2. Действие магнитного поля на ток и движущиеся заряды

2.1. Закон Ампера. Физический смысл магнитной индукции

Этот закон позволяет находить силу, с которой магнитное поле действует как на отдельный элемент электри­ческого тока (дифференциальная форма закона), так и на проводник с током конечных размеров (интегральная форма). Согласно закону Ампера на элемент тока магнитное поле действует с силой

, (2.1)

где – индукция магнитного поля в том месте, где находится элемент .

Сила перпендикулярна к плоскости, в которой лежат и : если смотреть с конца на эту плоскость, то поворот от к должен происходить против часовой стрелки (рис. 2.1). Направление силы можно опреде­лять также по правилу ле­вой руки: если расположить левую руку так, чтобы линии поля входили в ладонь, четыре сложенных пальца указывали направление тока и ладонь при этом была перпендикулярна к плоскости, в которой лежат векторы и , то отставлен­ный на 90° большой палец укажет направление силы .

Модуль силы Ампера

, (2.2)

где – угол между векторами и .

Ч тобы найти силу, действующую на ток, текущий по провод­нику конечных размеров, нужно проинтегрировать выражение (2.1) по кон­туру тока (интегральная форма закона Ампера):

Рисунок 2.1

. (2.3)

Из формул (2.1) и (2.2) видно, что магнитная индукция – силовая характеристика магнитного поля.

Индукция магнитного поля – векторная физическая величина, характеризующая силовое действие магнитного поля на движущиеся в нем электрические заряды и численно равная модулю силы, с которой магнитное поле действовало бы в данной точке на единичный элемент тока, расположенный перпендикулярно к полю.

Единицей измерения индукции является тесла. В системе СИ тесла равна силе в один ньютон, с которой магнитное поле действует на единичный элемент тока в один А∙м, перпендикулярный полю:

2.2. Применение закона Ампера к некоторым задачам

П ример 1. Действие однородного магнитного поля на прямолинейный отрезок провода с током.

Н

Рисунок 2.2

айдем силу, с которой однородное магнитное поле действует на прямолинейный отрезок провода с током (рис. 2.2). Так как рассматриваемый ток прямолинейный, а маг­нитное поле однородно, то угол между и для всех элементов тока один и тот же: α. Все параллельны, следовательно, модуль результирующей силы равен интегралу модулей :

(2.4)

Подставим формулу (2.2) для в выражение (2.4) и проинтегрируем по всей длине отрезка проводника :

(2.5)

Как видно из этой формулы, сила, действующая на прямой ток, зависит от ориентации тока: она максимальна, когда ток перпендикулярен к полю ( =1) и минимальна (равна нулю), когда ток параллелен или антипараллелен полю ( =0).

П

Рисунок 2.3

ример 2. Взаимодействие двух беско­нечно длинных параллельных проводов с токами. На рисунке 2.3 показано взаимодействие двух беско­нечно длинных параллельных проводов с токами и , располо­женных на расстоянии друг от друга.

Б

Рисунок 2.3

удем считать, что ток создает поле, а ток испытывает действие этого поля. Так как токи параллельны, каждый элемент второго тока находится в поле с одной и той же индукцией модуль которой равен (см. формулу 1.8), т.е.

Силу, действующую на отрезок второго провода, найдем по закону Ампера:

, где – ток во втором проводе; – угол между направлением тока и направлением индук­ции (этот угол равен 90°). Подставив в эту формулу выражение для и разделив левую и правую части на , найдем модуль силы, действующей на еди­ницу длины второго провода:

. (2.6)

Числовое значение силы, действующей на единицу длины первого тока, выражается этой же формулой (при нахождении этой силы полагаем, что поле создается током ). Определив направления и нетрудно убедиться в том, что токи одного направления притягиваются, токи противоположного направления оттал­киваются.

Из закона взаимодействия параллельных токов определяется единица силы тока в СИ – ампер.

Ампер (А) – сила неизменяющегося тока, который проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии одного метра один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками взаимодействие с силой, равной 2∙10^{- 7}.

Пример 3. Замкнутый плоский контур с током в однородном магнитном поле. На рисунке 2.4 показан замкнутый плоский контур с током I, который находится в однородном магнитном поле. Выберем контур в виде плос­кой прямоугольной рамки со сторонами a и b. Ток, протекающий по замкнутому плоскому контуру, характеризуется понятием магнитного момента.

Магнитный момент кругового тока p_m равен произведению силы тока I, протекающему в контуре, на площадь S контура:

^pm = IS. (2.7)

Кроме силы тока I и площади S контур характеризуется также ориентацией в пространстве. Поэтому магнитному моменту p_m приписывают направление, совпадающее с направлением положительной нормали :

(2.8)

Пусть магнитный момент тока в рамке образует с направлением магнитного поля угол α (рис. 2.4).

Рисунок 2.4

Силы, действующие на стороны b рамки, равны по модулю, противоположны по направлению и лежат в плоскости рамки. Эти силы взаимно уравновешиваются. Силы, действующие на стороны а, образуют пару сил. Механический вращательный момент этой пары относительно оси, совпадающей с одной из сторон а, численно равен:

Согласно закону Ампера модуль силы будет

.

Следовательно:

.

Здесь =S – площадь рамки;

– модуль магнитного момента тока . Тогда

. (2.9)

Учитывая взаимную ориентацию векторов , и , форму­лу (2.9) можно записать в векторном виде:

. (2.10)

Как видно из выражения (2.10), вращательный момент М = 0 и, следова­тельно, рамка находится в равновесии, если магнитный момент тока в рамке параллелен или антипараллелен направлению внешнего магнитного поля ( = 0 соответствует устойчивому рав­новесию, _– неустойчивому). Можно показать, что формула (2.10) справедлива для плоского контура любой формы.

Контур с током, находящийся в магнитном поле, обладает как механической энергией, так и – потенциальной. Можно показать, что потенциальная энергия может быть вычислена по формуле

W = – = – p_mBcosα . (2.11)

Действительно, согласно формуле (2.9)

где α – угол между векторами и . Для того, чтобы этот угол увеличить на dα, нужно совершить против сил, действующих на контур, работу

dA = M dα = dα. (2.12)

Работа (2.12) идет на увеличение потенциальной энергии W, которой обладает контур с током в магнитном поле:

dW = dα. (2.13)

Интегрируя выражение (2.13), находим, что

W = – p_mBcosα +const.

Положив const = 0, получаем выражение (2.11).

_{Силу, действующую на контур, можно найти из формулы (2.11). Продифференцировав W по r – направлению быстрейшего возрастания , взяв найденную производную со знаком «минус», мы найдем проекцию силы на это направление:}

_(2.14)