05 семестр / Книги и методические указания / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 2 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003

Вихри начинаются на стенках камеры и проходят сквозь рабочее колесо. Так как при этом на входе в рабочее колесо появляется циркуляция ′ = 1 + 2 , то в соответствии с уравнением Эйлера

изменяется теоретический напор H т = ω ′′ − ′ и напор насоса. g 2π

Вследствие неустойчивости вихрей работа насоса сопровождается колебаниями напора, подачи, и потребляемой мощности.

1.12. СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

линейное дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением Лапласа, а функцияϕ , удовлетворяющая этому уравнению, называется гармонической. Уравнение Лапласа имеет единственное решение, т.е. потенциальное движение в односвязной области единственное, если задать граничные условия. Для решения уравнения на границах области задаются

либоϕ , либо ∂ϕ , либо ϕ на одних частях границы и ∂ϕ на ос-

∂n ∂n

тальных её частях. Потенциальные течения обладают следующими свойствами:

51

1. Для любой замкнутой поверхности S, нормаль к которой n,

∫ ∂ϕdS = 0 , (1.70)

S ∂n

как показано на рис. 1.32а. Так как согласно (1.21) производная

поверхность S равен нулю, что и доказывает свойство (1).

2. Ни в одной точке внутри жидкости потенциал скорости не может иметь максимума или минимума.

Предположим, что в некоторой точке А потенциал скорости ϕ A = max . Окружим эту точку сферической поверхностью пло-

щадью S с центром в этой точке (рис. 1.32б). Так как внешняя нормаль n и радиус r совпадают, то при условии максимума по-

тенциала в точке А производная ∂ϕ = ∂ϕ < 0 . Поэтому в любой

∂n ∂r

точке М этой сферы ∂ϕ dS > 0 . Следовательно, и интеграл по

∂n

поверхности сферы ∫ ∂ϕ dS > 0 , что противоречит свойству (1.70).

S ∂n

3. Ни в одной точке внутри жидкости модуль скорости V не может иметь максимума.

Предположим, что в некоторой точке А модуль скорости имеет максимум VA . Выберем оси в декартовых координатах так,

Рис.1.32. К доказательству свойств потенциального течения

52

чтобы ось x имела направление скорости в точке А (рис. 1.32в). Тогда в этой точке

∂ϕ

∂n A = VA .

Дифференцируя по x уравнение Лапласа

и изменяя порядок дифференцирования, убеждаемся, что ∂ϕ

То есть ∂ϕ является гармонической функцией, которая по пре-

∂x

дыдущему свойству не может иметь максимума или минимума в точке А. Следовательно, по соседству с точкой А найдутся точки, в которых будет

и в которых тогда и подавно будет

Но это противоречит предположению о том, что в точке A скорость максимальна. Максимум или минимум скорости имеет место на границах области потока.

Например, при обтекании крылового профиля в точке A разветвления потока скорость минимальна и равна нулю, а в точке M входной кромки скорость достигает максимума, как показано на рис. 1.33а. По уравнению Бернулли давление в этой точке минимальное. Если оно достигает давления насыщенного пара, то в окрестности точки М развивается кавитация (рис. 1.33б).

53

а

б

Рис.1.33. Распределение давлений и кавитация на крыловом профиле

4. При существовании однозначного потенциала линии тока не могут быть замкнутыми.

В противном случае получилось бы, что циркуляция вдоль такой линии не обращается в нуль, так как все произведе-

ния VdS в выражении циркуляции = ∫VdS имеют один и тот

же знак. Но это противоречит теореме Стокса.

5. В односвязном объёме жидкости, ограниченном со всех сторон твёрдыми стенками, не может существовать безвих- ревое движение.

На рис. 1.32г Изображён односвязный объём, ограниченный твёрдыми стенками. В таком объёме замкнутые линии тока типа a невозможны по предыдущему свойству. Так как на твёрдых стенках нормальная составляющая скорости Vn = 0 , то ли-

нии тока не могут вытекать из границ или втекать в них и поэтому невозможны линии тока типа в. Поскольку внутри односвязного объема линии тока не могут начинаться или заканчиваться, то линии тока типа с также невозможны. Следовательно, жидкость либо покоится, либо ее движение вихревое.

54

1.13. ЗАДАЧИ

Задача 1.1. Однородный поступательный поток.

где V∞ — модуль скорости на бесконечности.

В соответствии с (1.14), (1.15) и (1.16) получаем соответственно следующие скорости относительного удлинения, угловые скорости вращения и угловые скорости скошения прямых углов:

λ x = λ y = λ z = 0; ωx = ωy = ωz = 0; εxy = ε yz = εzx = 0. Следова-

тельно, это движение жидкости без деформации и вращения час-

56

Задача 1.2. Движение вдоль концентрических окружностей.

мация частиц отсутствует. Имеется вращение частиц. Любая частица вращается вокруг мгновенной оси параллельной оси 0z

с угловой скоростью равной k . Так как V = k x2 + y2 = kr, то

линейная скорость вращения частиц вокруг начала координат прямо пропорциональна расстоянию частицы от начала координат. То есть жидкость вращается вокруг оси, проходящей через начало координат, так же, как твердое тело.

Задача 1.3. Фрикционное течение.

Движение вязкой жидкости вызывается перемещением пластины с постоянной скоростью V по поверхности жидкости в канале.

57

1. Однородный поступательный поток вдоль оси y . Поле скоростей:

Vx = 0 , Vy = V = const > 0 , Vz = 0 .

Циркуляция вектора скорости по прямоугольнику ABCDA:

ABCDA = AB + BC + CD + DA = 0 +Vb + 0 −Vb = 0 .

Этот результат можно было предвидеть, так как рассматриваемое течение потенциальное, а потенциал — однозначная функция точки.

Дифференциальное уравнение линии тока в соответствии с (1.11).

Подставляя (4) в (5) получим xdx + ydy = 0 . После интегриро-

Циркуляция по окружности любого радиуса постоянна и равна 2πK . При каждом новом обходе начала координат циркуляция увеличивается на 2πK .

Задача 1.5. Трубопровод длиной l и диаметром d подключен к резервуару больших размеров. Напор в резервуаре постоянный. Определить закон нарастания скорости истечения во времени при мгновенном открытии заслонки. Сопротивлением трубопровода пренебречь.

Рассмотрим процесс истечения в некоторый произвольно выбранный момент времени t после открытия трубы. Согласно (1.65) для двух точек потока 1 и 2 имеет место уравнение

59