§5*. Продаж і купівля лотерей

1). “Продаж лотереї” означає відмову від участі в ній СПР:

функція корисності (схильності - несхильності до ризику) СПР U_пр = F_пр (x).

Продається лотерея L_пр = L (x є [x_*; x^*]; f_пр (x)), а функція щільності розподілу ймовірностей прибутків, отриманих від участі в різних лотереях f_пр(x) = F'_пр (x), а = М₀ (х), f_пр(а) = f(x).

Тоді можливі такі випадки:

• [x_*; x^*] належить зоні несхильності до ризику, тобто а < х_* , то лотерея вважається непривабливою, може завдати збитків, якщо величина винагороди х > x_* ; тому можлива відмова від участі в лотереї за умови, а > х_* або за іншу суму, яка перевищує величину витрат на участь у лотереї;

• [x_*; x^*] належить зоні схильності до ризику, то право на участь у лотереї не уступається. Якщо а > x^*, то СПР приймає участь у лотереї,

за умови а >> x^* буде відмовлятися від участі.

• а є [x_*; x^*], то СПР відмовляється від участі в лотереї за суму x є [а; x^*].

• [x_*; x^*] належить зоні нейтральності: U (x) =k·x + b => f(x)= U'(x)= k = const

Функція щільності характеризує рівномірний розподіл можливих значень прибутку від участі в лотерех і сума “продажу” х ≈ а.

“Купівля лотереї” – купівля права на участь в ній:

функція корисності (схильності - несхильності до ризику) СПР U_куп = F_куп (x).

Купується лотерея L_пр = L (x є [x_*; x^*]; f_пр (x)), а функція щільності розподілуймовірностей прибутків, отриманих від участі в різних лотереях f_куп(x) = F'_куп (x), b = М₀ (х), f_куп(b) = f(x) .

Тоді можливі такі випадки:

• [x_*; x^*] належить зоні несхильності до ризику, b < х_* , лотерея не купується.;

• [x_*; x^*] належить зоні схильності до ризику, b > х_* , лотерея купується за суму х < x_*;

• b є [x_*; x^*], лотерея купується за суму х ≤ b.

• [x_*; x^*] належить зоні нейтральності до ризику, то лотерея купується за суму х ≈ b.

Купівля – продаж лотереї відбувається за умови:

C_* = max {x_k; a} < min {b; x^*} = C^*

і сума х, принадна для продавця і покупця, є [C_*; C^*].

В економічній інтерпретації продавцем можна вважати статистичні дані результатів підприємницької діяльності, а покупцем лотереї – підприємця зі своє функцією корисності.

Практикум 6 : Ризик з урахуванням корисності

Задача 1. Особа з функцію корисності U(x)=0.01·x², має альтернативні варіанти вибору місця роботи:

1 – стабільна зарплата 2000 ум. гр.од.

2 – з ймовірністю 0,5 можна отримувати зарплату 1000 і 3000 ум. гр.од.

3 – 4000 ум.гр. одиниць або не отримати нічого з ймовірністю 0,5

Яке рішення слід обрати?

Розв’язання

1. Для першого рішення

(ум. гр.од.) – сподівана зарплата

Корисність рішення .

2. Для другого рішення

(ум. гр.од.).

Корисність

3.Для третього рішення

(ум,гр.,од.).

Корисність .

Висновок: за умови однакової сподіваної зарплати третє рішення має більшу корисність.

Задача 2. Функція корисності задається формулою: U(x) = 0,2·x² . Для лотереї L (4; 0,6; 12)

розрахувати сподіваний виграш лотереї., детермінований еквівалент лотереї, премію за ризик.