Тема 3: теоретико – ігрова модель ризику

1. Елементи теорії ігор §1. Основні поняття теорії ігор

Прийняття маркетингових рішень найчастіше пов’язане з ситуаціями, в яких перетинаються інтереси двох ( або більше) конкуруючих сторін, які мають різні цілі. Такі ситуації називають конфліктними. Математичною теорією конфліктних ситуацій є теорія ігор. Розв’язанню задач такого типу передує : визначення правил гри, можливої кількості гравців, можливих виграшів.

Грою називається спрощена формалізована модель реальної конфліктної ситуації з сукупністю правил, які регламентують поведінку гравців. Хід у грі – це вибір гравцем одного з можливих варіантів дій.

Наслідком є рішення гравця під час ходу, значення певної функції виграшу.

Стратегія або дія, до якої вдається гравець, залежить від ситуації. За умов застосування гравцями в процесі гри різних стратегій матимемо гру в мішаних стратегіях, а елементи стратегій називають чистими стратегіями.

Одним з основних видів ігор є матричні ігри – парні ігри з нульовою сумою: виграш одного гравця дорівнює програшу іншого за умови обмеженої кількості стратегій кожного гравця, а спільна сума виграшів дорівнює нулю, наприклад, ігри з природою , коли гравцями є фірма і природа.

Платіжною матрицею гри є прямокутна матриця, елементами якої є числа a_ij, які характеризують виграш – наслідок вибору гравцем А стратегії A_і, а гравцем В – стратегії B_j.

Розв’язати гру означає знайти оптимальну стратегію для кожного гравця, яка за умов багаторазового повторення гри забезпечує максимально можливий середній виграш (мінімально можливий середній програш). Критерієм вибору раціональних рішень є критерії мінімакса або максиміна:

• для гравця А оптимальною є стратегія максимізації мінімального виграшу за всіма можливими стратегіями гравця В: А _опт : ;

• для гравця В оптимальною є стратегія мінімізації максимального програшу за всіма можливими стратегіями гравця А: В _опт : ,

де α – мінімально можливий виграш гравця А – нижня ціна гри;

β–максимально можливий програш гравця В – верхня ціна гри.

Оптимального розв’язку гра досягає за умови, що кожній стороні невигідно змінювати свою стратегію, бо протилежна сторона може теж обрати іншу стратегію, яка погіршить виграш першого гравця.

Якщо α = β, то гра має сідлову точку, а значення ν = α = β є ціною гри. При цьому сторони обирають чисті стратегії : максимінна для гравця А і мінімаксна для гравця В.

Якщо α ≠ β, то ціна гри дорівнює математичному сподіванню виграшу першого гравця за умов вибору гравцями оптимальних стратегій:

V = M ( S^*; Θ^*),

де S^*; Θ ^* – оптимальні стратегії першого і другого гравця , і

M ( S; Θ ^*) ≤ V ≤ M ( S^*; Θ),

де M ( S; Θ) – математичне сподівання середнього виграшу першого гравця за умов вибору гравцями стратегій S та Θ. В цьому випадку гра не має сідлової точки, чисті стратегії – неоптимальні: можна покращити стан кожного гравця, обравши мішані стратегії – певні комбінації початкових чистих стратегій з певними частотами ( ймовірностями) вибору кожної з них: для гравця А: P = ( p_1, p_2,…, p_m), ;

для гравця B: Q = ( q_1, q_2,…, q_n), .

Оптимальні значення визначають умову існування очікуваного оптимального значення ціни гри .