Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1 / к-р-интегралы-0

.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
18.07.2019
Размер:
246.27 Кб
Скачать

Контрольная работа «Интегралы»

С о д е р ж а н и е

Часть 1

  1. Интегрирование по частям.

  2. Интегрирование рациональных дробей.

  3. Интегрирование тригонометрических выражений.

  4. Интегрирование иррациональных выражений.

Часть 2

Приложения определённого интеграла.

  1. Вычисление площадей плоских фигур;

  2. Вычисление длин дуг;

  3. Вычисление объёмов тел вращения.

НУЛЕВОЙ ВАРИАНТ

Часть 1

1. .

2. .

3. .

4. .

Часть 2

1. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиодой .

2. Найти длину одной арки циклоиды .

3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной осью и полуволной синусоиды .

Замечание. На вычисление площадей и длин дуг есть различные типы задач. В нулевом варианте приведено только по одному типу. Остальные типы рассмотрены в выпуске 3 опорного конспекта.

РЕШЕНИЕ НУЛЕВОГО ВАРИАНТА

Часть 1

1. Вычислить .

►Применим метод интегрирования по частям, т.е. используем формулу:

. (1)

Положим , ; тогда , . Используя формулу (1), имеем

.◄

2. Вычислить .

►Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида:

.

Освобождая от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределённых коэффициентов , и :

.

Чтобы найти , и , составим систему трёх уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества, например, при и :

Решение этой системы даёт: , , . Таким образом,

.◄

3. Вычислить .

► 

. ◄

4. Вычислить .

Такой пример решался на лекции.

Часть 2.

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной кардиодой .

Рис. 5. Криволинейный сектор

Рис. 6. Кардиода.

►Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь фигуры (рис. 5), ограниченной дугой кривой и двумя полярными радиусами и , соответствующими значениям и , выразится интегралом

.

Кардиода симметрична относительно полярной оси, так как . Имеем

=

.◄

2. Найти длину одной арки циклоиды .

►Если кривая задана уравнениями в параметрической форме , , где и непрерывно дифференцируемые функции, то длина дуги кривой равна

,

где и – значения параметра , соответствующие концам дуги, причем .

В данном случае , , откуда

.

Следовательно,

Рис. 7

. ◄

3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной осью и полуволной синусоиды (рис. 7).

► . ◄

3