6. Свойства случайных ошибок.

Теория ошибок изучает только случайные ошибки. Под случайной ошибкой здесь и далее будем понимать разность

Δi = Х – ℓi

где Δi – истинная случайная ошибка; Х – истинная величина; ℓi – измеренная величина.

Случайные ошибки имеют следующие свойства:

1. Чем меньше по абсолютной величине случайная ошибка, тем она чаще встречается при измерениях.

2. Одинаковые по абсолютной величине случайные ошибки одинаково часто встречаются при измерениях.

3. При данных условиях измерений величина случайной погрешности по абсолютной величине не превосходит некоторого предела. Под данными условиями подразумевается один и тот же прибор, один и тот же наблюдатель, одни и те же параметры внешней среды. Такие измерения называют равноточными.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок стремиться к нулю при неограниченном возрастании числа измерений.

Три первых свойства случайных ошибок достаточно очевидны. Четвертое свойство вытекает из второго.

Если Δ1,Δ2,Δ3,...,Δn - случайные ошибки отдельных измерений, где n – число измерений, то четвертое свойство случайных ошибок математически выражается

Предел этого отношения будет равен нулю, потому что в числителе сумма случайных ошибок будет конечной величиной, так как положительные и отрицательные случайные ошибки при сложении будут компенсироваться.

Чтобы запись была компактной, Гаусс предложил сумму записывать символом

тогда

7. Понятие о средней квадратической ошибке.

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т. е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории ошибок служит предложенная Гауссом средняя квадратическая ошибка m, вычисляемая по формуле

(5.2)

где п - число измерений данной величины.

Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению,- арифметическую средину. Для этого случая средняя квадратическая ошибка одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя

(5.3)

где δ - отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической средины, называемые вероятнейшими ошибками, причем [δ]=0.

Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая ошибка М определяется по формуле

М = m/√n(5.4)

где т - средняя квадратическая ошибка одного измерения, вычисляемая по формуле (5.2) или (5.3).

Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды - в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая ошибка одного измерения подсчитывается по формуле

а средний результат из двух измерений - по формуле

где d - разность двукратно измеренных величин, п - число разностей (двойных измерений).