03 семестр / 20 вариант / первая задачка
.pdf
1
Вариант 20 Электростатика.
Условие. Плоский диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и расстояние между обкладками равно d. Диэлектрическая проницаемость меняется между обкладками по закону ε=f(y). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля Е, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на нижней и верхней поверхностях диэлектрика,
распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ′(y), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу площади.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
Функция ε=f(у) для чётных вариантов имеет вид: ε = |
|
. |
|||||||||||||
dn − yn |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
Здесь d0 - известный параметр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для варианта 20: d0/d=2/1, n=0,5. ε = |
|
|
|
2d |
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2d − |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем считать, что электрическое поле сосре- |
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
доточено внутри конденсатора, а снаружи кон- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
денсатора напряженность поля равна нулю (это |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливо, если расстояние между пластина- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми мало по сравнению с размерами пластин). |
||||||
|
D |
D |
|
D |
|
|
Пусть, для определенности, нижняя пластина |
||||||||
|
|
|
|
имеет положительный заряд. Тогда вектор |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электрического смещения D направлен от ниж- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ней пластины к верхней. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x Применим теорему Гаусса для вектора D в ин- |
|
S |
тегральной форме: поток вектора электриче- |
|
ского смещения через любую замкнутую по- |
||
|
верхность равен алгебраической сумме сторонних электрических зарядов внутри этой
поверхности ∫ (D, dS) = q . В качестве поверхности интегрирования S возьмем прямой ци-
S
линдр с основанием параллельным пластине. Тогда поток вектора D будет отличен от ну-
|
|
|
|
|
|
ля только через основание, находящееся внутри конденсатора ∫ (D, dS) = DSОСН . Обозна- |
|||||
|
|
|
|
|
S |
чим через σ плотность сторонних зарядов пластины. Тогда q = σSОСН . Откуда |
|||||
DS |
= σS |
|
или D = σ . Тогда |
D |
= 1 . |
ОСН |
|
||||
ОСН |
|
|
DMAX |
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя соотношение D = εε0 E , найдем величину вектора напряженности электриче-
ского поля: |
E = |
D |
= |
|
σ 2d − |
y |
. E |
|
= E (0) = |
σ |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MAX |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
εε0 |
ε0 |
2d |
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
E |
= |
|
2d − |
|
y |
= 1 − |
|
|
|
y |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
EMAX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вектор поляризованности P = D − ε0 E = ε0 (ε − 1)E , откуда для величины
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ε − 1)E = ε |
|
|
|
2d |
σ |
|
|
2d − y |
|
|
|
y |
||||||||||
P = ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
= σ |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
2d − y |
|
ε0 |
|
|
|
2d |
|
|
2d |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
P = P(d) = |
σ |
. Тогда |
P |
= |
y |
. |
|
|
|
|
|
||||
MAX |
2 |
|
PMAX |
|
d |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем объемную плотность связанных зарядов из соотношения divP = −ρ′ (Теорема Га-
усса для вектора Р в дифференциальной форме). ρ′ = − |
∂PX |
+ |
∂PY |
+ |
∂PZ |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y ∂z |
|||||
В нашем случае отлична от нуля только Y-координата вектора Р. |
|||||||||||||||||
|
∂P |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
ρ′ = − |
Y |
= − |
|
σ |
|
|
|
|
= −σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂y |
|
|
2d |
|
2 |
2dy |
||||||||||
|
∂y |
|
|||||||||||||||
Поверхностную плотность связанных зарядов найдем из соотношения:
P2 n − P1n = −σ′ - она противоположна по знаку разности нормальных составляющих векто-
ра поляризованности на границе раздела диэлектрика.
На нижней обкладке P1n |
|
= 0 (нет диэлектрика снаружи), поэтому σ′НИЖН = −P2 n |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
На верхней обкладке P |
|
= 0 (нет диэлектрика снаружи), поэтому σ′ |
= P = |
|
σ |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВЕРХ |
1n |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь найдем поверхностную плотность стороннего заряда σ. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По условию напряжение U известно. С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2d − |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
d |
|
d |
σ |
|
|
2d − |
y |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
U = |
∫ |
Edy = |
∫ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
− |
|
d , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
2d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда σ = |
|
ε0 U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3
Найдем емкость конденсатора на единицу площади. Емкость определяется по формуле
C = |
q |
, емкость единицы площади |
C |
= |
q |
= |
σ |
. Поэтому |
C |
= |
|
ε0 |
|
|
. |
|
U |
S |
US |
U |
S |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проверка.
Найдем полный связанный заряд конденсатора. Он должен быть равен нулю. Пусть площадь пластин конденсатора S, тогда должно выполняться равенство
q′ = q′ |
+ q′ |
|
|
= |
∫ |
ρ ′dV + σ ′ |
S + σ ′ |
S = 0 . |
|||||||||||||||||
|
ОБЪЕМ |
ПОВЕРХ |
|
|
|
НИЖН |
|
|
|
|
ВЕРХ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
d |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
S |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Связанный заряд в объеме диэлектрика |
|
ρ ′dV = |
|
−σ |
|
|
|
|
|
|
Sdy = − |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
0 2 |
|
2dy |
|
|
2 |
|
|
||||||||||
С учетом того, что σ′ |
= 0 , |
σ′ |
= |
σ |
получаем q′ = − |
σ |
S |
|
+ |
σ |
S = 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
НИЖН |
|
ВЕРХ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D DMAX |
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E EMAX |
|
|
|
|
0,2 |
|
P PMAX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y/d |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |