2.1. Лінійний прогноз

Він полягає у визначенні параметрів емпіричної лінійної залежності за допомогою методу найменших квадратів.

_{Сутність методу полягає в наступному.}

Позначимо розрахункове (згладжене) значення y в точці x_i

_{покладемо}

через Y_i і

^Y _i ^{= b} _o

^{+ b} ₁ ^x _i ,

^{де b}_o ^{, b}₁

– константи, що підлягають визначенню.

_{За допомогою методу найменших квадратів мінімізується сума}

_N

_å ^{( y} _i

2

- Y _i ) .

i = 1

В MS Excel для реалізації методу застосовується функція

ТЕНДЕНЦИЯ.

Її синтаксичний опис:

ТЕНДЕНЦИЯ(Изв_знач_y, Изв_знач_х, Новое_знач_х, Константа) – апроксимує прямою лінією (за методом найменших квадратів) масиви известные_значения_y і известные_значения_x. Відповідно до цієї прямої повертає для заданого масиву Y новые_значения_x.

Известные_значения_y - це множина значень y, що вже відомі для співвідношення y = mx + b.

Константа - це логічне значення, що вказує, чи потрібно, щоб константа b дорівнювала 0.

Якщо константа має значення ИСТИНА чи опущена, то b

обчислюється звичайним чином.

Якщо константа має значення ЛОЖЬ, то b приймається рівним 0, і значення m підбираються таким чином, щоб виконувалося співвідношення y = mx.

Приклад. Припустимо, результати продажу деякої продукції за 10 днів внесені в комірки А1:А10, а дні місяця розташовані в комірках В1:В10 (табл.8).

_{Вихідні дані}

Таблиця 8

Обсяг продажу	45	34	71	56	39	45	67	89	67	54
Дні	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Якщо виділити комірки С1:С10 і ввести формулу

= ТЕНДЕНЦИЯ(А1:А10;В1:В10),

а потім натиснути Ctrl+Shift+Enter, одержимо результат (табл.9, рис.5).

Таблиця 9

Лінійний прогноз

Обсяг продажу	Дні	Прогноз
45	1	44,67
34	2	47,35
71	3	50,02
56	4	52,69
39	5	55,36
45	6	58,04
67	7	60,71
89	8	63,38
67	9	66,05
54	10	68,73

Регресійний аналіз дозволяє робити перспективну оцінку віддаленішого майбутнього. В табл.10 продемонстровані можливості функції ТЕНДЕНЦИЯ по складанню перспективного прогнозу, що поширюється за межі даних останнього фактичного спостереження. Якщо застосувати функцію

= ТЕНДЕНЦИЯ(А1:А10;В1:В10;B11),

де перший аргумент - А1:А10 - визначає дані спостережень базової лінії (известные – значения - у); другий аргумент - В1:В10 - визначає часові моменти, в які ці дані були отримані (известные – значения - х), то значення 11 в комірці В11 є новое – значение -х і визначає час, що зв'язується з перспективною оцінкою. Отримане значення 71,4 є прогнозом

на основі фактичних даних на одинадцятий часовий відлік, який ще не

_{настав.}

100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Дні
	Обсяг прод ажу Прогноз

Рис 5. Лінійний регресійний аналіз (функція ТЕНДЕНЦИЯ)

Таблиця 10

Лінійний прогноз значення періоду, що виходить за межі базової лінії

Обсяг продажу	Дні	Прогноз
45	1	44,67
34	2	47,35
71	3	50,02
56	4	52,69
39	5	55,36
45	6	58,04
67	7	60,71
89	8	63,38
67	9	66,05
54	10	68,73
	11	71,4

Крім того, існує можливість одночасного прогнозування даних для декількох нових часових моментів.

У нашому прикладі, якщо ввести числа 11-13 в комірки В11:В13, а потім виділити комірки С11:С13 і ввести за допомогою формули масиву

_{наступне:}

= ТЕНДЕНЦИЯ(А1:А10;В1:В10),

Ехсеl поверне в комірку С11 прогноз на часовий момент 11 – 71,4. Щоб одержати прогноз на весь діапазон, треба перейти в рядок формул і натиснути Ctrl+Shift+Enter. Даний прогноз буде базуватися на зв'язку між даними спостережень базової лінії діапазону А1:А10 і часовими моментами базової лінії з 1 по 10, зазначеними в комірках В1:В10 (табл.11).

Таблиця 11

_{Одночасне лінійне прогнозування даних трьох часових моментів}

Обсяг продажу	Дні	Прогноз
45	1	44,67
34	2	47,35
71	3	50,02
56	4	52,69
39	5	55,36
45	6	58,04
67	7	60,71
89	8	63,38
67	9	66,05
54	10	68,73
	11	71,40
	12	74,07
	13	76,75

2.2.Завдання

Фірма бажає придбати земельну ділянку в липні, на початку наступного фінансового року. Фірма збирає інформацію про ціни за останні 12 місяців на типову земельну ділянку (табл.12).

Яка очікувана ціна ділянки в липні?

Побудувати лінійний графік і відповісти на наступні запитання:

1. Яку залежність між даними ми отримуємо за допомогою функції

ТЕНДЕНЦИЯ?

2. Поясніть основні принципи лінійного регресійного аналізу.

3. Які ще функції в MS Excel застосовуються для лінійного прогнозування?

_{Варіанти завдань}

Таблиця 12

Період	Місяць	Ціна, тис. у.о.
		№ варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	Січень	1234	2234	2034	1255	5234	2237	2034	1255	4034	1255
2	Лютий	1256	2256	2156	1279	5256	2256	2156	1279	4156	1279
3	Березень	1390	2390	2290	1399	5390	2691	2290	1399	4490	1499
4	Квітень	1412	2412	2212	1412	6451	2712	2212	1412	5014	1512
5	Травень	1434	2434	2334	1434	6434	2737	2334	1434	5334	1535
6	Червень	1456	2456	2456	1488	6456	2756	2456	1499	5456	1588
7	Липень	1490	2490	2590	1500	7490	2791	2590	1500	5590	1600
8	Серпень	1412	2412	2612	1512	7452	2882	2612	1512	6614	1612
9	Вересень	1500	2500	2700	1600	7500	2911	2700	1600	6700	1700
10	Жовтень	1623	2623	2823	1623	8613	3123	2823	1623	6843	1723
11	Листопад	1689	2689	2989	1789	8689	3689	2989	1799	6989	1889
12	Грудень	1710	2710	3310	1810	9710	3711	3310	1910	7310	1910

2.3. Нелінійний прогноз

Функція ТЕНДЕНЦИЯ обчислює прогнози, що грунтуються на лінійному зв'язку між результатом спостереження і часом, у який це спостереження було зафіксовано.

Існує велика кількість типів даних, що змінюються в часі нелінійним способом. Деякими прикладами таких даних є обсяг продажу нової продукції, приріст населення, виплати по основному кредиту і коефіцієнт питомого прибутку.

У подібних випадках нелінійного взаємозв'язку застосовується нелінійний регресійний аналіз.

Нелінійний регресійний аналіз ґрунтується на застосуванні

2

_{наступної формули для розрахункового (згладженого) значення:}

^{Y = b}₀

^{+ b}₁ ^{x + b}₂ ^x .

В MS Excel для реалізації цього методу застосовується функція

РОСТ.

Її синтаксичний опис такий:

РОСТ(Изв_знач_y, Изв_знач_х, Новые_знач_х, Константа)

Функція повертає значення y для послідовності нових значень x

відповідно до нелінійної апроксимації за методом найменших квадратів.

Известные_значения_y - це множина значень y, що уже відомі для співвідношення y = b*m^x.

Известные_значения_x - це необов'язкова множина значень x, що уже відомі для співвідношення y = b*m^x.

Новые_значения_x - це нові значення x, для яких РОСТ повертає відповідні значення y.

Константа- це логічне значення, що вказує, чи потрібно, щоб константа b дорівнювала 1.

Якщо константа має значення ИСТИНА чи опущена, то b

обчислюється звичайним чином.

Якщо константа має значення ЛОЖЬ, то b покладається рівним 1,

а значення m підбираються так, щоб y = m^x.

_{Приклад. В таблиці 13 наводяться дані про продаж товару.}

_{Фактичні дані}

Таблиця 13

Факт	1	1	4	5	10	19	34	55	84	120
Тижні	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Побудуємо нелінійний прогноз продажу товару.

Розмістимо дані про фактичний продаж в комірках А2:А11, часові проміжки (тижні) – в комірках В2:В11. В комірку С2 вводимо формулу РОСТ(А2:А11;В2:В11), натискуємо Enter. Потім виділяємо весь діапазон С2:С11, переходимо в рядок формул і натискуємо Ctrl+Shift+Enter. Одержимо прогнозні дані в комірках С2:С11 (табл.14).

Продовжимо прогноз на тижні 11-13. Вихідна таблиця тепер має вид

_{(табл.15).}

Виділяємо С12:С14. Вводимо РОСТ(А2:А11;В2:В11;В12:В14).

Одержуємо прогнозне значення тільки в С12. Щоб одержати прогноз в

двох інших комірках, переходимо в рядок формул і натискуємо

Ctrl+Shift+Enter. Результат розрахунку наведено в таблиці 16.

_{Таблиця 14 Таблиця 15 Таблиця 16}

Факт	Тижні	Прогноз
1	1	0,95
1	2	1,67
4	3	2,95
5	4	5,20
10	5	9,17
19	6	16,17
34	7	28,51
55	8	50,28
84	9	88,67
120	10	156,37
	11
	12	С12:С14
	13

Факт	Тижні	Прогноз
1	1	0,95
1	2	1,67
4	3	2,95
5	4	5,20
10	5	9,17
19	6	16,17
34	7	28,51
55	8	50,28
84	9	88,67
120	10	156,37
	11	275,75
	12	486,28
	13	857,54

Результати нелінійного прогнозування

Нелінійне прогнозування на три періоди наперед

Результати нелінійного прогнозування на три періоди наперед

Факт	Тижні	Прогноз
1	1	0,95
1	2	1,67
4	3	2,95
5	4	5,20
10	5	9,17
19	6	16,17
34	7	28,51
55	8	50,28
84	9	88,67
120	10	156,37

_{Побудуємо графік нелінійного прогнозу обсягу продажу (рис. 6).}

₁₀₀₀

₈₀₀

₆₀₀

₄₀₀

₂₀₀

0

_{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13}

Факт Прогноз

Рис.6. Нелінійний прогноз продажу (функція РОСТ)

Застосуємо тепер до даних (табл.13) функцію ТЕНДЕНЦИЯ.

В табл.17 і на рис.7 наведено прогнозні результати, отримані за допомогою функцій РОСТ і ТЕНДЕНЦИЯ.

Бачимо, що для даної базової лінії функція РОСТ дає набагато точніший прогноз, ніж функція ТЕНДЕНЦИЯ.

_{Прогноз}

Таблиця 17

Факт	Тижні	РОСТ	ТЕНДЕНЦИЯ
1	1	0,95	21,33
1	2	1,67	9,19
4	3	2,95	2,95
5	4	5,20	15,09
10	5	9,17	27,23
19	6	16,17	39,37
34	7	28,51	51,51
55	8	50,28	63,65
84	9	88,67	75,79
120	10	156,37	87,93
	11	275,75	100,07
	12	486,28	112,21
	13	857,54	124,35

₁₀₀₀

₈₀₀

₆₀₀

₄₀₀

₂₀₀

0

_{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13}

ФАКТ РОСТ ТЕНДЕНЦИ Я

Рис.7. Прогноз з допомогою функцій РОСТ і ТЕНДЕНЦИЯ

2.4.Завдання

В таблиці 18 наведено дані продажу деяких продовольчих товарів у

2006 році.

Необхідно виконати прогнозування продажу товарів на перші 3 місяці 2007 року за допомогою функцій ТЕНДЕНЦИЯ і РОСТ. Провести порівняльний аналіз отриманих результатів.

Побудувати лінійні графіки і відповісти на наступні запитання:

1. Яку залежність між даними ми отримуємо за допомогою функції

РОСТ?

2. Поясніть основні принципи нелінійного регресійного аналізу.

Таблиця 18