§2. Графічний спосіб розв`язання гри

1). Звести гру (m х n) до (m х 2) або (2 х n) відкиданням невигідних стратегій для кожного гравця.

		q1	q2	q3	q4	…	q­n	В
А:	р1	а11	а12	а13	а14	…	а1n
	р2	а21	а22	а23	а24	…	а2n

2). Очікувані виграші гравця А будуть лінійно залежними від частоти вибору ним першої стратегії (р₁) для всіх варіантів чистих стратегій В:

гравець В	гравець А (очікуваний виграш)
1	a11·p1 + a21·p2 = a11·p1 + a21·(1–p1)
2	a12·p1 + a22·p2 = a12·p1 + a22·(1–p1)
…	…
n	a1n·p1 + a2n·p2 = a1n·p1 + a2n·(1–p1)

3). На горизонтальній осі р відкласти відрізок [0;1], через кінці якого провести вертикальні лінії – лінії стратегій А₁ і А₂.

В обраному масштабі побудувати лінії очікуваних виграшів гравця А для різних можливих стратегій В_к, гравця В за правилом:

_. a_1n·p₁ + a_2n·p_2., к = 1,2, ..., п.

Нижню межу виграшу, який може отримати гравець А, визначити з положення ламаної лінії, на якій вибирається найвища точка (в ній перетинаються певні прямі – лінії стратегій В_п).

Координати цієї точки знаходяться як розв’язки системи лінійних рівнянь, що характеризують відповідні прямі. Крім того, слід пам’ятати, що

Практикум 3: Елементи теорії ігор

Задача 1. Розв’язати гру, задану платіжною матрицею

	В1	В2	В3	В4	В5	В6
А1	6	5	3	2	1	4
А2	2	7	8	6	5	2
А3	1	3	2	1	0	1

1). Стратегія А₃ є невигідною для гравця А: А₁, А₂ >А₃, а стратегії В₃,В₄ є невигідними для гравця В: В₃, В₄ >В₅ , тому складаємо нову платіжну матрицю гри:

	В1	В2	В5	В6	тіп
А1	6	5	1	4	1
А2	2	7	5	2	2
тах	6	5	5	4

2). Визначаємо ціну гри:

α = тіп ( тах a_ij ) = min {6;5;5;4} = 4;

β = max( min a_ij) =max{1;2}= 2;

α ≠ β, тому α ≤ ν ≤ β , тобто 2 ≤ ν ≤ 4 .

3). Будуємо лінії очікуваних виграшів для гравця А на рис. 12 :

Стратегії гравця В	Очікувані виграші гравця А
В1	6· р1 + 2· р2
В2	5· р1 + 7· р2
В5	1· р1 + 5· р2
В6	4·р1 + 2· р2

4). Нижньою межею виграшу є ламана МNK на рис.12, у верхній точці якої – точці N виграш досягає максимуму. Ця точка є точкою перетину прямих В₅ і В₆, тому маємо таку систему рівнянь:

1 ·р₁ + 5· р₂ = ν, 1·р₁ + 5· р₂ = 4·р₁ + 2· р_{2 ,}

4·р₁ + 2· р₂ = ν, р₂ = 1- р₁.

р₁ + р₂ = 1.

Звідки отримуємо розв’язки системи – оптимальні значення частот (імовірностей) вибору стратегій А₁, А₂ для гравця А: .

Ціна гри ν^* = 1· + 5 = 3.

Рис.12.Лінії виграшів гри

5). Для визначення оптимальних стратегій гравця В, які він може застосовувати з частотами , аналізуємо рис.12: через точку N проходять прямі стратегій В₅ і В_6, а застосування стратегій В₁ і В₂ призводить до програшу більших сум, тому .

Стратегії гр.А	Очікувані програші гр.В
А1	1· q5 + 4· q6
А2	5· q5 + 2· q6

Аналогічно до попереднього знаходимо: ,

Висновок: Для максимізації мінімального виграшу гравцеві А доцільно застосовувати стратегії А₁, А₂ з частотами , а для мінімізації максимального програшу гравцеві В доцільно застосовувати стратегію В₅ з частотою , а стратегію В₆ – з частотою Ціна гри дорівнює 3.

Задача 2. Визначити оптимальну стратегію підприємства, яка забезпечуватиме певний середній дохід від реалізації продукції за будь-якої погоди: середній очікуваний прибуток і розмір оптимальної партії товару.

Дані про придбання товару й умови реалізації наведено в таб.5.

Табл.5

Товар	Тепла погода	Прохолодна погода	Витрати на зберігання 1 од.прод.(ум.гр.од.)	Ціна реалізації 1од.прод.(ум.гр.од.)
Сукні	1950	625	8	16
Костюми	600	1000	27	48