03 семестр / 20 вариант / третья задачка
.pdf7
Вариант 20.
Условие. Тонкая металлическая пластина 2 распо- 1 2 3 ложена вплотную к обкладке 1 конденсатора 1-3
емкостью С так что между пластиной 1 и обкладкой 2 существует электрический контакт. Обкладки кон-
|
|
|
|
|
|
|
денсатора С замкнуты на батарею с ЭДС ε, солено- |
ε |
|
|
|
ид индуктивностью L и сопротивление R. (см. рис.) |
|||
L |
R |
|
Пластина 2 отрывается от обкладки 1 и движется с |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
постоянной скоростью V к обкладке 3. Расстояние |
|
|
|
|
|
|
|
между обкладками конденсатора равно d. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Ток в цепи.
2.Заряды на обкладках 1 и 3.
3.Работу совершенную внешними силами при перемещении пластины 2 от обкладки 1 до обкладки 3 конденсатора.
4.Количество тепла, выделившееся на сопротивлении R (для варианта 20).
5.Пренебрегая краевыми эффектами найти напряженность магнитного поля между обкладками конденсатора.
№ варианта |
L |
R |
20 |
0 |
R |
Решение.
Рассмотрим систему обкладок конденсатора. Так как пластина 2 была в соприкосновении с пластиной 1, то её заряд положителен q2 = +Cε . Пусть заряд пластины 1
1 |
2 |
|
3 |
|
+q1 |
+q2 |
-q3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
E2 |
|
|
E2 |
E2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
E1 |
|
|
E1 |
E1 |
||
ε |
|
|
R |
|
|
|
E3 |
E3 |
|
|
E3 |
E3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
d-x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительный, а заряд пластины 3 – отрицательный. Каждая из пластин создает напряженность электрического поля, векторы которых изображены на рисунке. Снаружи конденсатора напряженность поля равна нулю
E + E − E = 0 или |
q2 |
+ |
q1 |
− |
q3 |
= 0 . |
||
|
|
|
||||||
2 |
1 |
3 |
2ε0 S |
|
2ε0 S 2ε0 S |
|||
|
|
|
|
Откуда q2 + q1 = q3 .
Напряжение между обкладками U = (E1 + E3 − E2 ) x + (E2 + E1 + E3 )(d − x ),
8
|
|
U = E |
|
(d − 2x ) + E d + E d = |
|
q2 |
(d − 2x ) + |
|
q1 |
d + |
q3 |
d |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
2ε0 S |
|
|
|
|
|
|
|
2ε0 S |
|
|
|
2ε0 S |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ёмкость конденсатора C = |
|
ε0 S |
, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = |
q2 |
(d − 2 x ) + |
|
q1 |
+ |
q3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Cd |
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Закон Ома ε = IR + U . Сила тока I = |
dq1 |
, откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U = |
q2 |
(d − 2x ) + |
q1 |
+ |
q2 + q1 |
|
|
или U = |
q2 |
|
(d − x ) + |
q1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2Cd |
2C |
|
|
Cd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Заряд обкладки q = CU − |
q2 |
|
(d − x ) |
следовательно I = C |
dU |
+ |
q2 |
V = C |
dU |
+ ε |
CV |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
d |
|
|
dt |
|
d |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU |
|
|
|
CV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставим это в закон Ома: ε = C |
|
|
+ ε |
|
|
R + U . и получим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CR |
dU |
+ U = ε − ε |
CVR |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
d |
|
|
|
|
|
||||
|
|
dU |
|
|
dU |
|
dt |
− |
t |
|||
Решение однородного уравнения CR |
|
|
|
|
|
|||||||
+ U = 0 , |
|
= − |
, U = Ae CR . |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
|
U |
|
CR |
|
|
|
Решение неоднородного уравнения ищем в виде постоянного значения
U = ε − ε CVR d
t
Общее решение U = Ae− CR + ε − ε CVR .
d
С учетом начального условия: U=ε при t=0 получим ε = A + ε − ε CVR , откуда
d
A = ε CVR . Окончательно, зависимость напряжения на конденсаторе от времени:
d
|
|
U = ε CVR e |
− |
|
t |
+ ε − ε C VR . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
C R |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
||||||
С учетом выражения dU = − |
|
|
1 ε CVR e |
|
|
|
t |
= −ε V e |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
CR |
CR |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
|
|
|
CR |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dU |
|
|
|
|
CV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CV |
|
− |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
CV |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
получаем для силы тока: I = C |
+ ε |
|
= −ε |
e CR + ε |
или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ε |
C V |
|
|
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − e C R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем заряды на обкладках. С учетом x = Vt : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
CVR |
|
|
− |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CVR |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
q = C |
ε |
|
|
|
|
|
e CR |
+ ε − |
ε |
|
|
|
|
|
− ε |
|
|
|
|
|
(d − Vt ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
или, после преобразований: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
q = ε |
C 2VR |
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
ε |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e CR − 1 + |
|
|
|
Vt , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2VR |
|
− |
t |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
q |
|
= εC + ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e CR − 1 + ε |
|
|
|
|
Vt . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Найдем работу совершенную внешними силами при перемещении пластины 2 от обкладки 1 до обкладки 3 конденсатора. Уравнение движения пластины (вто-
рой закон Ньютона) Ma = F + FКУЛ . Так как скорость движения пластины постоян-
ная, то ускорение равно нулю и поэтому F = − FКУЛ - внешняя сила, приложенная к пластине, равна по величине силе Кулона и направлена противоположно. Поэтому работа внешней силы будет отрицательной, так как сила и перемещение пластины направлены противоположно
d
A = −∫Fdx
0
Сила, действующая на пластину (равна по величине силе Кулона)
F = q2 (E1 |
+ E3 ) = q2 |
|
q |
q |
|
, |
|
|
1 |
+ |
3 |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
2ε0 S |
2ε0 S |
|
после преобразований:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = q2 |
q1 |
|
|
+ |
|
|
q3 |
|
|
|
|
= |
|
|
q2 |
(q1 + q3 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Cd |
|
|
|
|
|
|
|
2Cd |
|
|
|
2Cd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2VR − |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
= |
|
|
|
|
|
|
C + 2ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
CR − 1 |
+ 2ε |
|
|
Vt . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
С учётом того, что t = |
|
x |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2VR |
− |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F = |
|
|
|
|
|
|
|
|
εC |
+ 2ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e CRV |
− 1 + 2ε |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2VR |
− |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A = − |
∫ |
|
|
|
|
|
εC + 2ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e CRV − 1 + 2ε |
|
|
|
x |
dx = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C VR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= − |
εCd + 2ε |
|
−CRV |
e CRV |
− 1 − d |
|
+ ε |
d 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2VR |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A = − |
|
|
|
|
|
|
2εCd − 2ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CRV e CRV |
−1 + d |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Найдем количество теплоты, выделившейся на сопротивлении R. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По закону Джоуля-Ленца: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
CV |
|
|
|
|
|
− |
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = ∫I 2 Rdt = ∫ |
ε |
|
1 − e CR |
|
Rdt , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = ε |
CV |
|
2 |
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
− |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
1 − 2e CR + e CR dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
CV |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
t |
|
|
|
|
CR |
|
|
− |
|
2t |
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
CV |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
t0 |
|
|
|
CR |
− |
2t0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Q = ε |
|
|
|
R t + 2CRe CR |
− |
|
e CR |
|
|
|
|
= |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R t0 + 2CRe CR − |
|
e CR |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Время, за которое пластина прошла расстояние от 1й обкладки до 3й:
|
ε |
CV 2 |
d |
− |
d |
|
CR |
− |
2 d |
|
3 |
|
||
|
|
|||||||||||||
Q = |
|
|
R |
|
+ 2CRe CRV − |
|
e CRV − |
|
CR . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
d |
V |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
− 3 CR .
2
t0 = d . V
10
Для нахождения напряженности магнитного поля применим теорему о циркуляции вектора напряженности в интегральном виде:
|
|
|
||
∫ |
(H ,dl ) = I + |
d |
∫( D,dS ) . |
|
dt |
||||
|
|
S |
||
|
|
Для простоты предполагаем, что пластины конденсатора являются круглыми дисками, площадью S каждый. Поэтому в качестве контура интегрирования Г берем окружность радиуса r с центром на оси симметрии пластин. Площадь, охватывае-
мая окружностью
HH
H
Г
H
S1 = πr 2 . Между пластинами нет тока проводимости I=0, поэтому с учетом тока смещения
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
||
|
∫ |
(H ,dl ) |
= |
∫( D,dS ) , |
|||||||
|
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∫ (H ,dl ) = H 2πr , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
dD |
|
||
∫( D,dS ) = |
|
(DS1 ) = S1 |
. |
||||||||
dt |
|
|
|||||||||
S |
|
|
|
dt |
|
dt |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина смещения D равна поверхностной плотности
заряда на обкладках D = |
q |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
CV |
S |
|
|
|
||||||
|
dD |
|
|
I |
|
= ε |
− |
|
t |
|
||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 − e CR |
||||||||||
dt |
S |
Sd |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
H 2πr = πr 2ε |
|
CV |
|
− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 − e CR . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Sd |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
ε |
CV |
− |
t |
|
|
Окончательно: H = |
|
||||||
|
|
||||||
|
|
1 − e CR . |
|||||
|
|
||||||
2 |
|
Sd |
|
|
|