1.Теорема о единственности предела числовой последовательности.
2.Принцип сжатой переменной.
3.Лемма о сохранении знака.
4.Предельный переход в неравенствах.
5.Теорема об ограниченности сходящейся ЧП.
6.Теорема о сумме БМЧП и произведении БМЧП на ограниченную. Следствия.
7.Необходимое и достаточное условие существования предела ЧП.
8.Связь между БМЧП и ББЧП.
9.Теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух ЧП.
10.Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ЧП.
11.Необходимое и достаточное условие существования предела функции.
12.Эквивалентность двух определений непрерывности функции.
13.Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций.
14.Непрерывность композиции непрерывных функций.
15.Непрерывность основных элементарных функций.
16.Первый замечательный предел и следствия из него.
17.Второй замечательный предел (без доказательства) и следствия из него (с выводом).
18.Теорема о замене на эквивалентные бесконечно малые.
19.Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
20.Вывод производных функций:
xa , ex , ax , ln x, loga x, sin x, cosx.
21.Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.
22.Производные и дифференциалы суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций.
23.Производная сложной функции.
24.Инвариантность формы первого дифференциала.
25.Производная обратной функции.
26.Вывод производных обратных тригонометрических функций.
27.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
28.Правило Лопиталя.
29.Дифференциалы второго и более высоких порядков.
30.Формула Тейлора для многочлена.
31.Формула Тейлора для гладких функций. Остаточный член в форме Пеано.
32.Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций:
ex , sin x, cos x, ln(1 x), (1 x) .
33.Необходимое и достаточное условие постоянства функции.
34.Необходимое и достаточное условие монотонности функции.
35.Достаточное условие строгой монотонности функции.
36.Необходимое условие экстремума функции.
37.Достаточное условие экстремума.
38.Достаточное условие гладкого экстремума.
39.Условие выпуклости графика функции.
40.Условия существования асимптот графика функции (вертикальной и наклонной).