Модель оптимального производственного планирования

Рассматриваются ситуации использования принципа объемного планирования. Т.е. полагается, что фиксированный период времени задан. Нужно определить какие виды продукции и в каком объеме следует производить, без детализации программы внутри периода времени. Такие задачи можно еще истолковать как задачи о распределении ресурсов.

Широкое применение принципа объемного планирования может вести к неравномерности производства и поставок части продукции в течении заданного интервала времени. Такой подход является оправданным при работе в рамках одной фирмы (микроэкономические постановки).

Содержательная постановка задачи.

Допустим, что предприятие может выпускать несколько (n) видов продукции. Для чего используется I различных ресурсов. Запасы ресурсов ограничены. Возможности дополнительной поставки не учитывается. Известны нормы затрат каждого из ресурсов на выпуск единицы продукции каждого вида. По выпуску продукции нескольких (к) видов установлены директивные задания. Нужно определить программу выпуска, обеспечивающую максимум прибыли.

Этапы формализации

1. Выбор состава плана. Всего рассматривается n видов продукции. Для их различения между собой введем номер i вида продукции, i=I,….n. Объем выпуска продукции вида i обозначим символом х_i. Тогда общий план выпуска но предприятию представляет собой вектор .

2. Учет ограничений

а. По ресурсам различных видов. Всего рассматривается I видов ресурсов. Для их различения между собой введем номер j вида ресурсов, j = I….I. Запас ресурса вида j обозначим символом b_j ,j=I….I. Тогда должно быть I неравенств, отвечающих условиям по ресурсам.

б. Заданные значения экономических показателей. По k видам продукции установлен минимально допустимый объем выпуска продукции. Обозначим такой показатель через M_s . Всего задано, k значений M_s, s = I,….,k.

в. Технологические ограничения. Вообще говоря, часть продукции может быть применена в качестве полуфабриката в процессе производства, что следует учитывать при записи вида прибыли. В приведенной постановке такие условия не рассматриваются.

г. Основные экономические ограничения. Как правило, в экономических задачах все переменные полагаются неотрицательными. Объем производства х_i меньше нуля быть не может.

3. Целевая функция. Согласно постановке предприятие руководствуется целью обеспечения максимума суммарной прибыли. Прибыль, получаемая в результате выпуска каждого из n видов продукции будет зависеть от уровня затрат и цены реализации. Обозначим прибыль, получаемую от реализации единицы продукции вида i символом c_i x_i.. Тогда прибыль, полученная от реализации всего планового объема а; продукции вида i будет c_i x_i . Поскольку различных видов продукции n, то в итоге получаем для прибыли значение

4.Формирование экономико-математической модели.Согласно постановке задачи нормы затрат каждого из I ресурсов на единицу продукции i известны. Пусть они обозначены символом a_ij. Тогда потребность в ресурсе j для выпуска запланированного значения х_i продукции вида i будет a_ij х_i . Суммарная потребность в ресурсе j на выполнение плана составляет .

Однако известны величины b_j запаса по каждому из I ресурсов. Поэтому плановая потребность в ресурсе j не может быть больше чем b_j. Следовательно, ограничениям по ресурсам отвечает I неравенств .

Согласно постановке задачи для k видов продукции суммарный объем выпуска не может быть меньше, чем М_t.

Допустим, что директивные задания введены для первых видов продукции. Иначе можно провести перенумерацию. Следовательно, для планового задания X_t по выпуску продукции t вводится неравенство . Заметим, что условие в точности отвечающее содержательной постановке, может вызвать затруднения при математическом решении ЛП, поэтому лучше рассматривать неравенство.

С учетом основных экономических ограничений экономико-математическая модель записывается в виде следующей задачи ЛП. Максимизировать прибыль При условиях

5. Решение математической задачи. Конкретные числовые значения коэффициентов вводятся в ПЭР, и производится расчет решения. Реализуется, расчет симплекс- методом.

6. Экономико-математический анализ полученных результатов.

В случае если задача ЛП не имеет решения, то это означает, что не возможно обеспечить выполнение директивных заданий при данном запасе ресурсов,

Если значение целевой функции неограниченно возрастает - то при постановке были пропущены некоторые из существенных ограничений по ресурсам, (можно делать деньги из воздуха).

Содержательная постановка задачи должна быть скорректировала. Процедура формализации повторена.

Дополнительный анализ полученного решения возможен с привлечением выдаваемых ПЭР значений двойственных переменных и данных по устойчивости решения к уточнению параметров задачи. В результате анализа после возможной корректировки и перерасчета будет получен план производства для предприятия в виде задания объема выпуска каждого из видов продукции.