1 / к-р-интегралы-0
.docКонтрольная работа «Интегралы»
С о д е р ж а н и е
Часть 1
-
Интегрирование по частям.
-
Интегрирование рациональных дробей.
-
Интегрирование тригонометрических выражений.
-
Интегрирование иррациональных выражений.
Часть 2
Приложения определённого интеграла.
-
Вычисление площадей плоских фигур;
-
Вычисление длин дуг;
-
Вычисление объёмов тел вращения.
НУЛЕВОЙ ВАРИАНТ
Часть 1
1. .
2. .
3. .
4. .
Часть 2
1. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиодой .
2. Найти длину одной арки циклоиды .
3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной осью и полуволной синусоиды .
Замечание. На вычисление площадей и длин дуг есть различные типы задач. В нулевом варианте приведено только по одному типу. Остальные типы рассмотрены в выпуске 3 опорного конспекта.
РЕШЕНИЕ НУЛЕВОГО ВАРИАНТА
Часть 1
1. Вычислить .
►Применим метод интегрирования по частям, т.е. используем формулу:
. (1)
Положим , ; тогда , . Используя формулу (1), имеем
.◄
2. Вычислить .
►Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида:
.
Освобождая от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределённых коэффициентов , и :
.
Чтобы найти , и , составим систему трёх уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества, например, при и :
Решение этой системы даёт: , , . Таким образом,
.◄
3. Вычислить .
►
. ◄
4. Вычислить .
Такой пример решался на лекции.
Часть 2.
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной кардиодой .
Рис.
5. Криволинейный сектор
Рис. 6. Кардиода.
.
Кардиода симметрична относительно полярной оси, так как . Имеем
=
.◄
2. Найти длину одной арки циклоиды .
►Если кривая задана уравнениями в параметрической форме , , где и непрерывно дифференцируемые функции, то длина дуги кривой равна
,
где и – значения параметра , соответствующие концам дуги, причем .
В данном случае , , откуда
.
Следовательно,
Рис. 7
3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной осью и полуволной синусоиды (рис. 7).
► . ◄