Комплексный анализ

Определение функции комплексного переменного z = x + i y

х = Re z (действительная часть комплексного переменного)

y = Im z (мнимая часть комплексного переменного).

| z | = - модуль комплексной переменной,

φ = аrg z = аrсtg – аргумент комплексной переменной (значение угла выбирается с учётом координатной четверти, где расположена точка, изображающая комплексное число).

z = x + i y – алгебраическая форма записи комплексного числа,

z = | z | (соsφ + i sinφ) – тригонометрическая форма,

z = | z | - показательная форма.

Ln z = ln | z | + i arg z + 2 π k i , k Z, Im Ln z = arg z + 2 π k .

К примеру, для z = 1 + i имеем tg φ = , следовательно, φ =

и Im Ln z = + 2 π k .

1. Множество чисел z, удовлетворяющих неравенству < r , называется кругом.

2. R- окрестностью бесконечно удалённой точки называется множество точек комплексной плоскости, лежащей вне окружности радиуса R с центром в начале координат (множество чисел z, удовлетворяющих

условию > R). К примеру, для области, изображённой на плоскости

1 ≤ | z | ≤ 2, 0 ≤ аrg z ≤ .

3. Множество G точек комплексной плоскости называется областью, если выполняются следующие условия:

а) каждая точка множества G имеет окрестность, все точки которой также принадлежат G (открытое множество);

б) любые две точки из G можно соединить ломаной конечным числом звеньев, все точки которой также принадлежат G.

4. Если каждому значению комплексного переменного z = x + i y из множества Z сопоставлено одно значение другой переменной

w = u + i v , то w называется однозначной функцией комплексного переменного z.

Z называется областью определения функции w = f (z), z Z.

u = u (х, у), v = v (х, у) – вещественные функции переменных х и у.

= x - i y – комплексное число, сопряженное комплексному числу

z = x + i y, поэтому f (z) = z ² – 2 + 3 i + 1 =( x + i y )² - 2 (x - i y) + 3 i +1 = х ² + 2ху i – у ² – 2 х + 2 i у + 3 i + 1 = (х ² – 2 х + 1) - у ² + i (2 ху +2у+ 3)

отсюда действительная часть f (z) , т. е. Re f (z) = х ² - у ² – 2 х + 1.

5. Точки, в которых функция является аналитической (дифференцируемая во всех точках некоторого круга с центром z₀ ), называются правильными.

Если функция является аналитической в некоторой области за исключением некоторых её точек, то такие точки называются особыми.

Для функции f (z) = = особая точка z = 1, причём является полюсом 2-го порядка. Порядок полюса функции f (z) = равен порядку нуля функции φ (z).

Дифференциальные уравнения Системы двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Пример. Найти решение системы .

Решение. Дифференцируем первое уравнение: (*). Из первого уравнения системы выражаем , из второго уравнения . Полученные соотношения подставляем в (*), получаем (**) - линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. х _{о н} = х _{о о} + х _{ч н} . Решаем однородное уравнение . Его характеристическое уравнение к² + к – 6 = 0, его корни к₁ = - 3, к₂ = 2. Общее решение х _{о о} = С₁ е ^{-3 t} + С₂ е ^{2 t} .

Частное решение х _{ч н} = А е ^t , = А е ^t , = А е ^t . Подставляя в уравнение (**), получим А = - ½ и х _{о н} = С₁ е ^{-3 t} + С₂ е ^{2 t} – ½ е ^t . Из первого уравнения системы у _{о н} = ½ ( - 3 С₁ е ^{-3 t} + 2С₂ е ^{2 t} – ½ е ^t - С₁ е ^{-3 t} + С₂ е ^{2 t} + ½ е ^t ) = - 2С₁ е ^{-3 t} + ½ С₂ е ^{2 t} .

( Отв. х (t) = С₁ е ^{-3 t} + С₂ е ^{2 t} – ½ е ^t, )

у (t) = - 2С₁ е ^{-3 t} + ½ С₂ е ^{2 t}