Сопротивление материалов (Бормотов А) / Схема 42
.doc2.2 Расчет статически неопределимого бруса переменного сечения, испытывающего кручение, на прочность.
2.2.1. Условие задачи.
Из условия прочности при кручении определить параметр d бруса переменного поперечного сечения (схема 42), выполненного из стали 35ХГСА.
Решение задачи
2.2.2 Краткие теоретические сведения.
Статически неопределимой системой (конструкцией) называется геометрически неизменяемая система, в которой для определения внутренних усилий в элементах и реакций опор недостаточно одних лишь уравнений статики.
Для раскрытия статической неопределимости применяется метод сил, согласно которому выбирается основная система, формируется эквивалентная система и из условия совместности деформаций составляются канонические уравнения метода сил
,
где n –степень статической неопределимости;
- перемещение в точке приложения и в направлении i-го неизвестного от действия внешней нагрузки в основной системе;
- перемещение в точке приложения и в направлении i-го неизвестного от действия единичного усилия, приложенного в точке приложения и в направлении j-го неизвестного в основной системе;
S - контур рамы;
Е – модуль упругости материала;
- момент инерции поперечного сечения;
- изгибающий момент в основной системе от действия внешней нагрузки (грузовое состояние);
- изгибающий момент в основной системе от действия единичного усилия, приложенного в точке приложения и в направлении i-го неизвестного (i-единичное состояние);
- неизвестные усилия в эквивалентной системе.
2.2.3 Решение задачи
1) Определяем степень статической неопределимости. К брусу приложены внешние моменты относительно его продольной оси, поэтому можно составить только одно уравнение равновесия. Неизвестных опорных моментов будет два. В результате n=2-1=1.
2) Выберем ОСЭС
3) ЭС=ГС+ЕС*Х1
4) Покажем ГС, ЕС, МZP, MZ1 (рисунок 5)
5) КУМС:
6)Определим коэффициенты КУМС:
а)Определим геометрические характеристики поперечного сечения по длине вала:
б)
7) Определим X1
8) Покажем ОЭС и эп. MZ (рисунок 5)
9) Деформационная проверка:
НОСНЕСэп. MZ
10) Построим эпюры углового закручивания характерного сечения вала (C и D)
11) Определим допустимый размер d из условия прочности:
Участок 1:
момент сопротивления бруса кручению на 1-ом участке;
крутящий момент на 1-ом участке;
допускаемые напряжения для стали 35ХГСА;
.
Участок 2:
момент сопротивления бруса кручению на 2-ом участке;
крутящий момент на 2-ом участке;
.
Участок 3:
момент сопротивления бруса кручению на 3-м участке;
крутящий момент на 3-ем участке;
.
Из трех значений параметра d, определяющего диаметры бруса на трех участках, выбираем наибольший, как удовлетворяющий условию прочности на всех трех участках, т.е.
.
Отсюда следует, что наиболее напряженным является первый участок.
Принимаем d=36,23 мм.
Проверка: