Сопротивление материалов (Бормотов А) / !Схема 47

2.1. Расчет статически неопределимой рамы на прочность.

2.1.1. Условие задачи

Для стальной (Ст.3) рамы (схема 47), имеющей одинаковое квадратное поперечное сечение на всех участках из условия прочности определить размер квадратного поперечного сечения.

Краткие теоретические сведения.

Статически неопределимой системой (конструкцией) называется геометрически неизменяемая система, в которой для определения внутренних усилий в элементах и реакций опор недостаточно одних лишь уравнений статики.

Для раскрытия статической неопределимости применяется метод сил, согласно которому выбирается основная система, формируется эквивалентная система и из условия совместности деформаций составляются канонические уравнения метода сил

,

где n –степень статической неопределимости;

- перемещение в точке приложения и в направлении i-го неизвестного от действия внешней нагрузки в основной системе;

- перемещение в точке приложения и в направлении i-го неизвестного от действия единичного усилия, приложенного в точке приложения и в направлении j-го неизвестного в основной системе;

S - контур рамы;

Е – модуль упругости материала;

- момент инерции поперечного сечения;

- изгибающий момент в основной системе от действия внешней нагрузки (грузовое состояние);

- изгибающий момент в основной системе от действия единичного усилия, приложенного в точке приложения и в направлении i-го неизвестного (i-единичное состояние);

- неизвестные усилия в эквивалентной системе.

Решение задачи (рис. 7).

1) Определяем степень статической неопределимости.

n=5-3=2

2) Выберем основную систему ОС. Покажем эквивалентную систему ЭС.

3) Используя ПСП, представим ЭС в виде 3-х систем: ГС, 1ЕС, 2ЕС.

ЭС=ГС+1ЕС*Х₁+2ЕС*Х₂

4) Построим эпюры изгибающих моментов для ГС и ЕС (М_Х^Р, М_Х1, М_Х2). Предварительно определим реакции опор.

5) Условие эквивалентности:

6) Определим коэффициенты КУМС:

7) Решая КУМС, находим X₁, X₂:

X₁=

X₂=

8) Покажем окончательную эквивалентную систему (ЭС).

9) Выполним проверку равновесия узлов рамы.

10) Выполним деформационную проверку

НОСНЕС

11) Определим доп. размер квадратного поперечного сечения из условия прочности.

,

где - изгибающий момент в опасном сечении рамы;

- момент сопротивления поперечного сечения стержней рамы при изгибе;

b– размер квадратного поперечного сечения;

= 160 МПа - допускаемые напряжения;

240 МПа - предел текучести стали Ст.3 (ГОСТ 380-2005, Сталь углеродистая обыкновенного качества);

=1,5 –коэффициент запаса по пределу текучести при статических нагрузках.

Из условия прочности определяем размер квадратного поперечного сечения стержней рамы

м = мм.

Принимаем b= мм.