Комплексные числа и многочлены

I. Методические указания и примеры

§1. Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары

(x, y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:

, (1.1)

. (1.2)

Комплексное число принято обозначать буквой z, таким образом, z = (x, y). Действительные числа х и у называются действительной и мнимой частями комплексного числа z = (x, y) и обозначаются символами Re z и Im z.

Множество всех комплексных чисел обозначается C.

Два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными в том и только в том случае, когда x₁ = x₂ и у₁ = у₂.

Из правил (1.1) – (1.2) сложения и умножения комплексных чисел следует, что любое комплексное число z = (x, y) можно записать в виде

z = (x, 0) +(0, 1)∙(y, 0). (1.3)

Числа (x, 0) и (y, 0) отождествляют с действительными числами x и y, а число (0, 1) обозначают через i (от французского слова imaginaire – мнимый). Равенство (1.3) перепишем теперь в виде:

. (1.4)

Равенство (1.4) называют алгебраической формой комплексного числа. Заметим, что из (1.2) следует .

Комплексное число называется комплексно сопряжённым с числом .

Деление комплексных чисел z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) выполняется с помощью формулы:

.

Модулем комплексного числа z = (x, y) называется действительное число, равное и обозначаемое | z |. Таким образом, | z |=.

При сложении и умножении комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, с ними можно обращаться как с биномами вида x + iy, учитывая дополнительно, что . Для третьей и четвёртой степени числа i справедливы равенства: , , действительно, , .

Пример 1.1. Вычислить: и записать в алгебраической форме.

►Умножим числитель и знаменатель первого слагаемого на число , сопряжённое знаменателю:

.

Вычисляя , имеем , следовательно, . Умножим числитель и знаменатель последней дроби на число, сопряжённое числу –3 + 4i, получим:

.

Так как , то данное выражение будет равно: .◄

§ 2. Действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Если на плоскости введена декартова прямоугольная система координат Оху, то всякому комплексному числу можно поставить в соответствие некоторую точку М с абсциссой х и ординатой у. При этом говорят, что точка М(х, у) изображает комплексное число . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох – действительной осью, а ось Оу –мнимой осью. Модуль комплексного числа геометрически интерпретируется как расстояние точки М, изображающей это число, до начала координат, т. е. | z | = r– длина радиус-вектора (рис. 2.1). Любое решение системы уравнений

, (2.1)

называется аргументом комплексного числа . Все аргументы числа z различаются на Z и обозначаются единым символом . Каждое значение совпадает с величиной φ некоторого угла, на который следует повернуть ось Ox до совпадения с радиус-вектором точки M (при этом φ > 0, если поворот совершается против часовой стрелки, и φ < 0 в противном случае). Значение : , называется главным значением и обозначается символом . В некоторых случаях главным значениям аргумента называется значение : .

Из соотношений (2.1) следует, что для всякого комплексного числа z справедливо равенство

z, (2.2)

называемое тригонометрической формой комплексного числа. Очевидно, φ и r являются полярными координатами точки, изображающей данное комплексное число z на комплексной плоскости (рис. 2.1).

Пусть два отличных от нуля комплексных числа z₁ и z₂ заданы в тригонометрической форме:

, .

Для произведения и частного чисел z₁ и z₂ справедливы следующие формулы:

, (2.3)

. (2.4)

Из соотношений (2.3) и (2.4) следует равенство:

,

справедливое при любых целых n. Оно называется формулой Муавра и позволяет возводить комплексное число в любую целую степень, записав его в тригонометрической форме. Для корня n-ой степени из комплексного числа z, записанного в тригонометрической форме (2.2), справедливо равенство:

, nN, k = 0, 1, 2, ... , n – 1. (2.5)

Рис. 2.2. Расположение значений корня n-ой степени из комплексного числа на комплексной плоскости

Из (2.5) следует утверждение: корень n-ой степени из комплексного числа имеет ровно n различных значений. Модуль любого из них равен (имеется в виду арифметическое значение корня степени из положительного числа r), все они лежат на окружности радиуса с центром в точке и делят эту окружность на равных дуг, т.е. являются вершинами правильного n-угольника (рис. 2.2).

Пример 2.1. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям:

►Множество, описываемое первым неравенством, есть часть комплексной плоскости, покрываемая лучами, исходящими из точки (0, 0) и имеющими всевозможные углы наклона к вещественной оси из промежутка (–π/3; π/3) (рис. 2.3а).

а)	б)	в)	г)
Рис. 2.3. К примеру 2.1

Чтобы построить множество, описываемое вторым неравенством, запишем число z в алгебраической форме: z = x + iy. Имеем | z–1| = | (x – 1)+ iy | = =, отсюда или . Итак, множество, описываемое вторым неравенством, есть часть комплексной плоскости, находящаяся внутри круга радиуса 3 и центром в точке А(1, 0) (рис. 2.3б). Множество, описываемое третьим неравенством, состоит из тех точек комплексной плоскости, абсциссы которых больше 1 (рис. 2.3в). Таким образом, искомое множество состоит из тех и только тех точек плоскости, которые принадлежат одновременно трём построенным областям (рис. 2.3г).◄

Rez

Rez

Пример 2.2. Вычислить .

Рис. 2.4. К примеру 2.2.

►Число под знаком корня запишем в тригонометрической форме:

, где , и воспользуемся формулой (2.5): =

= По известным sinφ и cosφ находим, что .

Придавая k последовательно значения 0, 1, 2, получаем все значения корня:

k=0  ,

k=1  ,

k=2  .

Значения косинусов и синусов углов и найдены с помощью формул и формул половинных углов, известных из тригонометрии. Например, .

На комплексной плоскости точки, изображающие значения корня , являются вершинами правильного треугольника (рис. 2.4). ◄