Релятивистский закон сложения скоростей:

Пусть материальная точка движется в системе K’ вдоль оси x’, а K’ движется относительно К со скоростью v (оси x и x’ совпадают).

Произведя вычисления, получим релятивистский закон сложения скоростей:

Е сли скорости малы по сравнению со скоростью с, то эти формулы переходят в закон сложения скоростей в классической механике. Релятивистский закон сложения скоростей не противоречит второму постулату Эйнштейна. В самом деле, если , то . Если , то , т.е. скорость с- предельная скорость, которую невозможно превысить.

. Понятие одновременности. Относительность длин и промежутков времени:

Относительность одновременности: Пусть системе К в точках х1 и х2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе K’ им соответствуют координаты x1’ и x2’ и моменты времени t1’ и t2’. Если события в системе К происходят в одной точке (х1=х2) и являются одновременными (t1=t2), то, согласно преобразованиям Лоренца,

x1’=x2’, t1’=t2’,

Т.е. эти события в системе К явл одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчёта.

Если события в системе К разобщены (х1<>х2), но одновременны, то в системе K’, согласно преобразованиям Лоренца,

Т.е.

Таким образом, в системе K’ эти события, оставаясь пространственно разобщёнными, оказываются и неодновременными.

Длительность событий в разных с.о.: Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого T=t1-t2, где 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе K’: T’=t2’-t1’ (*) , где

Подставив в (*), получаем

T <T’, т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке наименьшая в той инерциальной с.о., относительно которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной с.о., идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчёта, относительно которой часы движутся

Длина тела в разных с.о.: Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси x’ и покоящийся относительно системы K’. Длина стержня в системе K’ будет где x1 и x2 не изменяющиеся со временем координаты начала и конца стержня, индекс 0 показывает, что в системе K’ стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты его концов x1 и x2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность и даст длину стержня в системе K:

т.е.

Размер тела, движущегося относительно инерциальной с.о., уменьшается в направлении движения в раз, т.е. лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения.

Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных с.о.

Р елятивистский импульс:

Закон сохранения релятивистского импульса: реалятив импульс замк системы сохр, т.е. не изм с теч времени. (следствие однородности пространства)

Основной закон релятивистской динамики:

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной с.о. к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца.

Основной закон релятивистской динамики:

Где - релятивистский импульс материальной точки.

Это уравнение инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами.

Релятивистское выражение для кинетической энергии:

П оскольку полная энергия в релятивистской динамике – это сумма кинетической энергии и энергии покоя, т.к. энергия покоя равна : и полная энергия равна : где m – масса частицы, v – её скорость, то окончательно мы имеем:

. Закон взаимосвязи массы и энергии в релятивистском случае:

Воспользовавшись релятивистской массой: формулу

Можно записать в виде: . Из этого соотношения вытекает, что энергия тела и его релятивистская масса всегда пропорциональны друг другу. Всякое (за исключением изменения потенц энергии во внешнем поле сил) изменение энергии тела сопровождается изменением релятивистской массы тела и, наоборот, всякое изменение массы сопровождается изменением энергии тела: . Это утверждение носит название закона взаимосвязи релятивистской массы и энергии.

Соотношение между полной энергией и импульсом частицы:

Энергия и импульс в разных системах отсчёта различны. Но существует инвариантная величина

Подставив сюда получим

В озвращаясь к ур-нию для полной энергии, отметим, что оно универсально: с энергией, какой бы формы она не была, связана масса и, наоборот, со всякой массой связана определённая энергия.

Гармонические колебания:

колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по зако

ну синуса или косинуса.

Уравнение гармонических колебаний: где А – амплитуда, - циклическая фаза, - начальная фаза в момент времени t=0, - фаза колебаний в момент времени t. Фаза колебаний определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени.

Период гармонического колебания: промежуток вр Т, в течении которого фаза колебания получает приращение т.е.

откуда

Математический маятник:

Идеализированная система, состоящая из матер точки массой м, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Пружинный маятник:

Груз массой м, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы: . Период : ; циклическая частота: (формула периода справедлива в тех случаях когда выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой груза).

Физический маятник:

Твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела. Физ маятник совершает колебания по закону с циклической частотой и периодом: где L – приведённая длина физ маятника.

П риведённая длина физ маятника – это длина такого мат маятника, который колеблется с физическим маятником синхронно. (для мат маятника )

Вывод дифференциального уравнения гармонических колебаний:

, где - угл ускор: - матем модель для любых углов отклонения для физического маятника;

Предположив, что углы малы т.е.

- иском ур-ние.

Графики изменения координаты, скорости и ускорения

При гармоническом колебании:

Смещение колеблющейся точки:

Скорость колеблющейся точки:

Ускорение колеблющейся точки: