1.4. Радиусы кривизны земного эллипсоида

Плоскости секущие эллипсоид вращения по различным направлениям, образуют в пересечении с его поверхностью или окружности или эллипсы.

Основными сечениями эллипсоида являются (рис. 1.5):

• сечение плоскостью, проходящей через малую ось;

• сечение плоскостью, перпендикулярной малой оси;

• нормальное сечение.

Сечение плоскостью, проходящей через малую ось РР′ эллипсоида, образует на его поверхности меридианный эллипс или истинный меридиан «PQP′Q′». Кривизна его – переменная величина (радиус кривизны М – тоже). Радиус М уменьшается с уменьшением географической широты (φ) и вычисляется по формуле:

(1.4)

где а – большая полуось;

      е – эксцентриситет

Приняв, что , то

(1.5)

Рис.1.5. Радиусы кривизны земного эллипсоида

Экваториальный радиус кривизны меридиана при φ = 0°: М₀ = 6 335 552,6 м.

Сечение эллипсоида плоскостью перпендикулярной его малой оси РР′ дает на его поверхности малый круг qq′ – параллель. Радиус параллели r вычисляется по формуле:

(1.6)

При φ = 0° радиус параллели равен большой полуоси (а) эллипсоида, и эта параллель – земной экватор.

Нормальное сечение – сечение эллипсоида плоскостью, проходящей через нормаль к его поверхности. Из бесчисленного множества возможных нормальных сечений выделяют два главных нормальных сечения – меридианное и перпендикулярное ему – сечение первого вертикала. Для сечения первого вертикала радиус кривизны эллипса N, вычисляется по формуле:

(1.7)

на полюсе M = N, M < N;

на экваторе N₀ = a.

Экваториальный радиус кривизны первого вертикала при φ = 0°: N₀ = a = 6 378 245 м.

Радиус кривизны нормального сечения, составляющего с меридианом в заданной точке угол А, вычисляется по формуле:

(1.8)

где М и N – величины, определяемые в зависимости от широты φ по формулам (1.4) и (1.7).

Радиусом средней кривизны эллипсоида в данной точке с широтой φ называют среднее геометрическое из радиуса М и N.

Радиус средней кривизны эллипсоида вычисляется по формуле:

(1.9)

Значения М, N, R даны в картографических таблицах УГС через каждые 30′ φ.

Произведение любого радиуса кривизны на «arс 1′» равно длине дуги в 1′ данного сечения. Учтя приведенные выше формулы, получим выражение для определения длин дуг:

1. – одной минуты параллели:

   (1.10)

2. или без учета сжатия Земли (е = 0)

   ρ = a · cosφ · arc1′

   (1.11)

3. – одной минуты первого вертикала:

   (1.12)

   Δ1′N = 1858,461 − 3,404 · cos2φ

   (1.13)

4. или приближенно:

5. – одной минуты меридиана:

   (1.14)

6. или приближенно:

Δ1′M = 1852,23 − 9,34 · cos2φ.

(1.15)

Таким образом, поверхность земного эллипсоида имеет кривизну, изменяющуюся от точки к точке по широте и от направления в данной точке.

Выводы

1. Для решения задач судовождения Земной шар принимается за эллипсоид вращения с элементами референц-эллипсоида Красовского.

2. Положение точки на земной поверхности определяется географическими координатами:

   • географической широтой (φ);

   • географической долготой (λ).

3. Величинами, характеризующими изменение географических координат при переходе судна от одной точки к другой, являются:

   • разность широт (Δφ, РШ) и

   • разность долгот (Δλ, РД).

4. Форма и размеры земного эллипсоида характеризуются радиусами кривизны его основных сечений (М, r, N, ρ_A, R).